книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

§ 41 «БЕЗОПАСНЫЕ» И «ОПАСНЫЕ» ГРАНИЦЫ 231

Рассмотренная граница области устойчивости, очевидно, яв­ ляется опасной.

После исчезновения седло-узла изображающая точка либо стремится к устойчивому состоянию равновесия или к устойчи­ вому предельному циклу, близкому к тому, к которому стреми­ лась а-сепаратриса седло-узла (см. рис. 103 гл. 10), либо, в случае, когда сепаратриса седло-узла возвращается в него же, начинает двигаться (сначала с очень большим периодом) по предельному циклу, образовавшемуся из сепаратрисы седлоузла (см. рис. 104 гл. 10). Во всех этих случаях граница области устойчивости опасна.

Следует, однако, обратить внимание на то, что если при зна­ чениях Я < Яо изображающая точка двигается по предельному циклу, на котором при Я = Яо возникает двукратное состояние равновесия седло-узел, то соответствующая граница, очевидно, является безопасной (изображающая точка не выходит из окрест­ ности цикла).

Рассмотрим еще дополнительно поведение динамических си­ стем вблизи тех точек границы, в которых А > 0 и R = 0, где безопасная граница переходит в опасную, т. е. где первая ляпуновская величина L\ обращается в нуль. В этом случае поведе­ ние системы может быть определено знаком второй ляпуновской величины Z/2 = as ^ 0 (см. гл. 11, § 5).

При рассмотрении этого случая мы предположим, что в си­ стему входит не один, а два параметра Я и ц (при наличии только одного параметра картина смазывается), и пусть в не­

соответствующих значений параметров система имеет неустой­ чивый сложный фокус первого порядка); в точках части линии R = 0, обозначенной черными точками, L\ < 0 (система имеет устойчивый сложный фокус).

В заштрихованной части плоскости параметров R < 0, в незаштрихованной (но в которой может быть область, обозначен­ ная мелкими штрихами) R > 0. Напомним, что при переходе че­ рез часть границы R = 0, в которой L\ < 0, из заштрихованной

8 4] «БЕЗОПАСНЫЕ» И «ОПАСНЫЕ» ГРАНИЦЫ 233

С другой стороны, нетрудно показать, что при значениях пара­

ждаются, и в силу сделанных выше замечаний не рождаются при переходе в область III.) Но тоща при движении в про­ странстве параметров из области III в область II непременно должны встретиться бифуркационные значения параметров, при которых у системы существует двукратный цикл. На рис. 120 линия в пространстве параметров, соответствующая двукратным предельным циклам, изображена штрихами. Аналогичное рас­ смотрение может быть проведено и в случае Ь2 < 0 (рис. 120,6 и рис. 122, а — в).

В рассмотренном случае знак второй ляпуновской величины Ь2 играет роль, подобную знаку L\, увеличивая или уменьшая

Случай Lz<0

Рис. 122

опасность для изображающей точки быть выброшенной из ок­ рестности состояния равновесия.

Пусть Ь2> 0 (при R = L\ — 0) и пусть значения парамет­ ров достаточно близки к значениям, определяемым этими усло­ виями; тогда в достаточно малой окрестности начала координат в фазовом пространстве может быть одна из структур, изобра­ женных на рис. 121.

При нарушении безопасной границы области устойчивости изображающая точка остается в малой окрестности состояния равновесия вблизи устойчивого предельного цикла, если началь­ ные возмущения не превосходят некоторой малой величины (определяемой размерами второго, неустойчивого предельного цикла, также вторгающегося в малую окрестность начала ко­

§ 5] ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ДРУГИХ ГРАНИЦ 235

состоянию равновесия или предельному циклу, к которому стре­ милась а-сепаратриса седла. При обратном изменении А имеет место необратимость (изображающая точка, находящаяся около устойчивого состояния равновесия или предельного цикла, к ко­ торому стремилась указанная а-сепаратриса седла, не реагирует на образование петли сепаратрисы).

Мы остановимся сейчас еще на весьма интересных случаях, связанных с опасной границей, возникающей при существова­ нии сложного фокуса и двукратного цикла, в которых не) можем однозначно указать поведение системы после прохожде­ ния через границу области Рауса — Гурвица.

вому фокусу, в окрестности которого находилась изображающая точка. Пусть при А = Яо (рис. 123,6) предельный цикл влипает

в состояние равновесия, которое делается сложным неустойчи­ вым фокусом, а затем грубым неустойчивым фокусом. При А > Ко сепаратрисы стремятся к этому фокусу, и, очевидно, нет

14) Таким образом, можно сказать, что мы имеем здесь «динамическую неопределенность».

устойчивому предельному циклу I/O, внутри которого находится единственное неустойчивое состояние равновесия типа узел или фокус.

К циклу LQ приближается неустойчивый предельный цикл L, являющийся предельным для ряда сепаратрис, входящих в гра­ ницы ячеек с различными центрами притяжения. При некото­ ром значении параметра Я = Яо цикл L\ сливается с циклом LQ

иисчезает.

Врассматриваемом случае, так же как и в предыдущем, нет возможности однозначно указать поведение изображающей точ­

ки при %> Яо.

