книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости
..pdfs 2] ЗАМЕЧАНИЯ О ГРАНИЦАХ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ 221
области, из которых изображающая точка стремится к различ ным стационарным . режимам. Естественно, таким образом, что в динамической системе, описывающей реальную систему, в ко торой параметр t соответствует реальному времени, мы не мо жем считать роли значений t > t0 и t < to, где to — некоторое фиксированное значение (т. е. роли «прошедшего» и «будуще го»), симметричными.
Мы остановимся здесь несколько подробнее на роли неустой чивых предельных циклов, и ю-сепаратрис (т. е. сепаратрис, стремящихся к седлу при #-*- + <») в описании реальной си стемы. При этом, конечно, мы будем считать рассматриваемую динамическую систему грубой.
Предположим, что у этой динамической системы существует область начальных значений, границей которой является не устойчивый предельный цикл, как, например, в случаях рас смотренной выше динамической системы, описывающей жест кий режим.
Если мы возьмем начальную точку в области притяжений состояния равновесия О (см. рис. 113, а) или в области притя жения устойчивого предельного цикла Ьч достаточно далеко от границы— неустойчивого предельного цикла L\, то достаточно малые случайные толчки (которые мы всегда должны предпо лагать существующими в реальной системе) не выведут изо бражающую точку из соответствующей области притяжения, и она при увеличении t будет стремиться все к тому же стацио нарному режиму. Очевидно, так же будет вести себя и соот ветствующая реальная система. Иначе обстоит дело, если на чальное значение взять достаточно близ ко к разделяющему неустойчивому пре
дельному циклу L\. Малый случайный толчок может перекинуть изображающую точку в область притяжения состояния равновесия О либо в область притяже ния предельного цикла Ьч, поэтому при начальных значениях, достаточно близких к разделяющему циклу Ьи существует неопределенность; в зависимости от слу чайных толчков возможно установление одного из двух равновесных режимов.
Полностью аналогичную роль играют ю-сепаратрисы седла.
Сепаратрисы седла, стремящиеся |
к |
седлу |
при |
f-»— оо (а-се- |
паратрисы седла), стремятся при |
t |
+ оо |
либо |
к устойчивому |
состоянию равновесия, либо к устойчивому предельному циклу (напоминаем, что мы естественным образом предполагаем си стему грубой), так же как и все близкие к этой сепаратрисе траектории. Поэтому при малых случайных толчках изображаю щая точка, находящаяся вблизи точек такой сепаратрисы, не
222 |
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ |
|ГЛ. 13 |
выпадает из области притяжения того стационарного |
состояния, |
|
к которому стремится сепаратриса. |
|
|
|
Однако ситуация делается другой, если начальная точка взята |
|
достаточно близко к точке со-сепаратрисы такого седла, у кото рого две его а-сепаратрисы стремятся к двум различным стацио нарным режимам (рис. 114).
В этом случае со-сепаратриса L 0 седла С является граничной
для двух областей притяжения различных устойчивых элементов |
||
(устойчивых состояний равновесия |
или предельных |
циклов), |
и поэтому малые случайные толчки могут привести к тому, что |
||
изображающая точка пойдет к одному или другому стационарно |
||
му режиму. Здесь, так же как в предыдущем случае для реаль |
||
ной системы, имеет место некоторая |
неопределенность |
возмож |
ного поведения.
§ 3. Мягкое и жесткое возникновение колебаний. В предыду щем параграфе мы рассматривали реальную систему и соответ ствующую систему дифференциальных уравнений при фиксиро ванных значениях параметров.
Сейчас мы будем рассматривать, как некоторые нелинейные эффекты, происходящие при изменении реальных параметров, адекватным образом объясняются теорией бифуркаций диффе ренциальных уравнений. Мы по-прежнему не будем выписывать формулы, а ограничимся лишь чертежами и пояснениями. Од нако, предполагая для простоты, что система близка к линейной консервативной (см. [2—4]), будем рассматривать зависимость амплитуды колебания | от некоторого параметра X, соответству ющего реальному параметру5).
