книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

циклам

S2,

потому

что а2 =

flat)

= Щ(а2)), at =

f(a2) =

-

f(f(ai))-

Увеличивая

параметр

Л,

мы

расстягиваем

функцию

f

(х)

вдоль

оси

у.

И

если при

некотором

значении

А линии

у

=

х

и

у

=

л

пересекаются

в

одной

точке (см. . рис.

f (х)

ресечения (см. рис. 4.6). Они-то

и

будут

определять

цикл

S2.

Переход

S1

—»

S2

в

Отображении

f(x)

обусловлен

тем,

что

в

отображении

f

о

(х) одна из неподвижных точек теряет

устойчивость,

и

в

ее

окрестности

появляются

две

новые

ус­

тойчивые

неподвижные

точки.

Рассматривая

функции

f4(x),

О

и

т.

д.,

можно

увидеть,

как

происходят

следующие

уд­

f (х)

воения.

В

каждом

из

этих

случаев

одна

точка теряет устой­

чивость и появляются две другие

устойчивые

точки,

поэтому

период цикла удваивается. При этом возникновение

устойчи­

вого

цикла

S4

у отображения

*n+1

=

f(xn)

связано

с

появле­

Действуя

так

же, как

в случае неподвижной точки,

мож-

но показать,

что

устойчивость цикла S

Р

с элементами

х„

d fP(x.)

Т

будет

определяться

формулой

=

1,

dx

< 1, k

....

Р.

Продифференцировав

эту

функцию, легко

убедиться,

что

это

эквивалентно неравенству

df(Xp)

1.

(4.8)

1х

х ■x~Jx

<

Из этой

формулы следует также,

что

величина

d fP

будет

~ST

одной и той же во всех

точках

цикла SP.

Рис.

4.7

Оказалось, что

на

примере

модели

(4.3)

удается

понять

не только качественные, но и

количественные закономерности

возникновения

хаоса. Чтобы

проследить

за

ними,

построим

график х(А). По оси х будем

откладывать

Ху

*2,

....

хр,

лежащие на устойчивом

цикле,

по

оси А

- значения

парамет-

ра. Циклу

5

будут

соответствовать две точки на одной вер­

тикали,

циклу

S4

-

четыре,

и

т.

д.

Обозначим

через

Aj,

Л3, ...

те

значения

параметра

А,

в

которых

происходили

уд­

воения,

а

через

Ац

А2, А3> ... - значения параметра, при

которых

х =

1 /2

является

элементом

цикла

S2,

S4,

5е, и

также величины dy d2, ....

dn, ....

равные расстоянию

между х = 1 /2

и ближайшим

к

нему элементом цикла Sчп при

А = Лп. Все эти

обозначения

пояснены на

рис. 4.7.

Расчеты, проведенные

на

ЭВМ,

показали,

что

числа

Ап и

Ап при больших п ведут себя

как

геометрическая

прогрессия.

Ее знаменатель

равен 5 = 4,6692016... . Другими словами,

Лл+1. -

Лп

.

*

(4.9)

Т

----------т

------------- ------ >

О

п+2

п п+1

л-*о

Отношение

dn/dn+^

также

имеет

предел,

равный

а,

где

а = 2,5029078".

"

Можно вместо (4.3) рассмотреть другое семейство сим­

метричных

функций,

имеющих

на отрезке [0,1]

один

максимум

того,

независимо

от

вида

f(x)

предел 1 i m

(- а )

f2Л((х -

- 0 ,5 )/(- а )п, Лп)

существует

и

будет

л-мп

тем

же.

Его

одним

и

называют универсальной

функцией gQ(x).

Эти удивительные закономерности были обнаружены и по­

няты

американским

математиком

М.Фейгенбаумом

в 1978

году

[261

- 263]. М.Фейгенбаум предложил функциональные

уравне­

ния,

определяющие а,

б,

g0(x). В

силу

универсальности

свойство (4.9) и существование универсальных

функций

получили объяснение именно в этой теории.

В этой теории применяется метод ренорм-группы,

широко

зике.

При таком подходе постоянная а может быть определена

из

уравнения,

которое имеет

наглядный

геометрический

смысл.

Сравним рис. 4.3 и 4.8. Элемент кривой

f2(x),

попав­

ший

внутрь меньшего квадрата,

очень похож на

дугу

функций

f\x), содержащуюся внутри квадрата на

рнс. 4.3.

Практи­

чески, они

отличаются только

масштабом

и

ориентацией

осей.

Расчеты показывают, что

„п

п > 1, при А = Ад

для функций f ,

такое подобие также имеет место. Оно выполняется

тем

точ­

нее,

чем больше

п.

Пусть

для

некой функции

g(x) такое

подобие выполняет­

ся

точно.

Если

считать,

что

коэффициент

растяжения

вдоль

g(x) =

- a g(g(-% -)) = (Tg)(x),

(4.10)

Оно

позволяет

определить

как

функцию g(x),

так

и

значение

а. Функция g

определена

на

отрезке

[-1, 1];

считается, что

она имеет единственный максимум при х = 0

и симметрична:

g(x) = g(-x).

Вблизи

максимума g(x)

должна

быть

близка к

квадратичной параболе, причем g(0) = 1. Оператор

Т называ­

ется

преобразованием удвоения [261, 262].

отображений

отрезка

[-1, 1]

в себя таких,

что f(x) €

€ С2([—1,1]),

х =

0

является

точкой максимума ДО) = 1.

