книги / Специальные методы электрических измерений
..pdfпонимание процесса уравновешивания безусловно спо собствует более эффективному использованию мостов переменного тока, а в ряде случаев обусловливает ус пешное проведение измерений вообще.
Выше (см. § 6-1) мы указывали, что для уравнове шивания моста переменного тока необходимо одновре менное регулирование не менее двух параметров схемы, в общем «случае из шести возможных, что дает 16 ком бинаций регулируемых пар. Однако более тщательное изучение вопроса показывает, что выбор объектов регу лирования вовсе не так произволен, как это на первый взгляд кажется. Выбор параметров схемы вообще и из них регулируемых, в частности, определяет такие важ ные свойства, как так называемая «сходимость» и раз дельный отсчет.
Следовательно, нельзя отрывать изучение процесса уравновешивания и отсчета от выбора постоянных и пе ременных параметров схемы.
Процесс уравновешивания моста проще всего пред ставить себе с помощью топографической (круговой) диаграммы.
На рнс. 6-10 представлена в качестве примера схема индуктив ного моста, а на рис. 6-11 его топографическая диаграмма. При по строении диаграммы мы исходили из того, что измеряемое комплекс ное сопротивление находится в плече ас (Яи Ц ) , а переменными
параметрами могут быть выбраны любые из оставшихся — Яг, Яз, Ял и 1*4. Точки а, Ь^ с и й на топографической диаграмме представ ляют потенциалы одноименных вершин моста; линии N. Я и ^ — траектории потенциальных точек й и с при изменении соответствую щих параметров (Ц для траектория Р, Яз для ДО и т* Д-).
Для четырехплечих мостов, включая и общий случай, когда все плечи являются комплексными сопротивле ниями, траекториями потенциальных точек на топогра фической диаграмме являются окружности. Приведем одно из возможных доказательств того, что траектория ми потенциальных точек вершин хмоста, которые обычно называются линиями уравновешивания, являются ок ружности.
Напряжение Оаа равно:
|
|
|
( 6 " 2 9 ) |
Подставляя значения |
комплексных сопротивлений 2 г |
||
и 2 4 в (6-29), получаем: |
|
|
|
Ту |
_ |
У а Ъ |
( К -*Ь } Х 4 ) |
|
ай~ <«, + /*»Н -(Л .+ /А '.Г |
||
Для дальнейшего весьма удобно ввести функцию |
|||
|
|
и |
а Ь |
т. е. функцию, выражающую падение напряжения в пле че моста в долях напряжения питания ОаЬ:
_ну |
____ ^4 4~ /ДГ4_____. |
О а Ь |
(Л1 + № )+ (Л 4+ /^4) |
Избрав один из входящих в это выражение парамет ров в качестве переменного (например удобнее функ цию № выразить в виде:
\Х4+ |
(6-30) |
|
[Лз+/(*з+ Хь)} + |
||
|
Уравнение (6-30) представляет собой дробно-линейную функцию № от переменного /?4. В этом легко убедиться, сопоставив (6-30) с выражением для дробно-линейной функции в общей форме:
|
е + (Р |
(6-31) |
|
|
ё |
+Л Р ’ |
|
|
|
||
где е, |
и к — постоянные |
комплексные величины; |
|
|
Р — переменный параметр. |
|
|
Одним из свойств дробно-линейной функции являет ся как известно, простая зависимость между траектори-
ей, описываемой концом вектора и траекторией из менения параметра Р, а именно: если 'при изменении Р траекторией, соответствующей точке Р, является пря мая, конец вектора № описывает окружность.
В нашем случае в качестве переменного выступает Р4 или любой другой параметр моста (*/?г или Х{), изме нение которых можно представить в плоскости 2,- толь
ко по |
прямой (ось |
действительных или |
мнимых вели |
чин); |
следовательно, |
конец вектора |
движется |
|
|
|
и аь |
по окружности.
Нетрудно показать, что уравнения для напряжения
и ас или Цъс аналогичным образом приводятся к виду дробно-линейной функции типа уравнения (6-31).