Рассмотрим два основных случая возникновения колебаний при изменении параметра X: случай мягкого и жесткого возбуж дения колебаний.
Физически тот или другой характер возбуждения колебаний, |
|
■очевидно, зависит |
от характера реальной задачи6) — математи |
чески он связан с |
характером соответствующей системы диффе |
ренциальных уравнений и тех бифуркаций, которые осуществля |
|
ются в ней при изменении параметра.
Предположим, что при значениях параметра X, меньших не которого значения Xi, разбиение фазовой плоскости имеет сле дующий простой характер: существует единственное состояние
равновесия О в начале координат — устойчивый |
фокус. Где |
бы |
ни находилась изображающая точка, она через |
некоторое |
вре |
мя окажется вблизи этого устойчивого фокуса. |
Значение Xi |
яв- |
5)В случае лампового генератора этим параметром является коэффи циент взаимоиндукции между цепью сетки и колебательным контуром.
6)В ламповом генераторе он зависит от характеристики лампы.
§ 3] МЯГКОЕ И ЖЕСТКОЕ ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ 223
лдется бифуркационным; при этом значении фокус делается сложным (см. рис. 112,а).
При X > Xi из этой особой точки рождается устойчивый пре дельный цикл, а состояние равновесия О делается неустойчивым. Изображающая точка начинает стремиться к этому предельному циклу, так как теперь состояние равновесия неустойчиво. На фи зическом языке это означает, что нача лись колебания — имеет место самовоз буждение7). При дальнейшем увеличе
нии X радиус предельного цикла увели
чивается, а при уменьшении X — умень
шается и при приближении X к |
пре |
дельный цикл сжимается в |
точку |
(в сложный фокус): колебания исче зают. На физической диаграмме (|Д )
(рис. 115) имеет место плавный (мягкий) переход с постепенно меняющейся амплитудой от состояния равновесия к периодиче ским движениям и обратно. Явление ведет себя обратимо.
Прибор, измеряющий амплитуду колебаний генератора при изменении параметра, покажет плавный (мягкий) переход с по степенно (без скачков) меняющейся амплитудой от состояния покоя к стационарным колебаниям и обратно.
Перейдем теперь к описанию жесткого возбуждения колеба ний. В этом случае и реальная система, и соответствующие ей
дифференциальные уравнения |
по-другому зависят от парамет |
ра, но при значениях X < Хо |
(Хо — некоторое определенное зна |
чение), так же как и в рассмотренном случае мягкого возбу ждения, у системы дифференциальных уравнений существует устойчивый фокус О, и изображающая точка, находящаяся вблизи состояния равновесия, будет все время находиться вбли
зи него (так как траектории |
стремятся к состоянию равнове |
сия О при 1 -*- + °°). При X = |
Хо у системы из уплотнения траек |
торий появляется двукратный предельный цикл, который затем при X > Хо (но X < Xi) разделяется на два предельных цикла (рис. 113,а), из которых один устойчивый. Однако это не ка сается изображающей точки, если она находится достаточно близко к состоянию равновесия, так как устойчивый характер состояния равновесия не меняется.
При увеличении X устойчивый предельный цикл расширяется, а неустойчивый сжимается и, наконец, при некотором X = Xi «влипает» в состояние равновесия О, которое делается сложным неустойчивым фокусом, а затем при X > Я1 — грубым неустой чивым фокусом. Изображающая точка (которая до A,=A,i все время находилась вблизи точки О) «срывается» при переходе через значение A.= A,i и «перескакивает», как ей велят траек
7) При всяком фиксированном X > Xi имеет место мягкий режим.