Это пространство

инвариантно

относительно

преобразования

Т.

Е2 = г 'Е,....Е к=

ь-г

При

пересечении

поверхности

происходит Л-ая би­

фуркация

удвоения: из устойчивого

цикла

периода

2к-1

рож­

дается устойчивый цикл периода 2к.

Оказалось, что

поверхности

сходятся к

Ts(g),

при­

чем при больших k расстояние между J^+1 и Ts(g) в

5 раз

меньше, чем расстояние между

и

rs(g).

Поэтому бифурка­

помощью ЭВМ

решается уравнение

Фейгенбаума, ищутся посто­

янные а и б.

Для решения этих

задач можно использовать

масштабах.

В

частности,

с

аттрактором

Фейгенбаума

сосу­

ществует

бесконечное количество неустойчивых

циклов

типа

S2 . Структура и эргодические свойства предельных множеств

одномерных отображений при Л=ЛШ подробно обсуждаются

в ра­

боте [57].

В окрестности точки Лш аттракторы

имеют

харак­

терный спектр

мощности,

по

которому

можно

судить

о

том,

представляет

обобщение

результатов

теории

универсальности

на отображения более

высокой размерности.

В

частности,

изучались

двумерные

преобразования

R —* R ,

близкие к

отображению

F

где g

- универсальная

функция,

являющаяся

решением уравне­

ния

(4.10) (g(x) =

1 -

1.52763*2

+ 0,104815х4 -

с

...).

Было доказано, что

в каждом

двупара-

ч- 0,0267057* +

цетрическом

семействе отображений /?2 —» Z?2, которое прохо­

дит достаточно близко к F, происходит бесконечная последо­

вательность

бифукаций

удвоения

периода

при Afe,

Afe имеют

Предел Аш и

|Ал -

Аш| к

const 'д~п [235].

Таким

образом,

переход от

простейших упорядоченных к

(непериодическая последовательность

при Аю) здесь выступа­

ет как предел сверхсложной временной

упорядоченности.

Переход к хаосу может происходить по-разному даже в

простейших

физических

системах.

Например,, в

гидродинамике

было

описано следующее

явление.

Если

наблюдать

за

течением

достаточно

долго, не изменяя его

параметров,

то

можно уви­

деть,

что

в упорядоченном ламинарном

потоке

вдруг

появля­

При некотором значении

А

Л/

=

3,83)

из

хаоса

скачком

(А

о

появляется

устойчивый цикл

5

. Чтобы о понять

происходящее,

рассмотрим

одномерное

отображение

f (х)

=

f(f(f(x,А))) до

того,

как

цикл

появился,

А

<

Л/

(рис.

4.10,а),

и

после

А

Л/

этого,

А>А

(рис.

4.10,6).

При

увеличении

параметра

А

кри-

вая

f

(х)

становится круче,

и

у нее появляются новые

точки

пересечения с

прямой

у =

х.

Они

обозначены

буквами

Af12 3

и

^ 2 з

на

Рис-

4.10,6.

Все

они

являются

неподвижными

точками

отображения

/3(х).

Производная функции

/3(х) в

точках

МуМ^М^

(см.

формулу(4.8))

одинакова

и по

модулю

устойчивый цикл S3.

Наклон в точках

2 3 также

одинаков,

ио там выполняется

противоположное

неравенство.

В отобра­

Название

связано с

тем,

что в точке

бифуркации

кривая

f(x)

касается

диагонали

у =

х.

Соответственно

производная

df

дх

в этой точке равна единице.

х1

Зададим какое-нибудь

начальное

значение

и

посмот-

рим, как

действует

О

когда

А

>

А/

и

А/

< А.

отображение f ,

А

А

вначале происходит медленное движение к точке

М (рис.

4.11,6). Однако потом элементы

последовательности

быстро

Рис. 4.11. Функция

/ в

большем

масштабе:

а)

точка

М

соответствует устой­

чивому

циклу S'*,'

точка

N -

неустойчивому

циклу;

б)

характерная картина

перед

возникновением

цикла

„3

в результате

тангенциальной бифуркации

S

тангенциальная

бифуркация.

Из рис.

4.11 ясно, что на

ин-

тересующем нас

участке

отображение

о

см.

/ (х) (или g(x),

рис. 4.12) может быть

приближено отображением

*п+1

= *п

+ а х п - А

(4 1 1 )

Поскольку *n+1

- х «

\ (при А

—»

0), формулу (4.11)

можно аппроксимировать дифференциальным

уравнением

dx

ах2- А.

I f

Интегрируя его,

можно

убедиться,

что

время Дt (а зна­

чит, и

количество

итераций), которое траектория х(т) про-

изводит

вблизи нуля,

пропорционально А—1/9

Рис. 4.12.

Типичная

картина

перемежаемости:

а)

несколько итераций

отоб­

ражения

= 1

-

|

-

А |1/2/

[1 +

(х п -

А)2], А = 0,769; б)

зависи­

мость точек последовательности от номера

итерации. Для

наглядности

Хп и

соединены,

=

0,01

Именно такая зависимость и наблюдается в расчетах.

Переход

к хаосу,

связанный

с

перемежаемостью, наблюдается

во многих сосредоточенных системах [150, 204]

и,

по-

видимому, характерен

для большого

класса нелинейных

сред.

§ 4.3. Аттракторы одномерных отбражений

До

сих

пор,

рассматривая

одномерные

отображения,

мы

не уточняли,

с

каких

начальных

данных происходит выход

на