книги / Специальные методы электрических измерений
..pdfНа основании полученных данных строим круговую диаграмму (рис. 6-17) для независимого переменного Яз и трех возможных пе ременных Х 3 и Я*
С помощью указанной методики могут быть вычислены коорди наты центра и построены линии центров для всех возможных схем четырехплечнх мостов.
6-4. СХОДИМОСТЬ МОСТОВ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Вопрос о простоте и скорости уравновешивания мос товой цепи переменного тока, где регулировка произво дится одновременно при помощи двух параметров, имеет первостепенное практическое и теоретическое зна чение.
С этой точки зрения особый интерес представляют те процессы уравновешивания моста, которые происхо дят вблизи от равновесия, так как они в основном н определяют способность моста приближаться к равно весному состоянию
Как уже упоминалось ранее (см. § 6-3), способность моста приближаться к состоянию равновесия характери зуется некоторым понятием с х о д и м о с т и . Уточним теперь, что под сходимостью моста переменного тока мы будем подразумевать характеристику скорости про цесса полного уравновешивания мостовой цепи, находя щейся вблизи равновесия.
Вблизи равновесия моста соотношения между напря жениями в цепи могут быть представлены на небольшом участке круговой диаграммы, и дуги окружностей урав новешивания при этом могут быть с достаточной сте пенью точности заменены отрезками прямых. При таких допущениях анализ уравновешивания мостов перемен ного тока в значительной степени упрощается, и сходи мость может быть охарактеризована некоторыми впол не определенными величинами, легко поддающимися математическому расчету.
Перейдем к рассмотрению поведения моста вблизи равновесия и определению величин, характеризующих его сходимость.
Пусть переменные параметры р и д, при помощи ко торых производится уравновешивание моста, находятся1
1 Если в начале регулировки мостовая цепь находится в режи ме, далеком от равновесия, то, как это легко видеть из топографи ческой диаграммы, уже первая регулировка .приводит мост к со стоянию, довольно близкому к равнопесню.
в ветви айЬ. При этом в процессе уравновешивания бу дет изменяться только напряжение, при котором нахо дится вершина й моста. На рис. 6-18 представлены в ви де отрезков прямых линии уравновешивания Р и <2, со ответствующие изменениям параметров р от <7. Непо
движная потенциальная |
|
|||
точка |
с, соответствую |
|
||
щая вершине |
с моста, |
|
||
принята за |
начало си |
|
||
стемы координат. |
|
|||
Заранее |
условимся, |
|
||
что мы будем рассмат |
|
|||
ривать мосты с такими |
|
|||
нулевыми |
указателя |
|
||
ми, которые реагируют |
|
|||
только |
на |
амплитуду |
|
|
напряжения |
|
неравно |
|
|
весия |
моста. |
Предпо |
|
|
ложим также для упро- |
Рис. 6-18. |
|||
щепия, |
что |
порог чув |
|
|
ствительности нулевого указателя равен нулю, и ми нимум амплитуды напряжения неравновесия может быть установлен идеально точно. Процесс уравновеши вания при этом будет происходить следующим образом (рис, 6-18). Пусть первоначально вектор напряжения
неравновесия моста равен Путем регулировки пара метра р находим минимум амплитуды напряжения не равновесия. Это будет в том случае, когда точка й пере местится в положение й\ и линия Р будет перпендику лярной отрезку ей1. Напряжение неравновесия окажет
ся при этом равным вектору Оы- При регулировке пара метра <7 точка й перемещается по отрезку й\й2, В поло жении й2 будет достигнуто следующее минимальное зна чение амплитуды напряжения неравновесия, которое
окажется равным Оы2. Отрезок сй2 при этом будет пер пендикулярен линии С}. Дальнейшее движение точки й происходит аналогичным образом.
Из рис. 6-18 нетрудно видеть, что имеет место сле дующее соотношение между модулями векторов напря жений неравновесия:
Ц с А \ |
У с й 2 |
^ е й з |
^ ей 2 |
У сйЪ |
V ей 4 |
Усйп_ |
1 |
(6-34) |
|
Усип+1 |
С05 у с * |
||
|
где .ус— угол между линиями уравновешивания вблизи точки равновесия. Угол ус в дальнейшем будем назы вать у г л о м с х о д и м о с т и .