224 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ [ГЛ. 13
тории, и, следовательно, приходит к устойчивому предельному циклу (амплитуда которого все время возрастала, начиная с Яо) (см. рис. 113,6). Будем теперь уменьшать Я от значения Я > Я 1 ДО
Я < Ко. Изображающая точка будет при |
всех |
Я > Яо |
все |
время |
оставаться вблизи устойчивого предельного цикла Li |
(грубо го |
|||
воря, двигаться по этому циклу) до тех |
пор, |
пока |
при |
Я = Яо |
с ним не сольется неустойчивый предельный цикл, образуя дву кратный цикл, который затем при Я < Яо исчезает. После этого изображающая точка вынуждена будет «перескочить» к состоя нию равновесия О, которое теперь устойчиво. Изображающая точка не будет реагировать на то, что при Я = Я1 состояние рав новесия делается устойчивым (из него рождается тот неустой чивый предельный цикл, который затем сливается с устойчи вым), так как это не меняет характера того предельного цикла, по которому она при этом значении движется. При переходе же
через |
значение |
Я = Я о (при котором |
цикл Li, сливаясь с цик |
|||
лом Li, делается двойным и затем |
исчезает) |
изображающая |
||||
точка, |
следуя |
траекториям, перейдет |
к состоянию |
равновесия |
||
|
|
и останется там при дальнейшем умень |
||||
|
|
шении Я. |
|
|
|
|
|
|
Прибор, измеряющий амплитуду ко |
||||
|
|
лебаний тока в колебательном контуре, |
||||
|
|
обнаружит |
скачки — резкое |
жесткое |
||
|
|
изменение |
амплитуды |
| |
для |
Я = Я1 |
|
|
при увеличении Я и |
для |
Я = Яо при |
||
|
|
уменьшении |
Я. Явление протекает по- |
|||
разному при увеличении и уменьше нии Я. Мы имеем дело с процессом, имеющим необратимый, г и с т е р е з и с н ы й характер (рис. 116).
Это интересное для радиотехники (а также для других об ластей науки) явление жесткого возбуждения колебаний по лучает здесь на языке состояний равновесия, предельных циклов и бифуркационных значений параметра естественное адекват ное объяснение. Значения параметра Я1 и Яо, соответствующие сложному фокусу и двукратному предельному циклу, являются, очевидно, бифуркационными8).
Понятия мягкого и жесткого режимов, мягкого и жесткого возникновения колебаний введены при рассмотрении лампового генератора, когда фазовая плоскость имеет весьма простой вид: при всех значениях параметра существует только одно состояние равновесия — фокус и в зависимости от значений параметра мо гут существовать окружающие его предельные циклы.
8) Из рассмотренной картины, например, сразу видно, что при значе ниях Яо < Я < Я, изображающую точку можно «перекинуть» из одного ус тойчивого режима в другой достаточно сильным толчком.
«БЕЗОПАСНЫЕ» И «ОПАСНЫЕ» ГРАНИЦЫ |
225 |
Однако эти понятия могут быть перенесены и на случай, ког да фазовая плоскость дифференциального уравнения, описыва ющего тот или другой реальный объект, имеет более сложный вид, т. е. когда на фазовой плоскости существует не единствен ное состояние равновесия, а несколько и среди них есть седла, а значит, сепаратрисы. И в случае более сложной фазовой плоско сти имеет смысл говорить о мягком и жестком возникновении колебаний, если описанная выше ситуация имеет место вокруг одного из существующих в системе фокусов.
Кроме того, очевидно, при большом числе предельных цик лов у системы дифференциальных уравнений возможно резкое изменение амплитуды колебания, соответствующее тому, что изображающая точка при исчезновении одного цикла переска кивает на другой.
Рассмотренные случаи перескоков изображающей точки, вы званных бифуркациями, возникающими при изменении пара метров, естественным образом привели к понятию «безопасных»
и«опасных» границ области устойчивости.
§4. «Безопасные» и «опасные» границы области устойчиво сти состояний равновесия9). Вопрос об устойчивости состояний
равновесия ( р а в н о в е с н ы х |
р е ж и м о в ) 10) возникает при ре |
|||
шении многих |
прикладных |
задач |
(из области |
автоматического |
регулирования, |
гироскопической |
стабилизации, |
радиотехники, |
|
электротехники и т. д.).