В случае параллельного соединения сопротивлений
в плече выражение для вектора напряжения 0 аа будет отлично по своим коэффициентам от уравнения (6-30), оставаясь в то же время дробно-линейной функцией. Последнее основано на известном положении, что ре зультат применения двух дробно-линейных -преобразо ваний есть также дробно-линейная функция. При парал лельном соединении параметров в плече общее сопро тивление плеча 2 есть дробно-линейная функция от пе ременного параметра /? или X, т. е.
2 = Др(Я) — или Др(Х),
а ранее уже было показано (6-29), что
И7 = Др(2),
следовательно,
№ = Др(Р) или Др (X).
При этом развернутое выражение для И? будет, есте ственно, иметь иные, чем в (6-31), коэффициенты
*+
т-\-пР
Последнее дает нам право считать, что в любой схе ме четырехплечевого моста выражения для траекторий точек с и й приводятся к дробно-линейной функции. Вследствие этого мы можем считать^ что изменение лю бого параметра четырехплечего моста переменного тока вызывает движение точек с и й на топографической
184
диаграмме по окружности. Иначе говоря, линиями урав новешивания в четырехплечих мостах переменного тока являются окружности. При этом следует иметь в виду, что частный случай, когда линия уравновешивания представляет собой прямую (например: 23=|/?3; 24=./?4), также не опровергает только что приведенной общей формулировки, если рассматривать прямую как окруж ность с радиусом г = оо.
Рассмотрим теперь на ряде примеров процесс урав
новешивания моста |
(рис. 6-10) с помощью обычно при |
|
меняемого нулевого прибора в качестве указателя. |
||
П е р е м е н н ы е |
п а р а м е т р ы |
и */?3. В этом слу |
чае процесс уравновешивания будет происходить в со ответствии с топографической диаграммой, представлен ной на рис. 6-12. Мост уравновесится тогда, когда потен циальная точка с(0 будет приведена к точке С0. Начав процесс уравновешивания с регулировки переменного мы ведем эту регулировку до прихода точки йо в точку йи соответствующую наименьшему отклонению указате
ля. При этом линия С0о?1 перпендикулярна |
касательной |
к окружности 'М в точке к\. |
|
Далее переходим к регулированию параметра 14 до |
|
тех пор, пока точка й\ попадает в точку |
отвечающую |
аналогичным условиям, и т. д. Путем переменного регу
лирования переменных */?3 и |
мы, наконец, совмещаем |
|
точку йо с точкой С0. |
|
и /?3. Процесс |
П е р е м е н н ы е п а р а м е т р ы */?4 |
||
уравновешивания представлен |
на рис. |
6-13. |
I
Рцс. 6-11*2. |
Рис. 6-13. |
П е р е м е н н ы е п а р а м е т р ы </?4 и /?2. В этом слу чае переменные параметры находятся в разных ветвях (асЬ и ас1Ь), и для равновесия необходимо точки с и Л привести к общей точке к. На рис. 6-14 изображен про цесс уравновешивания моста при указанном случайном, но вполне возможном начальном положении точек С0 и Ао, неизбежно ведущем к ложному равновесию в точке Ь,
где |
а Ка= оо. |
|
В подобных случаях следует установить переменные |
параметры Т?2 и Ка в положение, когда /?2 максимально, а Т?4=0. При этом начальные положения точек с10 и Со
переместятся в положения ^ и С0. Дальнейшие попе
ременные регулировки приведут мост в положение ис тинного равновесия в точке к.