Выражение (6-34) позволяет найти число п последо вательных уравновешиваний (регулировок), которые не обходимо выполнить для того, чтобы получить уменьше ние напряжения неравновесия в т раз. Так как
СГ.а, |
ЦсЛ1 |
Цыг |
( 1 |
^ сйП+1 |
УьйЪ |
^СЙЗ |
1 \ С 0 5 Т с ) |
то число регулировок п будет:
( 6 - 3 5 )
^С05 Т с
Из (6-35) видно, что в качестве меры сходимости моста может быть принят коэффициент, равный отноше нию логарифма относительного уменьшения напряже ния неравновесия т к числу необходимых последова тельных регулировок п:
6 с = ^ = 1 е — !— . |
( 6 - 3 6 ) |
' |
||
С |
П |
Ь СОЗТс |
4 |
|
Таким образом, коэффициент сходимости моста /гс, определенный нами при несколько идеализированных условиях (порог чувствительности указателя равен ну лю), зависит только от параметров схемы моста и чис ленно определяется как логарифм секанса угла сходи мости ус. Из (6-35) и .(6-36) следует, что наилучшая сходимость и максимальный коэффициент сходимости будут при
В практически осуществимых мостах переменного тока чувствительность нулевого указателя является ог раниченной, и для каждого, даже самого совершенного указателя в силу ряда физических причин существует некоторый порог чувствительности. Поэтому незначи тельные изменения измеряемой величины, равные поро гу чувствительности, не могут быть нами обнаружены. Это явление может быть охарактеризовано и оценено в случае измерения модуля вектора напряжения нерав*
*
новесия {Усй, конец Которого перемещается по отрезку прямой (линии уравновешивания) при помощи некото рого угла е, определяющего максимальное, не заметное
для нас отклонение модуля вектора 0 св. от его мини мального значения1. На рис. 6-19 представлена область круговой диаграммы вблизи точки равновесия моста.
Конец вектора 0 са при уравновешивании перемещается по линии уравновешивания Р. Пусть точка й из положе ния с?<ь соответствующего минимуму напряжения нерав новесия, переместилась в положение йи и при этом мо
дуль вектора 0 са получил приращение Омаь равное по рогу чувствительности нулевого указателя А. Как видно
из рисунка, между углом е отклонения вектора 0 С& и порогом чувствительности А будет иметь место следую щее соотношение:
1
Как видно из этого выражения, угол е, который од нозначно определяется относительным порогом чувстви
тельности |
может быть принят в качестве некото |
рой характеристики качества нулевого указателя. Вели чина угла е зависит от типа применяемого прибора. На пример, для вибрационного (резонансного) гальвано метра величина угла е может быть принята равной 8— 10°, а для телефона, используемого в качестве нулевого указателя, е—15—20°.
Возвратимся теперь к процессу уравновешивания моста. Наличие порога чувствительности обусловливает то, что вектор выходного напряжения Цса при уравно вешивании, например, по параметру р (рис. 6-19) может занимать любое положение в пределах угла нечувстви тельности, равного по величине 2е. Такое положение в некоторых случаях может привести к значительному снижению сходимости. Определим коэффициент сходи мости с учетом величины угла е. Рассмотрим уравнове шивание моста при самых неблагоприятных обстоятель ствах, когда в конце каждой регулировки одного пара
метра вектор выходного напряжения 0 С(1 занимает
1 Угол е часто называется углом нечувствительности указателя.
195
Крайнее, худшее для сходимости положение. Процесс уравновешивания при этом представлен на рис< 6-20. Угол сходимости выбран тагам, как и в предыдущем случае (рис. 6-18). При уравновешивании по парамет
ру р точка й вектора 0 са не доходит до положения е1и
соответствующего действительному минимуму модуля 1!са, и вектор выходного напряжения «при этом становит
ся равным |
0 са. Угол й\сйх равен |
углу е. При |
уравно |
|
вешивании |
по параметру ц точка |
|
й занимает |
положе |
ние д!ъ и опять не доходит до точки |
соответствующей |
|||
Рис. 6-20.