Естественно предполагать (см. гл. 8, § 1), что в прикладных задачах соответствующая система дифференциальных уравне ний (в частности ее состояния равновесия) грубая и что, сле довательно, при анализе устойчивости можно ограничиться тем случаем, когда этот вопрос может быть решен путем отбрасы вания всех нелинейных членов и исследования характеристиче ского уравнения п ) (состояние равновесия устойчиво, если дей ствительные части характеристических корней отрицательны)12).
s) См. [34-36].
10) Р а в н о в е с н ы е режимы, которым соответствуют состояния рав новесия, естественно понимать в обобщенном смысле; например, режимы, связанные с наличием постоянной угловой скорости, постоянного тока и т. д., рассматриваются как равновесные режимы. При этом предполагается, что поведение рассматриваемой реальной задачи описывается после выбора надлежащей системы координат автономным дифференциальным уравнени ем, а равновесным режимам соответствуют состояния равновесия. Такие со стояния равновесия, следуя Раусу и Ляпунову, называют также установив шимися движениями.
11)В характеристическое уравнение входят только коэффициенты ли нейных членов правых частей системы (А), поэтому такое исследование называется линеаризацией данной системы.
12)Условие отрицательности действительных частей характеристиче ских корней в случае динамических систем любого числа измерений даны Раусом и Гурвицем в форме неравенств для ряда детерминантов. Для .мно-
15 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович
226 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ |ГЛ. 13
Исследование вопроса о том, при каких значениях параметров, входящих в правые части динамических систем, рассматривае мое состояние равновесия устойчиво, позволяет выделить об ласть устойчивости этого состояния равновесия в пространстве параметров. Мы будем дальше называть эту область областью Рауса — Г урвица.
Хотя основной интерес для прикладных вопросов (в которых играет роль устойчивость равновесных режимов) имеют такие системы, действительные части корней характеристических
уравнений которых отрицательны, т. е. системы |
со значениями |
||
параметров |
в н у т р и |
области Рауса — Гурвица, |
тем не менее |
для ряда |
прикладных |
вопросов представляет интерес выясне |
|
ние поведения системы в случае, когда изображающая ее в про странстве параметров точка лежит на границе области Рауса — Гурвица или (что физически эквивалентно) достаточно близко к этой границе. Дело в том, что в прикладных вопросах при ходится считаться не только с требованиями устойчивости, но и с другими требованиями, относящимися к работе устройства, и может оказаться, что одновременное удовлетворение этих условий наилучшим образом достигается выбором параметров,
соответствующих точкам, лежащим |
в сравнительной близости |
к границам области Рауса — Гурвица. |
Таким образом, возникает |
вопрос о поведении динамической системы вблизи границы об ласти Рауса — Гурвица. Действительно, выбирая значения па раметров, близкие к границе этой области, мы никогда не можем быть уверены, что случайные отклонения этих параметров
вреальной системе не выведут точку, представляющую систему
впространстве параметров, за границу области Рауса — Гурвица.
Поведение динамической системы |
при малых |
отклонениях |
от границы области Рауса — Гурвица |
определяет |
и особенности |
поведения систем, для которых представляющая их точка в про
странстве параметров |
лежит в области Рауса — Гурвица, но |
в достаточной близости |
к границам этой области. |
Как мы видели в предыдущем параграфе, вопрос о поведе нии системы в случае, когда изображающая ее точка в про странстве параметров переходит через границу области Рауса — Гурвица (именно, через границу, соответствующую системе со сложным фокусом), связан с вопросом возбуждения колебаний (мягкого и жесткого самовозбуждений, см. § 3).
Мы рассмотрим сначала те точки границы области Рауса — Гурвица, которые соответствуют негрубым состояниям равнове сия первой степени негрубосги — именно, сложному фокусу с
гомерных систем часто вместо условий Рауса — Гурвица используют кри терий Найквиста. Однако, так как в настоящей книге рассматриваются толь ко системы двух дифференциальных уравнений, для которых характери стическое уравнение является квадратным уравнением, то мы здесь не обращаемся к этим общим критериям.
