книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

мы (А), б-близкой к системе (А) и такой, у которой в ео-окрестности седлоузла О нет состояний равновесия, сущ ествует предельный цикл, целиком леж ащ ий в е-окрестности сепаратрисы L 0, и притом этот предельный цикл

устойчив, если Рх (*0, yQ) + Qy (*0, У0) < 0, и неустойчив, если Рх (х0, у0) +

+<?д(жо’г'о)> 0 *

§3. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек. Пусть для рассматриваемой системы

В этом случае всегда можно так изменить правые части этой системы, чтобы «сложная точка О» распалась на несколько осо­ бых точек, т. е. чтобы у соответствующей измененной системы

dx/dt = Р{х, у) = Р(х, у) + р(х, у), dy/dt = Q(x, y) = Q(x, y)+q(x, у)

в достаточно малой окрестности точки О было несколько осо­

что при всевозможных бо-добавках ранга тп у соответствующей системы (А) в Ео-окрестности О может быть не более чем тп особых точек; б) при любых б < б0 и е < е0 всегда существуют такие б-добавки ранга тп, при которых у соответствующей си­

указать такие сколь угодно малые добавки, при которых особая точка О разделялась бы более чем на m особых точек, что противоречит условию а). Если бы среди особых точек, на которые разделяется О, была бы простая, но не грубая особая точка (т. е. такая, для которой Д > 0, а = 0), то всег­ да можно было бы указать и такие сколь угодно малые добавки, при кото­ рых все особые точки были бы грубыми. Кратность сложного состояния равновесия, очевидно, совпадает с кратностью общей точки любых двух различных изоклин, проходящих через эту особую точку.

174 БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. 10

Здесь /га 3* 2 и Ат ^ 0.

Наряду с системой (В) будем рассматривать всевозможные

достаточно близкие до ранга тп к системе (В).

Имеют место предложения, полностью аналогичные теоре­

..,, Ок, на которые О может разделиться при сколь угодно ма­ лых добавках р(х, у) и q(x, у) ранга тп, при тп нечетном может быть любым нечетным числом, меньшим или равным тп, при тп четном — любым четным числом, меньшим или равным тп,

ипри этом:

1)если тп нечетно и особая точка О либо имеет характер узла или фокуса, либо является особой точкой с эллиптической

областью, то среди особых точек 0\, 02, . . О* системы (В) число грубых узлов или фокусов на единицу больше числа гру­

3) если тп четно, т. е. особая точка О либо является вы­ рожденной особой точкой, либо имеет характер седло-узла, то число грубых узлов или фокусов равно числу седел.

З а м е ч а н и е 1. В рассматриваемом случае о = 0 всегда можно указать такие, сколь угодно малые до ранга тп добавки,

при которых среди грубых особых точек 0\, ..., Ок системы (В) были бы фокусы и такие добавки, при которых существовали бы предельные циклы (целиком лежащие в сколь угодно малой окрестности О).

З а м е ч а н и е 2. Индекс особой точки 0 системы (В), имею­ щей характер узла, фокуса или являющейся особой точкой с эл­ липтической областью, равен +1, индекс особой точки 0, имею­ щей характер седла, равен —1 и индекс особой точки 0, имею­ щей характер седло-узла или вырожденной, равен 0.§

§ 4. Бифуркации двукратной точки, для которой А = 0 и о = 0. В предыдущих параграфах было рассмотрено расщепление при малых изменениях правых частей некоторых типов сложных состояний равновесия на грубые состояния равновесия (можно также установить расщепление на состояния равновесия, среди

§ 4] БИФУРКАЦИИ ДВУКРАТНОЙ ТОЧКИ 175

которых существуют сложные состояния равновесия меньшей

ваются числом и характером состояний равновесия, на которые это сложное состояние равновесия может разделиться. Для сложных состояний равновесия, для которых А == 0, о = 0, это не так. Действительно, как было указано, из этих состояний равновесия возможно рождение предельных циклов. В настоя­ щем параграфе мы рассмотрим двукратное состояние равнове­ сия, для которого А = 0, 10 = 0 и выполнены еще некоторые дополнительные условия. Такое состояние равновесия неодно­ кратно встречается в рассматриваемых далее примерах, и зна­ ние его бифуркаций дает весьма полезную информацию при ка­ чественном исследовании конкретных систем.

выражая из этого соотношения у через х ж v ж переходя к пе­ ременным х жv, мы придем к системе вида

dxjdt = v, dv/dt = Q* (х, v).

Возвращаясь к прежним обозначениям для переменных и за­ писывая полученную систему подробнее, мы получим

трем.

