книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

Г Л А В А 2

СЛОЖНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ

ВНЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССАХ

§2.1. Модель тепловых структур

Изучение нелинейных диссипативных сред естественно

начать с самых простых моделей. Оказывается, многие пара­ доксальные свойства нестационарных структур, типичные для нелинейных систем, могут быть исследованы с помощью одного

1. По-видимому, впервые параболическое уравнение нелинейным источником рассматривалось в работе А.Н.Колмо­ горова, И. Г. Петровского, Н. С. Пискунова [114]. При этом изучалась задача Коши и предполагались выполненными следу­ ющие требования:

Впоследствии это уравнение использовалось для описания эпидемий, движения возбуждений в нервном волокне, рас­ пространения пламени в горючей среде [213]. В работе был

32

сравнения: если u^x,t) и u2(x,t) - два решения уравнения

> и2(х,0) при всех значениях х, то при 0 < t < ю u^x,t) >

>u2(x,t). Для линейного уравнения теплопроводности без

источника теорема сравнения доказывается в стандартных

курсах математической физики [185], достаточно просто она

(2.1) при t —» ю будет определяться одним из построенных

Выход на автомодельное решение при t —* ю приводит к

уменьшению числа степеней свободы, т. е. в системе проис­ ходит самоорганизация. Класс источников Q(u), для которых наблюдается аналогичное поведение, может быть значительно

ход на стационарные решения. Для последних аналитически

по Ляпунову. Таким образом, сложные диссипативные структу­

ры, такие, как в системах реакция - диффузия, здесь невоз­ можны.

Асимптотика решений при t —> оо исследуется обычно в

тед случаях, когда основной интерес представляк^ самые медленные процессы. Однако, как мы уже упоминали, в по­ следнее время все большее внимание в физике плазмы, хими-

2 Т.С. Ахромеева и др.

33

ческой кинетике и биологии привлекают нестационарные про­ цессы, идущие с наименьшими характерными временами в изу­ чаемых системах [121]. Их идеализацией являются режимы с обострением, при которых одна из исследуемых величин неог­

ния, где возможны режимы с обострением, представляют собой

предела скоростью, так как в естественном отборе побеждают более совершенные формы, возникающие быстрее, раньше дру­

ных данных. Вопрос о наличии режимов с обострением иссле­ довался и для многих систем обыкновенных дифференциальных

34

задачу, изучавшуюся Гудерлеем, о кумуляции сферических

ударных волн на центр [186], некоторые модели турбулентных

нарных краевых режимов на линейные среды [170], задачи фи­

(а также с линейным источником или стоком) в случае финит­ ных начальных данных (TQ(x) = 0 вне некоторой области G)

при t > 0 температура оказывается отличной от нуля во всем

пространстве - тепловые возмущения в такой модели рас­

пространяются с бесконечной скоростью. Совершенно иное по­ ведение наблюдается в системах, где теплопроводность нели­

При финитных начальных данных в уравнении без источника скорость фронта тепловой волны в таких средах оказывается

Пусть 3 = 0’ + 1. 3 > 1- Типичная эволюция решения за­ дачи (2.3) показана на рис. 2.1. Сначала максимальная тем­

момент времени тепло сосредоточено в ограниченной области пространства. Далее фронт доходит до некоторых точек А и В (см. рис. 2.1, момент 14) и останавливается. Тепло оказы­

вается локализованным в ограниченной области, размер кото­ рой мы обозначим через Lf. После этого полуширина нагретой области остается постоянной, а амплитуда (максимальная температура) увеличивается. Причем рост температуры проис­ ходит в режиме с обострением - за конечное время tf ее

максимум обращается в бесконечность. Результат расчета

представляется парадоксальным - несмотря на неограниченный

рост температуры и наличие диссипативных процессов, тепло

оказывается локализованным в ограниченной области прост­ ранства. Отметим, что закон изменения полуширины и ампли­ туды профиля температуры в этом случае хорошо согласуется с решениями осредненной системы [121].

Рис. 2.1. Возникновение диссипативной тепловой структуры с постоянной по­ лушириной (5-режим)

Большой цикл работ, выполненных в последние годы, по­ казал, что локализация является общим свойством многих не­ линейных сред. Оно может быть обусловлено действием специ­

альным образом подобранных краевых режимов [60], наличием

стоков [144, 109]. К локализации тепла в нелинейной среде

в течение конечного времени может приводить постановка на­ чальных данных определенной конфигурации [129].

Будем менять амплитуду и полуширину начального рас­ пределения. Расчеты показывают, что это приводит к измене­ нию значения tf, однако величина области локализации (для

36

37

исходит с одним значением времени обострения. Поэтому ес­

тественно рассматривать упорядоченность, возникающую в та­

кой среде и развивающуюся в режиме с обострением, как

положить, что на развитой стадии происходит выход на авто­

которая задает форму диссипативной структуры, получаем не­

Условие при £ = 0 позволяет выделить только симметричные решения, на которые и происходит выход при t —» t{. Два

38

других условия позволяют выделить локализованные решения.

и есть размер области локализации. Форма структуры и вели­

одинаковых начальных профиля, приводящих к возникновению

—» ty а второй неограниченно растет (см. рис. 2.2,6). Это типичная картина для режимов с обострением. Поэтому в не­ линейной среде, которая описывается уравнением (2.3), надо

39

рассматривать только самые быстрые процессы с минимальными

временами обострения.

До сих пор мы полагали, что 0 = а + 1. Выясним, что

В первом случае полуширина распределения температуры долж­

на сокращаться, при этом говорят, что реализуется LS-pe-

жим с обострением, во втором случае она неограниченно воз­

растает, и мы имеем HS-режим. Примеры обоих режимов по­

казаны на рис. 2.3. Когда 0 = <г + 1, полуширина остается постоянной (S-режнм) [121, 170, 172].

Для нелинейной задачи (2.3) не справедлив принцип су­ перпозиции. Действительно, если изменить начальные данные

в несколько раз, то это приведет не к умножению решения на

постоянную величину, а к процессу, идущему в совершенно

другом темпе, с другим временем обострения. Здесь нельзя «сшить» общее решение из известного набора частных. Так

какова же ценность найденного автомодельного решения?

Ответ следует из ряда приведенных расчетов [121] и некоторых строгих утверждений [170]: любое распределение при t —» fj выходит на одно или несколько автомодельных решений. И хотя здесь нет принципа суперпозиции, мы знаем,

математической физики связан с разделением переменных и последующим нахождением множества частных решений. Для этого ищутся собственные функции изучаемой задачи (которые также являются некоторыми автомодельными решениями). Они

существенно зависят от области, в которой решается уравне­

ние, и от граничных условий. Далее с помощью этого набора частных решений строится общее [185].

На первый взгляд обсуждаемая ситуация оказывается по­ хожей, нелинейная задача (2.3) допускает обобщенное разде­ ление переменных (2.5). Определение профиля автомодельного

40