Ч А С Т Ь III

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С АНАЛИТИЧЕСКИМИ НРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Г Л А В А 14

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИЕМАХ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Введение. В настоящей части приводятся примеры качествен­ ного исследования динамических систем из приложений, в той или другой форме опирающиеся на изложенные в ч. I класси­ ческие приемы качественного исследования (метод малого пара­ метра, установление характера состояний равновесия, критерии Бенднксона и Дюлака, построение топографической системы, использование теории индексов) и на приемы, использующие теорию бифуркаций.

В книге особое внимание уделяется именно использованию методов теории бифуркаций.

Сделаем прежде всего некоторые общие замечания.

Мы уже говорили, что одной из наиболее трудных задач ка­ чественного исследования динамической системы является зада­ ча установления существования или отсутствия предельных циклов. При этом мы останавливались (см. § 13 гл. 1) на том элементарном факте, что по локальным свойствам разбиения на траектории ничего нельзя сказать о существовании или отсутст­ вии замкнутой траектории.

Иногда в литературе встречаются работы, в которых делают­ ся попытки дать общий универсальный алгоритмический метод отыскания предельных циклов для любых динамических систем

fo(x)=0.

Предположим, что рассматриваются функции f(x), аналити» ческие при всех х (—° ° < а ; < + <»), и ставится вопрос об общем универсальном методе определения числа корней любой из этих функций /о (х) — 0 на некотором конечном интервале значений х

например для случая, когда правые части — многочлены данной фиксированной степени п, представляется имеющей смысл, од­

правые части которых не обязательно многочлены, но зависят от конечного числа параметров.

Из сказанного выше очевидно, что не только для задачи определения числа и расположения предельных циклов, но даже для значительно более простой задачи — задачи определения числа состояний равновесия, которая сводится к определению числа общих корней пары функций

Р ( х , у ) = 0, Q(x, у) =0 ,

также можно сделать полностью аналогичные высказывания.

Вслучае, когда Р(х, у) и Q(x, у ) — многочлены данной фик­ сированной степени п, эта задача при использовании результан­ та этих многочленов, очевидно, сводится к методу Штурма.

Вслучае, когда рассматривается класс функций Р(х, у) и Q(x, у), не обязательно являющихся многочленами данной фик­ сированной степени п, но зависящих от конечного числа пара­ метров, то задача установления регулярных методов отыскания числа их общих корней приобретает смысл.

Очевидно, по отношению к задаче установления расположе­ ния сепаратрис, тесно связанной с задачей отыскания состояний равновесия и предельных циклов, можно сделать аналогичные высказывания.

Всякая задача, возникающая из приложений, как правило, содержит то или иное конечное число параметров. Обычная за­ дача качественного исследования такой системы заключается в установлении областей значений параметров с той или другой качественной структурой (т. е. с наличием тех или других ре­ жимов). При этом наиболее важным является указание тех об­ ластей значений параметров, в которых существуют предельные циклы или в которых предельные циклы отсутствуют.

Втех областях значений параметров, в которых есть предель­ ные циклы,— в реальной системе, описываемой рассматриваемой динамической системой,— существуют автоколебания; в тех областях значений параметров, в которых нет предельных цик­ лов, автоколебания отсутствуют.

Если динамическая система описывает какое-нибудь техниче­ ское устройство, то для устройств одного типа автоколебания вредны, для технических устройств другого типа (например, для генераторов) они нужны, так как они являются основой работы этого устройства.

240 ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИЕМАХ ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. 14

Другими словами, качественное исследование системы, содер­ жащей параметры, заключается в установлении разбиения пространства параметров бифуркационными пленками (в случае

ния. Очевидно, все понятия теории бифуркаций (понятие грубо­ сти, первой степени негрубости, бифуркации) при этом крайне естественны и необходимы.

Методы качественного исследования динамической системы, правые части которой содержат параметры, использующие тео­ рию бифуркаций, опираются на следующее общее, эвристически не вызывающее сомнений утверждение.

Если известно множество всех бифуркационных значений па­ раметров (пли доказано их отсутствие), известен характер всех бифуркаций при прохождении через различные бифуркационные значения и, кроме того, известна качественная структура дина­ мической системы при каких-либо частных значениях парамет­ ров, то, используя соображения непрерывности, можно на осно­ вании этих сведений определить качественную структуру для любой точки во всем пространстве параметров.

Таким образом, знание бифуркационных значений парамет­ ров является очень важной задачей, так как знание этих пара­

Трудности в определении бифуркационных значений пара­ метров заключаются в том, что явные аналитические выражения для условий, выделяющих бифуркационные значения парамет­ ров, фактически известны лишь в случае состояний равновесия (условия Д = 0 и а = 0). Однако в некоторых случаях удается косвенными соображениями установить наличие той или другой бифуркационной поверхности.

Иногда удается весьма эффективно использовать свойство поворота поля (в тех случаях, конечно, где поворот поля имеет место), а также знание качественной структуры при некоторых частных значениях параметров и т. д. Отметим, что всюду (за небольшим исключением) в дальнейших примерах грубые дина­ мические системы заполняют области.

Один из основных вопросов качественного исследования — вопрос отыскания предельных циклов — в некоторых приклад­

Очевидно, этот метод тоже в каком-то смысле можно считать методом теории бифуркаций, так как в этом методе фактически рассматривается бифуркация от линейной (нелинейной) консер­