§ 41 |
«БЕЗОПАСНЫЕ» И «ОПАСНЫЕ» ГРАНИЦЫ |
227 |
||
не |
равной нулю |
первой ляпуновской величиной |
(коэффициент |
|
аз |
в функции последования) и двукратному состоянию равнове |
|||
сия — седло-узлу. |
части границы области |
Рауса — Гурвица мо |
||
гут |
В этом случае |
|||
быть двоякой |
природы: б е з о п а с н ы е |
г р а н и ц ы — доста |
||
точно малое нарушение которых влечет за собой лишь весьма малые (сколь угодно малые при достаточно малых нарушениях) изменения состояния системы; о п а с н ы е г р а н и ц ы — сколь угодно малое нарушение которых повлечет за собой переход си стемы в новое состояние, которое мы не можем приблизить
кисходному выбором достаточно малых нарушений границы. Иначе говоря, может оказаться, что состояние равновесия из
мененной системы (сколь угодно мало измененной) будет неустойчиво, но практически система будет вести себя как устой чивая, так как изображающая точка, взятая из некоторой окрестности состояния равновесия, будет для всех t (начиная с начального значения to) оставаться в малой окрестности со стояния равновесия (сколь угодно малой при достаточно ма лых изменениях системы), и, наоборот, может оказаться, что, хотя состояние равновесия измененной системы устойчиво, но система практически будет неустойчива, так как изображаю щую точку, взятую вне малой окрестности состояния равно весия (сколь угодно малой при достаточно малых изменениях системы), нельзя заставить оставаться вблизи состояния рав новесия.
Предположим, что рассматриваемое состояние равновесия лежит в начале координат, так что мы можем предполагать си
стему в виде |
у, X), |
х = а(Х)х + Ь(Х)у + Р(х, |
|
у = c(X)x + d(X)y + Q(x, |
у, X), |
где X — параметр.
Рассмотрим подробно два указанных выше случая поведе ния системы при значениях X, близких к значению Хо> соответ ствующему сложному фокусу или седло-узлу первой степени негрубости (см. гл. 10).
I. При Х = Хо система имеет сложный фокус первого порядка, т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристически
ми корнями, у которого |
первая ляпуновская |
величина L\ = |
|||
— аз(Хо) |
отлична от нуля. Вводя обозначения |
|
|
||
Д {Х)= a(X)d{X)-b(X)c(X), R(X) = а(Ь)4- d(X) |
|||||
(R(X)f2 — действительная |
часть |
характеристических |
корней), |
||
мы, очевидно, будем иметь в рассматриваемом случае |
|
||||
|
А {Хо) > 0, |
R(X0) = 0. |
|
|
|
Далее |
естественно сделать |
предположение, |
что |
dR/dX ^ 0. |
|
Мы получим наглядную картину поведения системы вблизи гра-
1 5 *
228 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ (ГЛ. 13
ницы области устойчивости, рассматривая изменение качествен ной структуры в окрестности состояния равновесия в зависимо сти от изменения параметра X. Как мы видели (см. гл. 11), воз можны следующие случаи:
а) L\ < 0, сложный фокус устойчив. При переходе через гра ницу R(X) = 0 от значений X < Хо к значениям X > Хо появ ляется единственный устойчивый предельный цикл. При обрат ном изменении параметра X устойчивый цикл стягивается в точ ку (в сложный фокус);
б) Ь\ > 0, сложный фокус неустойчив. При переходе через границу R(X) — 0 от значений X < Хо к значениям X > Хо к со стоянию равновесия стягивается единственный неустойчивый) предельный цикл; при обратном изменении параметра из со стояния равновесия появляется неустойчивый предельный цикл.
