книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

значениях параметров. Например, при всех значениях парамет­ ров у системы может быть сложное состояние равновесия, сепа­ ратриса, идущая из седла в седло, и т. д.

Однако в дальнейшем мы будем предполагать, что у рас­ сматриваемых систем, правые части которых зависят от п пара­ метров: Ai, Аг, ..., Ап, в пространстве параметров (являющемся га-мерным пространством) не существует никакой га-мерной об­ ласти, всем точкам которой соответствуют негрубые системы.

Это предположение является существенным для рассмотре­ ния настоящей главы.

Можно считать, что это предположение является предполо­ жением о некотором общем случае расположения многообразия

размерности п (выделенного в пространстве R д системой (Ах), правые части которой зависят от п параметров Ai, ..., А„) по

отношению к тем подпространствам пространства Яд, которые соответствуют негрубым динамическим системам. Именно такой характер вхождения параметра типичен для задач теории ко­ лебаний.

При этом предположении грубые системы в пространстве па­ раметров заполняют области. Действительно, если в га-мерном пространстве параметров существует хотя бы одна точка, кото­ рой соответствует грубая динамическая система, то тогда, оче­ видно, в пространстве параметров непременно будет существо­ вать и целая re-мерная область, заполненная грубыми системами. Так как грубые системы выделяются условиями типа неравенств,

лению этой качественной структуры. Значения параметров А», соответствующее грубым системам, будем называть грубыми значениями параметров, а области, заполненные грубыми значе­ ниями параметров,— грубыми областями.

Области, заполненные грубыми системами с различными ка­ чественными структурами, разделяются п — 1-мерными «плен­ ками», точкам которых соответствуют негрубые системы, причем в общем случае — это системы первой степени негрубости.

Действительно, системы первой степени негрубости — это си­ стемы, которые выделяются одним (и только одним) условием типа равенства (например)

Д (хо, Уо) = 0 ,

или

Лс (-*4)’ Уо) "Ь Qv fa'O» Уо) — 0.

Это условие в пространстве параметров выделяет в общем слу­ чае п — 1-мерную поверхность —«пленку».

В математической литературе в настоящее время при рас­ смотрении функциональных пространств, а также введенного в

гл. 8 пространства динамических систем, используется понятие «коразмерность». Не давая точного определения, поясним смысл этого понятия. В элементарном случае евклидова трехмерного пространства: «коразмерность 1»— множество точек (гладкая поверхность), задаваемое функцией Ф(:г, у, z ) = 0 с градиентом, не равным нулю; «коразмерность 2» соответствует трансвер­ сальным (без касания) пересечениям двух гладких поверхно­ стей; «коразмерность 3» соответствует точке. В и-мерном про­

странстве понятие коразмерности не вносит ничего нового по сравнению с числом измерений. Когда рассматривается функ­ циональное пространство, точками которого являются, например, динамические системы, о числе измерений, как правило, гово­ рить уже невозможно. Однако можно (по аналогии с конечно­ мерными) ввести понятия: «гладкое функциональное соотноше­ ние», «гладкая гиперповерхность», удовлетворяющая одному функциональному соотношению между элементами этого про­ странства, а также понятие «трансверсальное» пересечение. Тог­ да множество элементов этого пространства, удовлетворяющее одному функциональному соотношению,— это множество кораз­ мерности 1. Множество элементов, удовлетворяющих п функци­ ональным соотношениям, определяющим п гладких гиперповерх­ ностей, пересекающихся трансверсально,— множество коразмер­ ности п. Пусть у динамической системы х = Р, у = Q есть един­ ственный негрубый элемент — простое состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями и не равной нулю первой ляпуновской величиной. Если рассматривать всевозмож­ ные системы х = Р, у = Q, близкие к данной, на которые накла­ дывается единственное требование сохранения чисто мнимых корней для близкого состояния равновесия (т. е. требование

Р'х + Qy = О), то динамические системы, удовлетворяющие этому условию, лежат на гиперповерхности коразмерности 1 в про­ странстве динамических систем («гладкость» этой поверхности устанавливается с использованием понятия «обобщенный гра­ диент»). На гиперповерхности коразмерности 2 лежат, напри­

§ 1) ХАРАКТЕР ЗАВИСИМОСТИ СИСТЕМЫ ОТ ПАРАМЕТРОВ 183

мер, динамические системы с состоянием равновесия с чисто мнимыми корнями и равной нулю первой ляпуновской величи­

негрубости 1, 2, . . связываются представления о возможных в системе при изменениях правых частей наборах бифуркаций. Понятия степеней негрубости связаны с этим более органично.

