книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

214 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПА ЦИЛИНДРЕ [ГЛ. 12

ционному значению параметра, в случае, когда рассматривается система, правые части которой зависят от параметра) является системой первой степени негрубости, те же, что и описанные в гл. 10, со следующими очевидными добавлениями.

I. Двукратный цикл, охватывающий цилиндр при достаточно малых добавках, либо разделяется на два цикла, охватывающих цилиндр, либо исчезает.

II. Сепаратриса седла 0 ( фо, уо), образующая петлю, охваты­ вающую цилиндр (при этом в седле стс = У0) + Qy(Фо> Уо)

Ф О), при всех достаточно малых добавках либо разделяется без рождения предельного цикла, либо разделяется с рождением пре­ дельного цикла, охватывающего цилиндр, причем этот предельный

возвращается в него же (в узловую область седло-узла), то при всех достаточно малых добавках, при которых седло-узел исче­ зает, от сепаратрисы рождается предельный цикл, охватываю­ щий цилиндр.

В случае динамических систем на цилиндре можно также отметить следующую бифуркацию от бесконечности:

IV. Рождение из бесконечности предельного цикла, охваты­ вающего цилиндр (такое рождение происходит при смене устой­ чивости бесконечности (ср. гл. 11)).

Поворот поля. Как и в случае плоскости, мы скажем, что при

имеет место поворот поля (или поле поворачивается на угол одного знака), если во всех точках, отличных от состояний рав­ новесия системы (А)^ одновременно являющихся состояниями равновесия системы (А), выполняется неравенство

>Р(ф, y)Q(Ф. У )~ <?(ф> У)Р(Ф. У)ф °-

Все сказанное в гл. 11 по поводу сепаратрис и, в частности, по поводу сепаратрис, образующих петлю, справедливо, очевидно, и ддя сепаратрис, образующих петлю, охватывающую цилиндр.

предельные циклы, охватывающие цилиндр, на которых направ­ ления обхода по t одинаковы, то при повороте на угол такого знака, при котором устойчивый цикл поднимается, неустойчи­ вый цикл опускается, а при повороте другого знака — наоборот.

§ 5] МЕТОД ПОНТРЯГИНА НА ЦИЛИНДРЕ 215

Если на двух устойчивых циклах, охватывающих цилиндр, направления обхода по t противоположны, то при повороте поля на угол одного и того же знака предельные циклы «двигаются» в противоположных направлениях.

Утверждения о поведении при повороте, аналогичные утвер­ ждениям гл. 11, справедливы также для устойчивого и неустой­ чивого предельных циклов, охватывающих цилиндр, на кото­ рых направления обхода по t противоположны, а также для дву­ кратного предельного цикла, охватывающего цилиндр, и для сепаратрисы, образующей петлю, охватывающую цилиндр.

§ 5. Динамические системы на цилиндре, близкие к гамиль­ тоновым (метод Понтрягина), Предположим, что рассматри­

существуют области, заполненные замкнутыми кривыми, охва­ тывающими цилиндр, и сформулируем условия, достаточные для того, чтобы у системы (А) при всех достаточно малых р суще­ ствовал предельный цикл, рождающийся из некоторой кривой

(С) при условии, что в точках этой кривой (С)

дЩду Ф 0.

Если в точках некоторой кривой

Н (ф, У) = С0

дН/дуФ 0, то уравнение этой кривой, а также всех близких кривых

раторе, заводной механизм в часах и др.), и притом источника энергии, не зависящего от времени. Таким образом, автоколе­ бательные системы описываются не зависящими от времени, т. е. автономными, дифференциальными уравнениями.

Так как в настоящей книге рассматриваются только авто­ номные системы двух дифференциальных уравнений, то мы бу­ дем здесь говорить только об автоколебательных системах, с до­ статочной точностью описываемых системой двух автономных дифференциальных уравнений:

ветствуют тем реальным параметрам, которые были учтены при написании дифференциальных уравнений. В случае автоколеба­ тельных систем эти уравнения заведомо нелинейны и, кроме того, заведомо неконсервативны. Кроме того, как мы уже гово­ рили ранее, такие системы, вообще говоря, за исключением не­ которых бифуркационных значений параметров, являются гру­ быми. Реальные автоколебательные режимы, устанавливаю­ щиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями вида (Ах), математически соответствуют устойчивым предельным циклам. Наличие таких предельных циклов в соответствующей системе дифференциальных уравнений является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих на­ чальных условиях) существования автоколебаний в системе.

