книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

При использовании этого метода, как мы видели (гл. 11, § 7), данная система рассматривается как система, близкая к линей­ ной или нелинейной консервативной. Очевидно, для этого нужно специально представить рассматриваемую систему в таком виде. Это, во-первых, далеко не всегда бывает возможно в сколько-ни­ будь разумных границах и, во-вторых, требует предположения о малости по крайней мере одного из параметров, которое также не всегда соответствует тому, что имеет место в реальной задаче.

Кроме того, по смыслу метода малого параметра он не дает никаких методов оценки для величины параметров, при которых мы можем утверждать, например, существование цикла.

Тем не менее этот метод иногда бывает весьма полезным, и мы приведем в дальнейшем ряд задач, рассмотренных этим ме­ тодом. Во всяком случае он дает знание качественной структуры при частных значениях параметров (именно, в предположении, что некоторые из параметров малы), которое вместе с исследо­ ванием вопроса о возможных бифуркациях при переходе от од­ ной качественной картины к другой может помочь установить возможные качественные структуры системы и без всяких пред­ положений о малости каких-либо параметров.

Отметим, что во всех рассмотренных в дальнейшем примерах грубые системы в пространстве параметров заполняют области.

§ 1. Некоторые рецептурные указания. Качественное иссле­ дование динамической системы без использования метода малого

сия (при всех значениях параметров, входящих в правые части) и установить их характер, то необходимо установить также зна­ чения параметров, при которых у системы существуют негрубые

фуркационные поверхности (в случае двух параметров — бифур­ кационные кривые Д* = 0 и о* = 0).

2) Если координаты состояний равновесия не определяются элементарно, то рекомендуется непосредственно отыскивать ли­ бо состояния равновесия максимальной кратности, возможные у рассматриваемой системы (т. е. состояния равновесия, для ко-

16 н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

242 ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИЕМАХ ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. 14

торых прежде всего А = 0, а затем выполняются условия, харак­ теризующие возможно большую кратность), либо состояния рав­ новесия, для которых А > 0, а = 0.

Как правило, координаты сложных состояний равновесия удается определить проще, чем грубых. (Этот факт будет про­ иллюстрирован на ряде примеров.)

Прием, заключающийся в рассмотрениях грубых объектов, близких к объектам «высокой степени негрубости», используется не только при рассмотрении дифференциальных уравнений, но также в разных других областях (так, например, при рассмот­ рении алгебраических кривых, для которых, так же как и для динамических систем, имеют смысл и значение понятия грубо­ сти и степеней негрубости).

Рассмотрение кривых, близких к кривым со многими особы­ ми точками (в частности, к распадающимся кривым высокой степени негрубости), является в настоящее время основным приемом (этот прием использован в работах Харнака, Гильберта

осуществиться в отношении числа и характера состояний равно­ весия, при значениях параметров, близких к значениям, соот­ ветствующим состоянию равновесия максимальной сложности.

Если установлены значения параметров, соответствующие на­ личию состояния равновесия, для которого А > О, О = 0 (т. е. имеющему чисто мнимые характеристические корни), и удается найти его координаты, то иногда, если удается вычислить ляпуновскую величину, можно сделать заключение также и о нали­ чии при некоторых значениях параметров предельного цикла.

3) Если какими-либо приемами (например, классическими, или путем приближенного вычисления, или путем использования при малых значениях параметров метода малого р) установлена

седло-узла и в связи с этим — появление предельного цикла при исчезновении седло-узла.

Таким образом, вопрос о расположении сепаратрис, в частно­ сти, тесно связан с вопросом о существовании предельных циклов.

4) При исследовании вопроса о существовании или отсутст­ вии предельных циклов следует пробовать как все классические

будет иметь место рис. 87 гл. 6. Во всех случаях структура опре­ деляется однозначно.

Рассмотрим случай р > 1 . При Я = 0 имеем качественную картину, изображенную на рис. 84 гл. 6. При Я > 0 однозначно определяется поведение смещенных сепаратрис, попадающих в

области I —III (область I ограничена сепаратрисами SM и SN консервативной системы и близлежащей дугой экватора, область I I заполнена замкнутыми кривыми, область I I I ограничена се­ паратрисами SN и ST консервативной системы, отрезком RT оси

однозначно, и соответственно имеем качественные картины, изо­ браженные на рис. 88, 89 гл. 6.

На рис. 126 представлено разбиение пространства параметров Я, р. Точкам на осях Я и р, а также на кривой рЯ2 — (р —1)2= 0 соответствуют бифуркационные структуры.

удовлетворяется тождественно при подстановке у = ktx. Действи­ тельно, мы имеем

ki (ах + bkiX — х (х2 + к\хг) ) = сх + d/qx — /qx (я2 + /с2х2) ,

или

х (Ък\ + (а — d) ki — с) = О,

так как выражение в скобках равно нулю (/q есть корень урав­ нения (4)). Характер состояния равновесия в начале координат легко может быть определен по корням соответствующего харак­ теристического уравнения. Для исследования остальных состоя­ ний равновесия достаточно ограничиться рассмотрением какихлибо двух, не лежащих одновременно на одной и той же прямой

характера путем вычисления характеристических корней очень громоздко, и это можно сделать проще, воспользовавшись теори­ ей индекса Пуанкаре.