Изменение качественной структуры разбиения окрестности состояния равновесия на траектории для этих двух случаев изображено на рис. 117, 118. Штриховкой показана область
Случай Lt<0
Рис. 117
устойчивости, для которой траектории представляют собой спи рали, накручивающиеся на состояние равновесия, или предель ный цикл. Область неустойчивости заполнена раскручивающи мися спиралями. Рисунки наглядно показывают различие в по ведении системы вблизи границы по отношению к случайным толчкам. Сравнивая для R < 0 случаи Ь\ < 0 и L \ > 0, видим, что во втором случае возможно выбивание случайным толчком изображающей точки из устойчивого состояния равновесия за границы области устойчивости (внутри рассматриваемой окрест ности состояния равновесия), тогда как в первом случае это
§ 4] |
«БЕЗОПАСНЫЕ» И «ОПАСНЫЕ» ГРАНИЦЫ |
229 |
невозможно. Рисунки показывают, далее, различие в поведении системы при нарушении условий устойчивости. Переход через границу R = 0 в первом случае (L\ < 0) соответствует возник новению области неустойчивости внутри устойчивого предель ного цикла, которая, однако, остается сколь угодно малой при
Случай Z ,>0
а |
6 |
6 |
Рпс. |
118 |
|
достаточно малом нарушении |
условий |
устойчивости и стяги |
вается в точку при обратном изменении параметра; изображаю
щая точка при этом возвращается в состояние |
равновесия — |
||
система ведет себя |
обратимо. Во втором |
случае |
(Li > 0) пере |
ход через границу |
R = 0 соответствует |
исчезновению области |
|
устойчивости внутри неустойчивого предельного цикла; изобра жающая точка при этом срывается с состояния равновесия и уходит за пределы рассматриваемой окрестности состояния рав новесия. При обратном изменении параметра изображающая точка не возвращается в состояние равновесия — система ведет себя необратимо.
В § 3 настоящей главы при рассмотрении жесткого возник новения колебаний изображающая точка после срыва уходит на устойчивый предельный цикл, окружающий начало, в силу пред положения о специальном характере разбиения плоскости на тра ектории. Однако при другом виде фазовой плоскости изо бражающая точка после срыва при К = Яо может пойти либо к другому устойчивому состоянию равновесия, либо к предель ному циклу, не окружающему начало. Мы вернемся к этому более сложному случаю в следующем параграфе.
II. При К = Ко система |
имеет двукратное состояние равнове |
сия — седло-узел, т. е. состояние равновесия, для которого |
|
А(Яо)=0 и |
a(Ao)+d(X0) < 0 , Z(A0) ^ 0 |
(неравенство нулю 1(Ко) и означает, что точка двукратная).
230 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ [ГЛ. 13
Состояние равновесия О (см. гл. 4, 9, 10) имеет вид, представленный на рис. 119,6). Вблизи границы Д(Я) = 0 малая окрестность состояния равновесия О имеет вид, представленный на одном из рис. 119. Из рисунков видно, как при приближении
к границе Д( Я) =0 |
в малую |
окрестность |
устойчивого состоя |
ния равновесия |
вторгается |
область |
неустойчивости (на |
рис. 119,а,а',б заштрихованная область), попав в которую изо бражающая точка выбрасывается из рассматриваемой окрест ности состояния равновесия. Для изображающей точки при
приближении к границе Д ( Я ) = 0 возрастает опасность быть выброшенной случайным толчком из устойчивого состояния равновесия. При невырожденном вхождении параметра Я, при его изменении от значений Я < Яо к значениям Я > Яо мы полу чаем последовательность качественных структур, изображенных
на рис. 119. |
|
Я < Яо соответствуют |
рис. |
119, а и 119, а' (два |
|
Значениям |
|||||
состояния |
равновесия — узел и седло), |
значению Я = Яо — |
|||
рис. |
119,6 |
(начало координат — седло-узел), значениям Я>Яо — |
|||
рис. |
119, |
в |
(сложное состояние |
равновесия — седло-узел |
|
исчезает).