книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

82 ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 3

Ниже перечислены все возможные типы состояний равновесия

(Рисунки даются только для устойчивого узла, в случае неус­ тойчивого узла надо переменить направление стрелок. При этом рис. 41 соответствует случаю, когда си­ стема имеет канонический вид, а

рис. 44 соответствует общему виду.)

Б. Вырожденный узел (Ал = Аг = А,, но в канонической форме р Ф 0, Д > 0,

^4 5 );

хб) неустойчивый: А > 0 .

вого фокуса в случае канонического вида системы: рис. 48 соот­ ветствует случаю Р > 0, рис. 49 — случаю р < 0; рис. 50 соответ­ ствует случаю, когда система имеет общий вид);

б) неустойчивый: а > 0 ( а > 0 ).

сепаратрис в седле. Уравнение для нахождения углового коэф­ фициента сепаратрис в седле имеет вид к2— Ък — а2= 0 , откуда

Ли = 6 / 2 ± Гб2/4 + а2.

а сепаратриса с наклоном к = <х>есть прямая х = 0 .

Мы будем также рассматривать выражение

cos 0 Qm(cos 0, sin 0) — sin 0 Pm(cos 0, sin 0 ).

Имеет место Т е о р е м а 1. Всякая полутраектория системы

dx/dt = Pm(x, у)+ <p(z, у), dy/dt = Qm{x, у)+ it>(a;, у)

(Pm и Qm не равны тождественно нулю), стремящаяся к состоя­

При этом:

I. Если хоть одна из траекторий системы является спиралью, стремящейся к О при t +°° (или t —°°), то все траектории, проходящие через точки некоторой окрестности состояния равно­

где Qm-i(x, y ) — некоторый не равный нулю тождественно одно­ родный многочлен степени тп— 1 , то, какое бы направление 0 , не удовлетворяющее уравнению

мы ни взяли, существует в точности одна полутраектория, стре­ мящаяся к О в направлении 0. Для особого же направления 0*, удовлетворяющего (5), может оказаться, что не существует ни одной полутраектории, стремящейся к О в этом направлении 0 *, либо есть конечное число таких траекторий, либо, наконец, таких траекторий может существовать бесчисленное множество.

З а м е ч а н и е . Если существует траектории, стремящаяся к состоянию равновесия О с определенным наклоном к*, то этот

наклон, согласно сформулированной теореме 1 , является действи­ тельным корнем уравнения Qm(1, к )— кРт(1, к) = 0. Однако если это уравнение имеет действительные корни, то это еще не означает, что существуют траектории, стремящиеся к О с этим наклоном: возможны случаи, когда при этом все траектории яв­ ляются спиралями или замкнутыми траекториями.

§ 2. Сложное состояние равновесия (особая точка) с нуле­ выми характеристическими корнями2). В настоящем параграфе мы приведем результаты исследования одного простейшего типа сложных особых точек.

Рассмотрим систему

dx/dt = Р(х, у), dy/dt = Q(x, у),

где Р(х, у) и Q(x, у) — аналитические функции, не имеющие об­ щего множителя, отличного от постоянного.

Пусть начало координат является сложным состоянием равно­ весия этой системы, т. е. мы имеем

Р( 0 , 0 ) = 0 , Q(0 , 0 ) = 0 ,

и, следовательно, хотя бы один из характеристических корней этого состояния равновесия равен нулю. Мы будем рассматривать здесь такие сложные состояния равновесия, когда в разложениях по степеням х жу функций Р(х, у) и Q(x, у) хотя бы один из линейных членов не равен нулю, т. е. когда

1^(0,0)1 + |р;(0,0)1 + |&(0,0)1 + |&(0,0)М 0.

Рассмотрим наряду с величиной Д(0, 0) величину

о = Р'х(0,0) + Qy(0,0).