Нетрудно убедиться в том, что в силу предположения о дву-

достаточно близкие к ней до ранга 3 системы. Так как каче­ ственный характер тех близких систем, у которых в окрестности

8 4] БИФУРКАЦИИ ДВУКРАТНОЙ ТОЧКИ 177

как нетрудно показать, всегда представить в виде

dx/dt = у, dy/dt =-— E2x + ny + Q2(x, у),

Q 2 ( X , у ) = а 2 о х 2+ а и х у + а о 2 у 2+ ( ? з ( х , у ) , ' '

где Q3(x, у) начинается со степеней по х и у, не меньших трех. Нетрудно видеть, что в некоторой достаточно малой окрестности состояния равновесия 0(0, 0) системы (2) у всевозможных си­ стем (3) может быть: 1) одно двукратное состояние равновесия

ный фокус и седло при р = 0, е Ф 0 (рис. 105, д) . Непосредственным вычислением устанавливается, что первая

ляпуновская величина сложного фокуса имеет вид

•^1 = "^6 [ а 20а 11 "Ь е/ ( a ifc> Е) ] ’

где f(aik, е )— функция, зависящая от коэффициентов aik в раз­ ложении Ог(х, у), в которых г + А > 3. Так как в силу пред­ положения «гоЯц^О, то для всех достаточно близких систем

(3) «гояц ^ 0 и, следовательно,

Таким образом, сложный фокус, возможный у близких си­ стем (при р = 0), является устойчивым или неустойчивым в зависимости от знака выражения агояц, и из него может ро­ ждаться единственный цикл — соответственно устойчивый или неустойчивый (рис. 105, е). Однако того факта, что из сложного фокуса системы (3) может рождаться единственный предельный цикл еще недостаточно для того, чтобы сделать заключение о том, что в достаточно малой окрестности состояния равновесия О системы (3) может быть только один предельный цикл, так как предельные циклы могут еще появляться из двукратных предельных циклов, появляющихся из «уплотнения траекторий».

Если предполагать, что цикл единственный, то для различ­ ных достаточно близких к (2) систем (3) возможна, кроме ука­ занных выше, одна из качественных структур, представленных на рис. 105, ж, з.

Отметим, что знание возможных бифуркаций двукратной точ­ ки с двумя нулевыми корнями может оказаться весьма полез­ ным при качественном исследовании конкретных динамических систем.

12 н. н. Баутин, Е. А. Леонтович

§ 5. Рождение предельных циклов из особых траекторий степени негрубости выше первой. I. В § 2 было рассмотрено рождение предельного цикла из сложного фокуса первого по­ рядка, т. е. из состояния равновесия с чисто мнимыми характе­ ристическими корнями, для которого первая ляпуновская ве­ личина

L\ = ос3 Ф 0.

Здесь рассматривается случай, когда система (А) имеет слож­ ный фокус кратности т > 1, т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями такое, что первый, не равный нулю коэффициент а,- ( i > l ) функции последования есть

имеющей сложный фокус порядка т > 1, будем рассматривать измененную систему

dxldt = Р(х, у) = Р(х, у) + р(х, у),

dyldt = Q(x, y) = Q(x, у ) + q(x, у),

к предельных циклов, и все эти предельные циклы целиком лежат в е-ок­ рестности О.

Всегда можно также подобрать такие сколь угодно малые добавки ран­ га 2т + 1, чтобы из сложного фокуса О рождался негрубый цикл любой кратности к ^ т, или s предельных циклов соответственно кратностей пи п2, . . ., п, таких, чтобы сумма их кратностей не превышала т.

Пусть теперь О есть центр системы (А). Тогда, какое бы целое к мы ни взяли, всегда можно указать систему (А), сколь угодно близкую до ранга 2к + 1 к системе (А) и такую, что в данной сколь угодно малой окрестности О у этой системы су­ ществует к предельных циклов.

ГЛАВА 11

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ПРАВЫЕ ЧАСТИ КОТОРЫХ СОДЕРЖАТ ПАРАМЕТРЫ

§ 1. Возможный характер зависимости правых частей дина­ мической системы от параметров. Динамические системы, правые части которых зависят от того или другого числа параметров, всегда естественно возникают при рассмотрении различных за­ дач из приложений.

Пусть правые части динамической системы зависят от п па­ раметров, т. е. имеют вид

Мы будем предполагать, что правые части являются анали­ тическими функциями не только переменных х, у, но и пара­ метров Xi.

Если обратиться к рассмотрению одного из общих про­ странств динамических систем Яд (см. гл. 8), то, очевидно, при каждом наборе значений параметров Х( мы получаем точку в этом пространстве, а при всевозможных значениях параметров

которая является гамильтоновой системой при всех значениях параметров (т. е. с точки зрения введенной классификации — бесконечной степени негрубости)1).

■) В случае, когда мы рассматриваем всевозможные динамические си­ стемы с аналитическими правыми частями. Как уже было указано в § 8 гл. 8, если мы ограничиваемся рассмотрением только множества гамильто­ новых систем, то можно естественным образом ставить вопрос о грубости внутри этого множества, как это фактически и было сделано А. Пуанкаре.