Ознакомление с процессом уравновешивания моста
спомощью обычного нулевого указателя, включаемого
визмерительную диагональ, позволяет сделать следую щие заключения:
1.Процесс уравновешивания связан с поочередным регулированием двух переменных параметров и вообще
|
физически возможен только |
|||||
|
при выборе такой пары этих |
|||||
|
параметров, линии |
уравно |
||||
|
вешивания |
которых |
пересе |
|||
|
каются |
(или |
касаются) в |
|||
|
плоскости |
диаграммы хотя |
||||
|
бы еще в одной точке, кро |
|||||
|
ме а или Ь. Так, например, |
|||||
|
уравновесить |
мост |
(рис. |
|||
|
6-10) при помощи измене |
|||||
|
ния параметров Т?2 и Кз со |
|||||
Рис. 6-14. |
гласно |
диаграмме, |
приве |
|||
денной на |
рис. 6-11, вообще |
|||||
|
||||||
невозможно.
2. Процесс приведения мостовой цепи к состоянию равновесия зависит от выбора переменных параметров и может быть охарактеризован некоторым понятием сходимости, под которым мы будем подразумевать спо собность моста приближаться к равновесию.
3. Количество переменных регулировок тем меньше, чем больше угол пересечения окружностей 1 уравнове
1 Более строго — карательных о точке пересечения.
шивания |
(ср. рис. 6-12 с 6-13)— так |
называемый угол |
||
сходимости, являющийся |
численной |
характеристикой |
||
свойства сходимости моста. |
|
|
||
4. |
В случае,, когда |
переменные" параметры располо |
||
жены в разных ветвях моста |
(асЬ и айЬ), процесс урав |
|||
новешивания может привести |
к точкам ложного равно |
|||
весия а и Ь. Для исключения этого необходимо перед началом уравновешивания установить переменные пара метры в определенные предельные положения.
Из вышеизложенного видно, что, действительно, ис следование процесса уравновешивания мостов перемен ного тока получается .простым и наглядным при приме
нении |
топографических (круговых) |
диаграмм. В |
связи |
л: этим |
возникает весьма важный |
практический |
вопрос |
о рациональном способе построения круговых диаграмм. Другой не менее важной задачей является определение линий центров окружностей уравновешивания.
Прежде всего определим сущность самого понятия — л и н и я це нт ров . При построении окружности урав новешивания мы исходим из того, что в рассматривае мой ветви имеется только один переменный параметр, для которого и строится окружность уравновешивания, а остальные постоянные параметры определяют коорди наты ее центра. Практически это сводится к тому, что регулируется лишь один параметр ветви моста.
Однако для уравновешивания моста переменного то ка необходимо иметь два регулируемых параметра. Сле довательно, в случае, если оба переменных параметра находятся в одной ветви, произойдет перемещение цент ра окружности, так как один из постоянных параметров, определивших координаты центра, становится в свою очередь переменным.
В соответствии с изложенным линию, представляю щую собой геометрическое место последовательных по ложений центров окружностей уравновешивания для одного переменного параметра, при переходе на регу лирование второго параметра ветви называют л и н и е й ц е н т р о в .
Из рассмотрения и сопоставления различных спосо бов построения круговых диаграмм можно заключить, что наиболее рациональным путем решения этой задачи является метод построения окружностей уравновешива ния по координатам центра и длине радиуса.
Рациональность этого метода подтверждается сле дующим. Во-первых, выражение, которое будет служить для определения координат центра, одновременно явит ся исходным и для уравнения линии центров. Действи тельно, положив в этом выражении один из постоянных параметров переменным, мы получим это уравнение. Во-вторых, построение окружности уравновешивания мостов переменного тока по координатам центра и дли не радиуса фактически сводится к построению ее только по координатам центра; длину радиуса никогда не при
сходится определять вследствие то го, что все эти окружности обяза тельно проходят через неподвиж ные точки круговой диаграммы а и
Ь или же |
одновременно через |
|
а и Ь. |
показать |
чрезвычай |
Последнее |
||
но просто. На |
рис. 6-15 |
представле |
на схема моста с различным харак тером сопротивлений плеч.
В качестве переменных могут быть приняты различные парамет ры моста. Так, например, для пере менного У?2 окружность уравнове
шивания проходит через точку а при 1^ 2= °о и через точ ку Ъ при /?2= 0.
