Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

16.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4921 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

§ в]

ПОВОРОТ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

201

в нуль в тех и только тех точках, в которых

Р(х, ;/)= 0, Q(x, у) = 0,

и выражение

Р(х, y)Q(x, y ) - Q ( x , у)Р(х, У)

не меняет знака на плоскости (аг, у)				(или в	некоторой	данной
области) и не обращается		в нуль	вдоль интегральных			кривых
систем (А) и (А).
Рассмотрим простые примеры.
П р и м е р	1. Пусть дана система
	dx/dt = у, dy/dt = f — А*(1 — d cos cp)y.					(A)^
Рассмотрим ее при некотором фиксированном					значении	f = То
и посмотрим,	как меняется	поле	при	фиксированных X и d и

при изменении т» т- е. рассмотрим угол между векторами, опре деляемыми системой

dx/dt = у,			dy/dt = то — X(1 — d cos <р)у,							(AoJ
и векторами, определенными системой						(А).		у) в этом	случае
Выражение	Р(х, y)Q(x, y)— Q(x,					у)Р(х,		у) в этом	случае
имеет вид				(Т — То)У-
				(Т — То)У-
Таким образом,	в	области,		где у >	0,	при	увеличении		т	поле
поворачивается	на	положительный			угол, а		в	области,	где	у <
< 0,— на отрицательный.				При уменьшении			т	Д° То> очевидно,
имеет место обратное.
П р и м е р 2.	Пусть
х = У = Р{х,У),				У = - x + lix2- y 2 = Q(x, у).
Рассмотрим измененную систему
Выражение	х = у,		у = —х + dy + \|КЕ2 —у2.
Выражение
Р(х,		y)Q(x,		y ) - Q ( x ,	у)Р(х, у) = dy2

не меняет знака на плоскости (х, у), касание траекторий проис ходит вдоль оси х, не являющейся интегральной кривой, и при этом касание нечетного порядка. Траектории измененной систе мы всюду пересекают траектории исходной системы.

Опишем поведение некоторых особых траекторий при пово роте поля.

1.Состояния равновесия остаются на прежних местах (име ют те же координаты).

2.При повороте на положительный (отрицательный) угол се

паратрисы седел (как а-, так и ©-сепаратрисы) поворачиваются неположительный (отрицательный) угол (рис. 111).

2 0 2	ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ		[ГЛ. 1 1
	Если не	совпадающие друг с другом и- и а-сепаратрисы од
ного и того		же седла или различных седел системы (А)	пересе

кают одну и ту же дугу без контакта I, то при повороте на угол одного знака их точки пересечения с дугой I сближаются, а при повороте на угол другого знака — удаляются друг от друга. При этом части одноименных сепаратрис между седлом и точкой пересечения с дугой I до и после поворо

та не могут иметь общих точек.
3.	Сепаратрисы		системы (А), идущие
из седла в седло, при повороте разделяют
ся. (различным образом при повороте на
угол различных знаков). Если сепаратри
са системы (А) образует петлю и					в сед
ле осФ 0, то при повороте				на угол	одно
го знака она разделяется без рождения
предельного цикла,		а	при	повороте на
угол другого знака она разделяется с рож
дением	предельного	цикла		(см. рис. 101,
102).

4.Двойной предельный цикл при повороте на угол одного


знака исчезает, при повороте на				угол	другого	знака — разделя
ется на два предельных		цикла		(устойчивый		и	неустойчивый).
При повороте на угол одного знака грубый предельный цикл
расширяется	(содержит	внутри	цикл		исходной		системы (А)),
при повороте на угол другого			знака — сжимается					(содержится
внутри цикла исходной системы).				(А)	существуют			устойчивый
а) Если у	исходной	системы

и неустойчивый предельные циклы, на которых направление об

хода по t одинаково	(т. е. направление обхода по t		на обоих
циклах является направлением по часовой		стрелке или на		обо
и х — против часовой	стрелки), то если при	повороте	на	поло

жительный (отрицательный) угол устойчивый предельный цикл расширяется, то неустойчивый сжимается, и наоборот.


б) Если у системы (А)					существует два устойчивых					(неустой
чивых)	цикла с		различными направлениями					обхода		по t, то
если при	повороте		один	сжимается,		то	другой		расширяется,
и наоборот.		устойчивого			и неустойчивого		циклов		системы (А)
в) Если у
направление		обхода по t		неодинаково,		то при		повороте		эти цик
лы либо	оба	одновременно			сжимаются, либо оба				одновременно
расширяются.			что у	рассматриваемой			системы при р = ро
Предположим,

существует три грубых предельных цикла, вложенных один

внутрь другого:	L\, L%. Пусть	L\ и L\ — устойчивые, L\ —
неустойчивый. Тогда	при повороте	поля (происходящем, напри

мер, при возрастании р от значения ро) при достаточно малых р циклы L и L3 (близкие к L\ и L§) расширяются, а цикл

§ 7]	МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА. МЕТОД ПОНТРЯГИНА	203
Lj	(близкий к Ll) сужается. Если поворот происходит	на до
статочно большой угол, то при некотором р = pi циклы		и Z/2
(или Ь% и Lg в зависимости от того, в какую сторону повора

чивается поле) могут слиться, образуя двукратный цикл, который затем при р > pi исчезает.