Среди состояний равновесия, для которых выполняется условие (6 ), естественным образом выделяются два случая в зависимости от того, что имеет место: а(0, 0)Ф 0 или а(0, 0) = 0. Так как характеристическое уравнение имеет вид

Я2 — сгЯ + А = 0,

2) Качественный характер таких состояний равновесия был рассмот­ рен методом Бендиксона (см. 0143, 60, 70]) и методом Фроммера (см. [1, 132, 133]). Мы приводим здесь величины, определяющие характер этих со­ стояний Ьавновесия, однако способом, указанным в работе [70] (см. также монографии [12, 13]), так как этот способ их введения значительно более естествен при рассмотрении бифуркаций этих состояний равновесия в гл. 10.

о= 0 , оба характеристических корня равны нулю.

I. А(0, 0) = 0, о (0, 0 )^ 0 . В этом случае существует неособое линейное преобразование (см. § 2 гл. 3), с помощью которого

4) Кроме того, Дт является ляпуиовскоп величиной, соответствующей одному, равному нулю характеристическому корню (см. гл. 6 ).

ЬДт < 0 , то траектории узлового сектора стремятся к О (при t -*■ +оо или при t —оо в зависимости от знака Ь) слева от оси у

(рис. 51, а), а если ЬДт > 0 , то справа от оси у (рис. 51, б)5). Состояние равновесия в случае а) мы будем называть слож­

ным седлом, в случае в)— седло-узлом, а в случае б)— сложным узлом6).

Нетрудно видеть (см. §1), что, когда система имеет канони­ ческий вид (7), существует два направления, по которым траек­ тории могут стремиться к рассматриваемому состоянию равнове­ сия, это: 0, я и я/2, Зя/2.

На рис. 51, а, б представлен седло-узел в случае, когда систе­ ма приведена к каноническому виду (7).

Очевидно, в случае, когда в рассматриваемых координатах х жу система не имеет канонического вида, направления, в кото­ рых траектории стремятся к началу координат, могут быть от­ личны от направления осей. Такой случай представлен для слу­ чая седло-узла на рис. 51, в.

В дальнейшем особый интерес для нас будет представлять случай тп = 2 , который мы будем называть случаем простейшего двукратного седло-узла. В случае тп > 2 будем называть состоя­ ние равновесия сложным седло-узлом.

5)Хотя на рис. 51 оси координат нарисованы, но они не относятся к качественной структуре состояния равновесия и не надо придавать значе­ ния деталям взаимного расположения траектории и осей.

6)Геометрически в рассматриваемом случае сложное седло и сложный узел ничем не отличаются от простого седла и узла.

II. Д(0, 0 ) = 0 , о(0, 0) = 0. В этом случае, очевидно, оба ха­ рактеристических корня состояния равновесия равны нулю.

В рассматриваемом случае система линейным неособенным преобразованием приводится к виду

dx/dt = у + P t (х , у), dy/dt = Q\ (х, у),

где Р * (х , у) и Q* (х, у) — аналитические функции, разложения ко­ торых по степеням х ж у начинаются с членов не менее чем второго порядка.

Рассмотрим следующие функции:

1 ) функцию у = у(х), являющуюся решением уравнения

у + Р * (х,у) = 0;

2 ) функцию у = $ (х), определяемую формулой

■ф(ж) = ^*(ж, ф(ж));

эта функция заведомо не равна нулю тождественно (в силу предположения об отсутствии общих множителей, отличных от постоянных у правых частей рассматриваемой системы), поэтому в разложении -ф(л:) по степеням х заведомо будут отличные от нуля члены, и мы можем написать

■ф(ж)= Q*(x, <р(ж))= ahxk + ...; акФ 0;

3) функцию

что при некотором п Ъп Ф 0. Числа к, п и коэффициенты ак и Ьп характеризуют качественную структуру особой точки. При этом число к характеризует кратность общей точки изоклин (см. ч. II).

Такое состояние равновесия мы будем называть вырожденным седло-узлом (рис. 53).

Отметим, что рис. 53 выполнен при условии Ьп > 0 и а%т< 0, а рис. 52 соответствует случаю Ьп > 0, а^т < 0.

Т е о р е м а 4. Пусть k = 2m + 1 — нечетное число и агт + 1 Ф 0, и пусть у = bn + 4(m + 1 ) а2т+1.

есть фокус или центр, то имеем, очевидно, случай, возможность которого была указана: когда, несмотря на наличие дейст­ вительных корней уравнения (8 ) и траекторий, стремящихся