Для переменного ^?з окружность уравновешивания проходит через точку Ь при 1/?3= 0, а для переменного Х± окружность проходит через точку а при Х^=оо и т. д.
Все эти примеры .нетрудно обобщить, так как все плечи моста примыкают либо к вершине а, либо к вер шине Ь моста. Сопротивления в плече могут быть вклю чены последовательно или параллельно. Вследствие это го при доведении последовательно включенного пере менного параметра до бесконечно большого значения мы получим равенство потенциалов вершин с или д. с вершинами а или Ъ. Точно так же совпадение потен циалов вершин с или й с вершинами а или Ь будет по лучено, когда параллельно включенный переменный па раметр получит (значение, равное нулю.
Выражение, служащее для определения координат центра окружности, может быть получено несколькими путями (в том числе и методами аналитической геомет-
188
рии), однако наиболее простым является вывод этого выражения, основанный на методе конформных отобра жений. Применение этого метода дает следующее выра жение для определения аффикса центра \РСокружности уравновешивания (вектора, определяющего центр):
|
_ |
1 |
I |
|
|
I |
ь |
|
|
|
|
2 ’ Це(я) |
I |
|
|
|
Ре (Л) |
1ш (А) | |
|
гд е |
е , |
ё , п — постоянные комплексные ве |
||
|
|
личины, полученные |
в ре |
|
|
|
зультате приведения выраже |
||
|
|
ния для функции У7 иссле |
||
|
|
дуемой ветви к виду уравне |
||
|
|
ния (6-31); |
|
|
|
|
ё, ь — сопряженные значения |
комп |
|
|
|
лексных чисел ё и Н; |
|
|
Ее (я), Ке(/г), 1т (ё), 1ш(/г) — вещественные и мнимые части соответствующих комплекс
ных чисел.
•Рассмотрим на примере общего вида моста с четырьмя ком плексными плечами способ построения окружности уравновешивания с помощью выражения /(6-32). Само собой разумеется, что для этого достаточно исследовать только одну ветвь, содержащую переменный параметр (скажем аЛЬ), изображенную на рис. 6-16, так как вторая ветвь асЬ представляет собой аналогичную цепь.
Пусть оба переменных па раметра (пример должен охва тить и построение линии цен тров) находятся в исследуемой
нами ветви айЬ. »При этом не |
|
переменных пара |
|
обходимо ввести |
различные наименования для |
||
метров, |
|
|
|
•Принимаем, что переменный параметр, для которого строится |
|||
окружность уравновешивания, |
будет называться |
н е з а в и с и м ы м |
|
п е р е м е н н ы м , |
а параметр, |
регулирование которого определяет |
|
линию центров окружностей уравновешивания для независимого переменного, будет называться просто п е р е м е н н ы м п а р а м е тром.
В нашем примере будет независимым переменным, а одни из оставшихся трех параметров будет выполнять роль переменного па раметра.
В дальнейшем для удобства на круговых диаграммах будут изображаться точки, соответствующие относительным потенциалам,
Т. е. потенциалам, отнесенным к постоянному Ц аь. Эту величину мы уже ранее обозначили через №. Таким образом, всегда №„ = 0 (т. е, № для вершины.а равно нулю), №ь = 1 ,-а для произвольной точки
к имеем №Л= -г— .
Мак
Окружность уравновешивания строится в такой последователь ности:
1 . Приводим выражение для №а |
к виду дробно-линей |
иаъ
функции, т. е. к виду:
у - е
"й+кР ’
причем в качестве параметра Р в нашем примере будет выступать независимая переменная Р г:
- |
# 4 + / * 4 |
- |
* 4 + / * 4 |
“ Оаъ |
^ + / * 4 + Д г И |
* . |
[« 4 + ]{Хг + Х Л + Я , • |
2. Выписав предварительно значения коэффициентов е, {, §, к, Не(^), Ке(/*), 1 ш(^), 1 ш(Л), входящих в состав формулы дробнолинейной функции, находим координаты центра в соответствии с вы ражением (6-32) и наносим их на диаграмме.