С другой стороны, пусть при р = ро у системы один грубый цикл Ь°. Предположим для определенности, что при возраста нии р цикл II расширяется. Существует такая логическая воз можность: при некотором pi > ро из уплотнения траектории воз никает двукратный цикл, содержащий 1? внутри, который затем

разделяется на два предельных цикла и L%.

§ 7. Метод малого параметра. Метод Понтрягина. Как неод нократно указывалось при качественном исследовании, вопрос об установлении существования (или отсутствия) предельных циклов является одним из наиболее трудных вопросов; для ре шения его отсутствуют регулярные методы.

Поэтому любой метод, который позволяет (хотя бы для си стем специального типа) устанавливать наличие предельных циклов, представляет большую ценность.

В настоящем параграфе мы изложим классические методы нахождения предельных циклов у динамических систем, близ

ких к консервативным.

I. Системы, близкие к линейной консервативной. Рассмотрим систему

	х = - у + \ip(x,y,\i),
	у = х + щ (х , у, р),	ц
которая при р = 0	обращается в линейную консервативную	си-
стему	х = - у ,
	х = - у ,	(А)
	у = х;	(А)
	у = х;
траекториями этой системы являются окружности
	я2 + у2= С.
Функции р(х, у, р)	и q(x, у, р) мы будем предполагать аналити

ческими функциями всех входящих в них переменных и, кроме того, такими, что

р(0, 0, р ) = 0 , <7(0, 0, р )= 0.

(Если бы это условие не было выполнено, то, как нетрудно по казать, можно заменой переменных х и у прийти к случаю, ко^ гда оно выполняется.) Системы вида (Ац) часто встречаются в приложениях. Так, например, если на фазовой плоскости (х, у) (у = —х) рассматривать уравнение

X + X = \lf(x, х),

204

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ

[ГЛ. 1 1

близкое при малых р к уравнению гармонического осциллятора

дН- х = 0,

то мы придем к системе

		й ^ - у ,	у = х - р/(х, - у ) ,
имеющей указанный вид.				совпадает
с	В системе (А)	направление обхода траекторий по t
	положительным направлением обхода. Если это не			так	(как
в	системе х = у,	у — —х),	то в дальнейшем нужно внести		оче

видные изменения.

Положим х = С cosip, у = С sin ф; рассмотрим функцию ф(С):

2Я

ф (С) = J [р (С cos <р, Сsin ф, 0) cos ф + q (С cos ф, С sin ф, 0) sin ф] йф.

После некоторых элементарных преобразований мы получим также 10)

Ф'(0 =

2 Я
= J \рх (С cos ф, С sin ф, 0) + q'y (С cos ф, С sin ф, 0)] йф —	.
о

Тогда имеет место Т е о р е м а 1. Если для некоторого значения С = С* выпол

няются условия

	2Я
чр (С*) =	J [р (С* cos ф, С* sin ф, 0) cos ф +
	о	+ q (С* cos ф, С* sin ф, 0) sin ф] dq> = 0,
ф'(С*) =		+ q (С* cos ф, С* sin ф, 0) sin ф] dq> = 0,
ф'(С*) =
2Я
= \|	[р* {С* cos ф, С*sin ф, 0) +		q'y (С* cos ф, С* sin ф, 0)] dq> =f=0,
о
то существуют числа г >		0 и б >	0 такие, что:
а) для любого р, \|р\|		< 6, система (Ац) имеет в г-окрестно-
сти кривой х2 + у2 — с*		один и	только один предельный цикл,

10) Эти интегралы находятся на основании рассмотрения функции по следования, построенной для системы (Ац) на какой-либо полупрямой с концом в начале координат, например, на полуоси х, Очевидно, при ц = 0 всякая такая полупрямая не имеет контактов с траекториями системы (Ао)

(а значит, любой ее конечный кусок при достаточно малом р, не имеет кон

тактов и с траекториями системы (Ац)), и для системы (Ао) функция по следования, очевидно, будет с = с.

§ 7J

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА. МЕТОД ПОНТРЯГИНА

205

причем при ( 1 0 он стягивается к окружности х2 + у2= с* (яв ляющейся траекторией системы (Ао));

б) этот предельный цикл является грубым предельным цик лом, устойчивым, когда

и неустойчивым, когда	И '(С * ) < 0 ,
и неустойчивым, когда	(i/i\|/(C*)> 0.
	(i/i\|/(C*)> 0.
Так как при р -*■ 0	предельный цикл системы	(А„)	стремится
к кривой х2+ у2 = с*,	то естественно говорить,	что	этот пре

дельный цикл системы (А„) «рождается» из кривой х2+ у2 — С*. Теорема 1 имеет локальный характер в том смысле, что в ней идет речь о возникновении предельного цикла в окрест

ности одной траектории системы (Ао). Следующая теорема, опи рающаяся на предыдущую теорему, имеет уже более общий ха рактер.

