книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

Будем называть линию в плоскости параметров A,i и Я2, все точки которой соответствуют бифуркационным значениям пара­ метров, бифуркационной кривой. Предположим, что для рас­ сматриваемой динамической системы, правые части которой за­ висят от двух параметров,

dx/dt = Р(х, у, Ai, Я2),

dy/dt = Q(x, у, Ац Я2),

точки бифуркационных кривых соответствуют системам первой степени негрубости (как указывалось, это должно иметь место в общем случае вхождения параметров в правые части).

Пусть, например, у системы (А*) существует двукратное со­ стояние равновесия седло-узел. Это означает, что рассматривае­ мая система соответствует значениям параметров Ап и Яг, кото­

Исключая х и у из этих трех уравнений, мы получим одно со­ отношение между параметрами Ai и Я2:

Д*(А,, Я2) = 0.

Это соотношение дает уравнение бифуркационной кривой, не­

системе (А*), имеющей состояние равновесия кратности выше второй. Если мы в пространстве параметров пересечем кривую А* = 0, переходя с одной стороны этой кривой на другую, то на плоскости {х, у) для рассматриваемой динамической системы в окрестности седло-узла будет осуществляться смена качествен­ ных структур; рассмотренная в § 2 (см. рис. 99 гл. 10).

Рассмотрим еще другой случай системы первой степени не­ грубости, именно случай, когда система (А?о) имеет сложный

фокус первого порядка, т. е. когда для рассматриваемой систе­ мы (А?.о) выполняются условия

192 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ (ГЛ. 11

и при этом А(х, у, А,1 , Х2) > 0. Исключая х и у из трех соотноше­ ний, мы, вообще говоря, получим одно соотношение между па­ раметрами Xi и Х2:

для точек этой кривой) соответствуют системы (Ах), у которых есть сложный фокус. Так как мы предположили, что бифурка­ ционным кривым соответствуют системы первой степени негру-

мы можем различить, какая из смен качественных структур: слу­ чая Па, или Но, имеет место при пересечении бифуркационной кривой.

Обратим внимание на следующее. Если исключить значения

так и в области, где ос < 0, есть точки, которые соответствуют системам (Ах), имеющим сепаратрису, образующую петлю, то знание знака ае, очевидно, позволяет судить об устойчивости или неустойчивости цикла, рождающегося из этой петли. При­ меры использования сведений о знаке сс даются в задачах ч. III и IV.

Методы нахождения (аналогичные методам нахождения кри­ вых о = 0 и Д = 0) уравнений бифуркационных кривых, соот­ ветствующих двукратным циклам или сепаратрисам, идущим из седла в седло, очевидно, отсутствуют. Действительно, для того чтобы методом, аналогичным методу определения кривых А* = 0 и о* = 0, найти уравнение бифуркационной кривой, соответ­ ствующей двукратному предельному циклу, нужно, очевидно, найти решение, соответствующее предельному циклу (соответ-

пени негрубости, могут быть граничными более чем для двух грубых областей. Поэтому нахождение точек пространства пара­ метров, соответствующих системам степени негрубости выше первой, и изучение поведения системы в окрестности таких зна­ чений параметра часто позволяют установить наличие целого ряда различных грубых областей с различными качественными структурами.

Остановимся на одном частном случае динамической си­ стемы второй степени негрубости, именно, динамической си­ стемы, имеющей двукратное состояние равновесия, для которого а = 0 (см. гл. 10, § 4). Можно показать, что все бифуркации этого состояния равновесия могут быть получены при изменении

двух независимых параметров. В пространстве этих пара­ метров — мы их будем обозна­ чать через ш %2— такому со­ стоянию равновесия соответ­ ствует общая точка кривых

областью, а по другую сторону Р — с неустойчивой (устойчивой) узловой областью. Кривая а* = 0 точкой Р делится на две части:

точку Р), соответствующая петле сепаратрисы.

§ 4. Бифуркации «от бесконечности». В § 2 рассматривалась смена качественных структур, которая происходила вблизи не­ грубого особого элемента (сложной особой точки, сложного фоку­ са и т. д .), лежащего внутри области определения динамической системы. Очевидно, можно также рассмотреть и возможные сме­ ны качественных структур в том случае, когда негрубый особый элемент лежит н а г р а н и ц е области определения динамиче­ ской системы. Не останавливаясь на случае, когда система (А*) определена в ограниченной части плоскости, укажем некоторые возможности бифуркаций «от бесконечности» в случае, когда

Составляя то же выражение d(x2+ y2)/dt при А Ф 0, мы по­ лучим

d(x2+ y2)Jdt = 2 [(х2+ у2) (1 - А(х2 + у2) ) ].

Очевидно, если х2+ у2> 1/А, то d(x2+ y2)/dt < 0, т. е. беско­ нечность неустойчива.

Нетрудно непосредственно проверить, что окружность

х2+ у2= 1/А

является предельным циклом системы (3). Этот цикл рождается из бесконечности.

П р и м е р 3.

х= у —х (Ах2 + у2—1),

у= — Хх — у(Хх2+ у2- 1).

При X = 0 мы имеем, как нетрудно видеть, качественную струк­ туру, изображенную на рис. 109, при X > 0 — изображенную на рис. 1 1 0 .

Предельный цикл — эллипс

х2+ у2IX = 1/А,

родился из бесконечности (из пары прямых у2— 1 = 0 ).

§ 5. Условия существования седло-узла и сложного фокуса первого порядка. В гл. 3 и 4 мы предполагали, рассматривая со­ стояния равновесия, для которого Д = 0, а также рассматривая сложный фокус (Д > 0, о = 0), что в окрестности этого состоя­ ния равновесия система приведена к каноническому виду. Одна­ ко при качественном исследовании конкретных динамических систем это бывает очень неудобно, так как приведение к кано­ ническому виду иногда требует больших вычислений. В настоя­ щем параграфе мы дадим условия для существования двукрат­ ного седло-узла, а также для существования сложного фокуса первой степени негрубости, предполагая, что в окрестности со­

8)Неравенство нулю I (X®) означает, что состояние равновесия дву­

кратное. Когда система имеет канонический вид, то I (X®) = р 2 (*> 0) (см. гл. 9).

4- ЗЬ03) — ЗЬ30 (Ь21 Ч- За30) — Ь02(4а22 Ч- 22а40 Ч- 7&31 — 6а04 + 9513)Ч-

Ч" ЗЬ41 + 3Ь23 + 15505 + 15а5в -р За32 Ч- За14].

§ 6. Поворот векторного поля. В гл. 7 мы уже рассматривали случай, когда в каждой точке угол между вектором, определен­ ным системой

Тогда тангенс угла ф между вектором, определенным системой (А), и вектором, определенным системой (А), будет

будем также рассматривать и более общий случай, когда угол между векторами, определенными соответственно системами (А) и (А), в каждой точке плоскости (или некоторой данной обла­ сти) не меняет знака, хотя и не постоянен.

Будем говорить, что при переходе от системы (А) к систе­ ме (А) мы имеем поворот поля (или что поле поворачивается на угол того или другого знака), если Р(х, у) и Q(x, у) обращаются