Как мы видели, при рассмотрении систем первой степени не­ грубости для таких систем запрещаются: а) случай, когда су­ ществует двукратный предельный цикл, на который извне и из­ нутри накручиваются сепаратрисы, и б) случай, когда на петлю сепаратрисы накручивается хотя бы одна сепаратриса. Оба эти случая невозможны в системах первой степени негрубости в силу данного определения таких систем, так что при наличии таких образований система рассматривается как система более высокой степени негрубости.

Между тем динамические системы, для которых осуществля­ ется случай а) или б), в общем пространстве динамических си­ стем заполняют пленки, т. е. имеют коразмерность 1. Действи­ тельно, в случае а) эта пленка выделяется условием наличия двукратного цикла, а в случае б)— условием наличия петли сепаратрисы. Однако эти пленки существенно отличаются от пленок, соответствующих системам первой степени негрубости:

угодно близкую точку грубой области с указанной пленкой, не пересекающей других пленок.

Мы уже отмечали, что понятия грубости и степени негрубо­ сти могут быть полностью аналогично введены и в других ма­ тематических объектах. Рассмотрим, например, пространство

где F(x, у) — аналитическая функция.

Для таких кривых можно ввести понятие «грубой кривой» и кривой «первой степени негрубости», «второй степени негрубо­ сти» и т. д. Однако при этом возникает существенное различие с динамическими системами. Можно показать, что в простран­ стве кривых (G) множество кривых первой степени негрубости (и только кривых первой степени негрубости) является плен­ кой, и всякая такая пленка является достижимой в множестве грубых кривых. Множество кривых более высокой степени яв­ ляется пересечением двух (или более) пленок и всегда имеет

цикл, то, как мы видели, вопрос о возможной смене качествен­ ных структур решается элементарно.

Однако вопрос об установлении факта появления двукрат­ ного предельного цикла (он появляется из уплотнения траекто­ рий)6), об установлении отсутствия такого появления является одной из наиболее сложных задач теории бифуркаций, для ре­ шения которой в настоящее время нет сколько-нибудь общих методов (или приемов). Если не доказано (методом Дюлака, использованием топографической системы или еще каким-либо частным приемом) отсутствия предельных циклов, то мы, во­ обще говоря, не имеем никаких оснований для того, чтобы утвер­ ждать отсутствие любого числа двукратных предельных циклов,

идущая из седла в седло.

Рассмотрим случай, когда сепаратриса L седла О(аго, уо) обра­ зует петлю. В силу предположения о первой степени негрубости системы при X = Хо седловая величина

Ос — Рх (■2-0’ УО' К) "Р Qv (хо> Уо>^*о)^ 0.

В этом случае возможны следующие две смены качественных

сепаратрис траектории системы (В*), проходящие через ео-окрест- ность L, выходят из этой окрестности и при возрастании, и при убывании t.

6) Появление двукратных предельных циклов полностью аналогично появлению двукратных корней у функции (очевидно, при появлении дву­ кратного цикла появляется двукратный корень у функции последования).

Именно, пусть рассматривается функция у = f(x, р) (непрерывная, с непрерывными производными до порядка не меньшего двух) и ее корни, т. е. точки пересечения кривой у = f(x, р) с осью х. При изменении р функ­ ция у = f(x, р) меняется, и при этом всегда может появиться двукратный корень (который при дальнейшем изменении р может разделиться на два). Без априорных сведений о характере функции /(ж, р) мы не можем ни утверждать, что такое появление двукратного корня невозможно, ни ут­ верждать его наличие.

Рис. 106

гл. 8). Рассмотрим еще два часто встречающихся в задачах слу­ чая (которые по недоразумению часто путают со случаями

IIи IV).

V. Рассмотрим случай смены устойчивости фокуса без рожде­

ния предельного цикла, когда бифуркационному значению пара­

замкнуты (рис. 107, а). (В этом случае, очевидно,ас= Р х(х0>Уо)+

+ Qv (*о>Уо) = 0-)

Тогда возможна смена качественных структур, представлен­

§ 3. Случай, когда правые части зависят более чем от одного параметра. В случае, когда правые части динамической системы зависят более, чем от одного параметра, каждая из указанных в § 2 последовательных смен качественных структур будет про­ исходить при изменении параметров вдоль дуги, пересекаю­ щей в пространстве параметров негрубую п — 1-мерную пленку, точкам которой соответствуют системы первой степени негрубости с одним из негрубых особых элементов типов I—IV § 2.

Пусть, например, п = 2, т. е. правые части системы (А*) за­ висят от двух параметров Ai и Аг, и мы имеем плоскость пара­ метров Ai и Аг.