Значения коэффициентов в нашем примере будут равны:
е = Рл -\- } Х 4; } = 0; ^ = |
# 4 + |
/ ( Х 9 + Х 4); Л = |
1; |
|
Ке(2) = Д4; 1т (ё ) = |
Х 3 + |
Х 4, |
К е ( Л ) = 1 ; 1ш(Л)=0, |
|
откуда |
Я* + }Х4; |
0| |
|
|
|
|
|||
| |
Я4‘, |
(*> + **) |
|
|
После раскрытия определителей |
получаем: |
|
||
1Гс = |
2 (А, + |
А*) ' |
(6‘33) |
|
Координаты центра, которые, как известно, равны соответствен но вещественной и мнимой составляющим аффикса, будут:
. |
я. |
1 |
2 (* . + *«) - - > |
2(А', + |
А.) ■ |
3. Определяем неподвижную точку, через которую должна про ходить искомая окружность. Из рассмотрения рис. 6-16 видно, что при -Дз-юопотецниальная точка й. совпадает с точкой а.
Таким образом, в нашем распоряжении имеются все необходи мые данные для построения окружности уравновешивания, а имен но: координаты центра окружности и точка на окружности.
190
|
4. |
Определяем характер и направление линий центров. Как ука |
||||
зывалось, уравнением линии центров служит выражение для аффик |
||||||
са центра окружности |
(6-32) в случае, если один из параметров, |
|||||
входящих в правую часть его, станет переменным. Выражение (6-32) |
||||||
представляет собою |
дробно-линейную функцию, и, следовательно, |
|||||
при линейном изменении переменного параметра конец вектора 117с |
||||||
описывает окружность |
(или в частном случае прямую). Траектория |
|||||
конца вектора |
ТГС и |
является |
||||
искомой |
линией центров. |
|
||||
|
Для |
определения |
характе |
|||
ра линии центров в нашем |
||||||
примере |
необходимо |
|
дополни |
|||
тельно проанализировать выра |
||||||
жение (6-33). Так нетрудно |
||||||
Заметить, |
что |
при |
определен |
|||
ных |
значениях |
возможных |
пе |
|||
ременных |
параметров, |
а имен |
||||
но |
/?4=°° |
или |
|
Х 3= — Х А, |
||
№с = оо, |
что |
свойственно |
не |
|||
окружности, а прямой, т. е.
выражение (6-33) является уравнением прямой линии. Как показы вают более детальные исследования, линии центров в виде прямой вообще свойственны всем практически применяемым схемам мостов переменного тока,
Решив принципиально вопрос о характере линий центров, не трудно уже установить и точное направление этих линий путем опре деления двух точек на каждой из них.
(Рассмотрим все три возможных линии центров.
Л и н и я ц е н т р о в |
д л я п е р е м е н н о г о |
|
/?4. В данном слу |
|
чае линия центров — это |
прямая, |
проходящая |
через центр окруж |
|
ности параллельно оси |
мнимых |
величин, так как действительная |
||
|
X |
|
|
|
часть вектора №с. равная |
2(Л~ + ~Х±) » остается |
неизменной. |
||
Л и н ия ц е н т р о в д л я п е р е м е н н о г о |
X |
Определяем две |
||
точки на прямой: первая точка будет при Х ^ = — 2 Лу. |
||||
в качестве второй точки |
может |
служить найденный ранее центр |
||
окружности. Однако при желании определить линию центров неза висимо от проделанного ранее удобно для нахождения второй точки
положить ^ 4= 00, при этом №с—~2 и* такнм образом, линия цент
ров вполне определена, являясь прямой, расположенной под некото рым углом к координатным осям.
Л и н и я ц е н т р о в |
д л я л в р е м е н и ого Х& |
|
Первая точка: №с = 0 при Х а = |
оо. |
|
Вторая точка: № с = |
1 — / ^ |
при Х а = -----!р Х 4. |
Линия центров, так же как и в предыдущем случае, является циклонной к осям прямой.