Минимуму модуля 1!сЛ, и т. д. Из рис. 6-20 нетрудно ви деть, что
|
|
V |
, = |
созе |
Ц ' - т - ------ сЛ2 |
|
|
|
||||
|
|
|
с4 |
ей у |
С05(^с — е) ’ |
|
|
|||||
отсюда |
|
|
V |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ей 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( / |
|
, |
С05 (у с — е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ей2 |
|
|
|
|
|
|
|
Можно показать, |
что вообще для |
/1= |
1, 2, |
3 . . , |
будет |
|||||||
иметь место следующее |
соотношение: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
V |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е а п |
___ |
С05 е |
|
|
|
(6-37) |
|
|
|
|
|
V |
/ |
С05 (ус — е) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
сап+1 |
|
|
|
|
|
|||
Из (6-37) следует, что |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
V , |
|
V |
, |
и |
, |
V , |
г |
С05 в |
|
||
|
__ |
ей | |
|
ей |
1 |
ей2 |
сйп |
|
||||
т |
: = ~ |
, |
= |
~ й ~ , |
‘17 |
Г ' ' • ГГ- ; |
= !_ |
со5(Тс - е ) |
] |
|||
|
|
С(^ п + 1 |
с а 2 |
|
с а 3 |
с й п + 1 |
|
|
(6-38) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
через т, как и в предыдущем |
случае, |
обозначено |
|||||||||
относительное уменьшение выходного напряжения, а через п — число необходимых для этого регулировок. На осно вании (6-38) число регулировок п будет равно:1
1 |
(6-39) |
/1 = |
|
С05 е |
|
С05 (у с |
• ) |
Таким образом, с учетом порога чувствительности нуле
вого указателя коэффициент сходимости |
согласно (6-39) |
будет равен: |
|
С05 а |
(6-40) |
Ас= 1ё С05 ( Т с — «0 |
При выводе всех соотношений, касающихся сходи мости мостов переменного тока, мы предполагали, как это было оговорено вначале, что регулируемые парамет ры находятся в одной ветви айЬ и точка с при уравнове шивании остается неподвижной. Можно показать, что все полученные соотношения верны также и в том слу-
чае, когда |
регулируемые |
параметры р к |
д находятся |
в разных |
ветвях и при |
уравновешивании |
обе точки с |
и й являются подвижными.
Из (6-40) видно, что при ус=2е коэффициент сходи мости к0 равен нулю и мост уравновесить невозможно. То же самое будет иметь место и при ус<2г. Следова тельно, для удовлетворительной работы моста необхо димо, чтобы ус> 2е.
Отметам также, что угол сходимости ус определяет не только скорость уравновешивания (число необходи мых регулировок), но и в связи с наличием -порога чув ствительности нулевого указателя в значительной степе ни влияет и на точность уравновешивания моста, т. е. в конечном счете на погрешность измерения.
Таким образом, мы выяснили, что угол сходимости является весьма важной характеристикой мостовой це пи. Перейдем к рассмотрению методики его нахождения.
Напряжение неравновесия мостовой цепи опреде ляется как
2 ,2 , 2 ,2, |
2,) - и . ь % |
(6-41) |
аЬ (2, + 2^(2, + |
||
где Я = ^ 1^з—2224. При равновесии моста Я =0. |
При |
|
нарушении равновесия моста по параметрам р и <7 по тенциальная точка й (или потенциальные точки с и Я при нахождении р и <7 в разных ветвях) будут переме щаться по соответствующим линиям уравновешивания
(окружностям). Производные - |
и д^ а■ опреде |
ляют касательные к окружностям |
уравновешивания Р |
и <2 в точке равновесия моста. Очевидно, что разность углов наклона этих касательных определяет угол пере сечения окружностей уравновешивания, т. е. угол схо димости ус.
Таким образом, |
|
|
|
|
|
Т « = аг8 ^ г - » г 8 ^ |
- . |
(6-42) |
|||
Согласно (6-41) имеем: |
|
|
|
|
|
д й е й |
___V оЪ |
/ Гк |
г г |
д ^ \ |
_ |
др |
в* |
\ и д ^ |
|
д р ) ' |
|
_ й а ъ Г г л д Н |
„ 0 0 \ |
|
|||
дд |
Д2 |
дд |
П дд) ‘ |
Поскольку мы рассматриваем поведение мостовой цепи вблизи равновесия, то можно положить, что Н = 0. Учи тывая это, из последних соотношений имеем, что
дОсл___^аь_ |
. |
|
||
др |
О |
' др ’ |
|
|
д О сЛ _ Ц |
аЬ |
сШ |
(6-43) |
|
д^ |
О |
' д(7 |
||
|
||||
Подставляя (6-43) в (6-42) и учитывая, что аргумент про изведения равен сумме аргументов, окончательно полу чаем:
(6-44)
Таким образом, можно весьма просто вычислить угол сходимости для любой пары переменных параметров, если известны значения сопротивлений, входящих в че тыре плеча моста. Подобное вычисление угла сходимо сти представляется целесообразным при выборе пере менных параметров для вновь проектируемых мостов,
атакже при анализе действующих образцов.