Неустойчивые предельные циклы, а также сепаратрисы от­ деляют на фазовой плоскости области начальных значений, при которых устанавливается тот или другой стационарный режим, т. е. либо устойчивый предельный цикл, либо устойчивое со­ стояние равновесия 3).

Аппарат нелинейных и неконсервативных дифференциальных уравнений оказался привлеченным к прикладным задачам в на­ чале нашего столетия в основном в связи с развитием радио­ техники4), в частности, с изучением работы лампового генера­

3) Если начальная точка взята не на самом устойчивом предельном цик­ ле и не в состоянии равновесия, то, как известно (см. гл. 2), изображающая точка по соответствующей траектории стремится к состоянию равновесия или предельному циклу при t + оо. Однако, очевидно, она будет уже че­ рез конечное время весьма близка к предельному циклу или состоянию равновесия и при дальнейшем возрастании t так и будет оставаться близ­ ко. Поэтому естественно считать, что в реальной системе стационарный ре­ жим устанавливается через конечный промежуток времени.

4) До развития радиотехники интересы физиков и техников были глав­ ным образом сосредоточены на линейных задачах, описываемых хорошо разработанным и простым аппаратом линейных дифференциальных урав­ нений. Естественно, что новые явления в радиотехнике сначала пытались объяснить, используя тот же аппарат линейных дифференциальных урав­ нений. Однако это оказалось невозможным, так как рассматривавшиеся но­ вые явления никак не укладывались в этот аппарат.

тора. Простое нелинейное уравнение, описывающее работу лам­ пового генератора, позволило адекватным образом объяснить нелинейные эффекты, которые, конечно, имеют место не только в ламповом генераторе, но также и во множестве других устройств, динамика которых достаточно точно описывается диф­ ференциальными уравнениями с аналогичным разбиением фа­ зового пространства на траектории.

§ 1. Мягкий и жесткий режимы. Так как эти понятия связаны со структурой разбиения фазового пространства на траектории, а не со специальным аналитическим видом соответствующих дифференциальных уравнений, то мы здесь не будем обращать­ ся к виду дифференциальных уравнений.

Пусть при некоторых фиксированных значениях параметров у системы дифференциальных уравнений, описывающих работу данного устройства (например, лампового генератора), разбие­ ние фазового пространства на траектории имеет вид, представ­ ленный на рис. 112,6, т. е. начало координат О — неустойчивый

фокус, и существует единственный предельный цикл L , окру­ жающий начало О. Тогда, очевидно, при любых начальных зна­ чениях (за исключением того нереального случая, когда на­ чальная точка совпадает с началом О) изображающая точка будет по соответствующей траектории стремиться к предельному циклу (так как состояние равновесия неустойчиво). На физиче­ ском языке это означает, что при любых начальных условиях (и, в частности, при таких, при которых начальная точка сколь угодно близка к началу О, но не совпадает с О) будет уста­ навливаться один и тот же автоколебательный режим.

В этом случае говорят, что имеет место мягкий режим.

Предположим теперь,— опять не обращаясь к конкретному аналитическому виду системы дифференциальных уравнений,— что у этой системы (которая описывает работу некоторого устройства, например, лампового генератора при другой харак­ теристике лампы, чем в выше рассмотренном случае) при не­ которых фиксированных значениях параметров разбиение фа­ зового пространства на траектории имеет вид, представленный на рис. 113, я, т. е. начало координат О — устойчивый фокус,

и вокруг этого фокуса — два предельных цикла — неустойчивый L\ и устойчивый Ь2 (неустойчивый предельный цикл отделяет состояние равновесия О от устойчивого предельного цикла Ь2). Очевидно, если начальная точка на фазовой плоскости доста­ точно близка к началу О (лежит между точкой О и предельным циклом Li), то изображающая точка по соответствующей траек­ тории стремится к устойчивому состоянию равновесия, колеба­ ний не возникает (устанавливается равновесный режим). Для того чтобы возникли автоколебания, надо начальную точку «за­

лежащих вне неустойчивого цикла, изображающая точка стре­ мится к устойчивому предельному циклу L2, т. е. возникают автоколебания.

В этом случае говорят, что имеет место жесткий режим.

§ 2. Замечания о границах области устойчивости различных стационарных режимов. Мы указывали, что стационарным режи­ мам реальной системы в описывающей ее системе дифференци­ альных уравнений соответствуют устойчивые узлы или фокусы (равновесные режимы) и устойчивые предельные циклы (авто­ колебательные режимы). Неустойчивые же предельные циклы и сепаратрисы (как мы увидим, не все сепаратрисы) являются разделяющими для области начальных значений на частичные