Так как при D > 0 все состояния равновесия простые, и при изменении знака D, когда корни к\ и ki делаются мнимыми, ис­ чезают (кроме (0, 0)), то сумма их индексов должна равняться нулю. Кроме того, ни одно из них не может быть фокусом, так как через них проходят интегральные прямые у = &{х. Отсюда заключаем, что одно из них — седло, другое — узел.

Когда D = 0, эти точки сливаются в двойную точку — седлоузел (если при этом А Ф 0).

В случае А = 0 две симметричные точки сливаются с особой точкой в начале координат в одну и образуют особую точку выс­ шего порядка. Заметив, что при А > 0 индекс особой точки в на­ чале координат равен +1, а при Д < 0 равен —1, заключаем отсюда, что сумма индексов особых точек, слившихся с началом, равна —2, т. е. эти особые точки — седла, и сложная особая точка имеет характер седла, а оставшиеся две — узлы.

В случае, когда

D = (а — d)2 + 4Ьс:<0,

система имеет в начале координат единственную особую точку типа фокус. Постараемся выяснить наличие предельных цик­ лов. Выберем, в качестве топографической системы семейство окружностей

Тогда контактная кривая (т. е. кривая, где окружности (6) касаются траектории системы (3)) будет иметь вид

ИЛИ

F(x, у) = ах2 + {Ъ+ с)ху + dy2— (х2 + у2)2 = 0.

В полярных координатах

2р2 = а + d + (a — d)cos 2<р + (Ь + с)sin 2ф.

Предельный цикл лежит в кольцевой области между этими кругами, R 1 и / ? 2 будут оба положительными, если (a + d)2> > ( a — d)2+(& + с)2, или 4ad — (Ь + с)2> 0 . Последнее условие совпадает с условием, при котором кривая контактов имеет в на­ чале координат изолированную точку:

FxxF'yy — (FlyY = Ш — {Ъ + c f > 0.

Если это условие не выполнено, кривая контактов проходит через начало координат, а величина R\ становится отрицатель­ ной, и можно лишь утверждать, что предельный цикл (если он существует) располагается внутри окружности радиуса R 2. Не­ трудно доказать, что предельный цикл единствен. Воспользуемся с этой целью критерием Дюлака для кольцевой области (см. гл. 6). Очевидно, что функции

Х{х, у )= ах + by — х(х2+ у2), Y(x, y ) = c x + dy — y(x2+ y 2)

и

F (х, у) = — s -------------

by2 — сх + (a — d) ху

удовлетворяют условиям теоремы Дюлака для кольцевой обла­ сти (см. гл. 6), так как в этом случае F(x, у) дифференцируема в любой кольцевой области G, окружающей начало координат. Легко проверить, что

— 2 (х2 + у2)

B(x,y) = ^ ( X F ) + ^ ( Y F ) .

by2 — ex2 + (a — d) ху

не меняет знака в области G. Таким образом, цикл один. Доказанная единственность предельного цикла позволяет ут­

верждать, что при смене устойчивости особой точки в начале координат предельный цикл стягивается в особую точку.

В самом деле, в противном случае должно было бы сущест­ вовать четное число предельных циклов. Отсюда же следует, что для а + d < 0 предельных циклов нет.

а + d > 0; рис. 128 — для А > 0, а + d < 0.

Взаиморасположение различных областей значений парамет­ ров системы (разбиение пространства коэффициентов системы)

Р и с . 127 Р и с . 128

может быть приведена к виду, где d = 1 (для d > 0 ) . Тогда про­ странство коэффициентов может быть реализовано в виде плос­

dx/dt = —ay + х (1 — х2— у2) = Р, dy/dt = А + ах + у( 1 — х2— у2) = Q.

250 ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИЕМАХ ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. 14

Для исследования особых точек (состояний равновесия) удобно перейти к полярным координатам. Получим

§ - - f М » + Р' (1 - Р*)1, % - ф - (Ах + а<?).

Кривая (7)— изоклина в полярной системе координат — легко может быть построена. При 0 < А 2< 4/27 она состоит из двух

Р и с . 130 Р и с . 131

симметричных относительно оси у замкнутых ветвей, охватыва­

вуют трем различным значениям а). Возможны три точки пере­

Пусть А фиксировано и выбрано так, чтобы кривая р = 1/V2 отделяла внешнюю часть кривой (7) от внутренней, не пересе­ каясь с ними. Это возможно сделать, так как при А -*• 0 внут­ ренняя ветвь стягивается в точку х = у = 0, а наружная превра­ щается в окружность р = 1. При таком выборе А величина

меняет знак как раз на кривой р = 1/У2 и, следовательно, будет