Взаключение данного параграфа остановимся еще на одном весьма важном вопросе, касающемся связи между определением угла сходимости ус и выполнением
условий раздельного отсчета. В начале этой главы мы коротко остановились на условиях раздельного отсчета. Покажем, что условия раздельного отсчета однозначно определяют угол сходимости ус, если уравновешивание моста производится поочередными независимыми регу лировками. При выполнении условий раздельного отсче та угол сходимости моста переменного тока равен углу, образованному векторами приращений измеряемого комплексного сопротивления 2 (проводимости У), кото рые соответствуют раздельно отсчитываемым измеряв-
мым величинам. Это положение верно для моста с лю бым количеством плеч и любым сопротивлением диаго налей. Действительно, при раздельном отсчете и незави симой регулировке уравновешивающих параметров ли нии уравновешивания по этим параметрам должны сов падать с линиями уравновешивания по соответствую щим параметрам измеряемого комплексного сопротив ления (проводимости). Для лю бого моста вектор напря-
жения неравновесия 0 са связан с измеряемым комплек сным сопротивлением (проводимостью) некоторой дроб но-линейной (аналитической) функцией №, осуществля ющей конформное преобразование плоскости 2 (или У)
вплоскость №. При. конформном преобразовании, как известно, сохраняется равенство соответствующих углов
вобеих плоскостях. Следовательно, угол сходимости ус будет равен углу между приращениями 2 (или У), соот
ветствующими раздельно отсчитываемым параметрам. Все многообразие измеряемых величин может быть
приведено к шести основным: «/?, X, О, В, \2\, <р.
Соответствующие приращения комплексов 2 и У представлены на рис. 6-21 и 6-22. Из рисунков видно, что «идеальную» сходимость (ус=90°) имеют только мосты, в которых обеспечивается раздельный отсчет ве личин и X, О и В или 12\ и ф. При отсчете величин X и ф (соответственно Ь и ф), а также В и ф (соответст венно с и б) угол сходимости в мостах с раздельным отсчетом будет равен ус=,Ф (рис. 6-21 и 6-22). Если при проектировании моста заданы измеряемые раздельно отсчитываемые параметры, то тем самым независимо от схемы моста задан уже и угол сходимости. Наоборот, если по условию необходимо обеспечить «аилучшую сходимость, то мост должен давать непосредственный отсчет только по «К и X или О и В, или \2\ и ф. Никакая как угодно сложная схема моста (в том числе и много плечая) не обеспечит «идеальной» сходимости при раз-
200
дельном отсчете, йапример, с и I и 0. Заметим только, что углы потерь конденсаторов б обычно доста точно малы, т. е. в этом случае угол сходимости ус='Ф ~ = 90°—6 близок к 90° и меняется сравнительно мало. Этого нельзя сказать о добротности катушек <2, кото рая меняется в значительно больших пределах и дости гает иногда сравнительно малых величин (ф — мало).
В силу этих причин сходимость мостов для измерения емкостей обычно лучше, чем у индуктивных мостов.
Мы рассмотрели одну из основных характеристик — сходимость мостов переменного тока, вывели формулу для определения угла сходимости ус и установили связь между условиями раздельного отсчета и величиной уг ла сходимости. Перейдем теперь к рассмотрению таких важных понятий, как раздельное уравновешивание и раздельный отсчет.
6-5. РАЗДЕЛЬНОЕ УРАВНОВЕШИВАНИЕ И РАЗДЕЛЬНЫЙ ОТСЧЕТ
Как уже было показано, уравновешивание моста пе ременного тока с помощью нулевого указателя произ водится путем попеременной регулировки переменных параметров.
Этот процесс является зачастую весьма длительным и утомительным, требующим от оператора определенной квалификации и опыта. В ряде случаев, при плохой схо-