Т е о р е м а 2. Пусть А и В — некоторые положительные чис ла А < В.

Если уравнение

+(С) = 0

имеет в точности s решений С = С„ А < Ct < В (i — 1, 2, ..., s), причем каждое из этих решений удовлетворяет условию

Ъ'(С()Ф 0,

то при достаточно малом р система (Ай) имеет в кольце

А< х2+ у2 < В

вточности s предельных циклов. Каждый из этих предельных

циклов стремится при р	0 соответственно к кривой
х2+ у2 = С i = l , 2 , . . ., s.
II. Системы, близкие к нелинейной гамильтоновой системе.
Метод Понтрягина. Рассмотрим систему вида
* =	дН	,	.	.
	—	+	W> (*. 0 .11)’		(Вм)
*	дН			О-

При р = 0 мы получаем гамильтонову систему
х =	—дН/ду, у ==дН/дх,				(В0)

интегралом которой является

Н(х, у ) ~ С.

Мы будем предполагать, что при рассматриваемых нами значе ниях С (С '< С < С " ) кривые Н(х, у) —С являются замкнуты ми кривыми.

206	ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ				(ГЛ. 11
	Пусть х = ф (t, С),	y = ty(t, С)— решение системы (Во),				со
ответствующее некоторой кривой Н(х, у)= С ,				где С — одно		из
рассматриваемых значений. Подставив в р(х, у, 0) и q(x, у, 0)
решение х = <р(t, С),		i/ = i\|)(£, С),	рассмотрим	интеграл	(этот
интеграл, так же как и следующий, находится из рассмотрения
функции последования		в окрестности кривой Н(х, у) = С):
	X
	1 {С) = j [р (ф, Ф, 0) ф — q (Ф, ф, 0) ф] dt п).
	о
Функцию 1{С) будем в дальнейшем			называть	функцией	Пол-
трягина 12)* . Рассмотрим также следующий интеграл:
	т
	h (с ) = J Wv (Ф (t), ч» (*), 0) +		р'х (ф (t), ф (t), 0)] dt.
	о

Рассмотрим производную 1'(С). Можно показать, что Г(С) =
= 1\С. Имеет место следующая теорема 3 (теорему 1 можно рас
сматривать как частный случай теоремы 3).
Т е о р е м а	3. Пусть Ь0— замкнутая траектория гамильтоно
вой системы
		х = — дН/ду,		у = дН/дх,				(Во)
уравнение которой —			Н(х, у) = С0;
			Н(х, у) = С0;
		я = фо(t),		y = tyo(t)
— соответствующее		ей	решение,	то— период		функций		фо(t)
и фо(£).
Пусть
x = — -Qj- + w(x,y>v)>				у = -д£- + м		(*>	2/. и-)	(B
— система, близкая		к	гамильтоновой		( р — малый		параметр).
Тогда, если выполняются условия
1 (С 0) =	%		°) У —Ч (Фо- -Фо»°)			°.
1 (С 0) =	j[р (ф0>		°) У —Ч (Фо- -Фо»°)		ф] dt =	°.
	0	Т
		Т
Г (С) = /, (С0) = J [р'х (ф0, -ф0, 0) + qv (Фо, -фо, 0)] dt ф 0,
		о
то существуют числа е >			0 и 6 > 0 такие, что:

И) Заметим, что в случае нелинейной консервативной системы период т,

вообще говоря, зависит от С.

12) В случае линейной системы 1(C) = Сф(С).

§ V)	МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА. МЕТОД ПОНТРЯГИНА	207
а)	для любого р, I jxl < 6, система (В„) имеет в г-окрестно-

сти кривой Lo предельный цикл L„, причем L„ стягивается к L0

при (j, — 0;

б) этот предельный цикл является грубым и притом устой

чивым, если L p <	0, и неустойчивым, если ZijJ- > 0.
З а м е ч а н и е .	Интеграл 1(C) может быть, очевидно, записан
как криволинейный		интеграл	по	кривой Н(х, у) = С. Поэтому
в том случае, когда системы			(Во)	и (Вц) определены во всей
области внутри	кривой Lo, интеграл				/ (С)	может быть также
представлен в виде
I =	J J [р'х (х, у, 0) +			q'y (х, у, 0)] dx dy,
	Go
где Go — область, заключенная внутри кривой Lo.
Отметим, что	при	использовании			метода	малого параметра

мы можем установить только существование таких значений р., при которых рассматриваемая система имеет предельный цикл. Однако при этом не дается никаких оценок на значения р, при которых это имеет место.

Г Л А В А 12

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

СЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

§1. Цилиндрическая фазовая поверхность и характер траек торий, возможных на цилиндрической фазовой поверхности. Ото

бражая поведение реальной динамической системы в фазовом пространстве, естественно требовать взаимно однозначного со ответствия между состояниями системы и точками фазового про странства.

Существуют такие реальные системы, для которых плоскость не может служить фазовым пространством. Примером такой си стемы может служить обычный физический маятник, движение которого описывается уравнением

/ ф + Ьф + mgl sin ф = 0 .

( 1 )

Состояние маятника определяется углом его отклонения от по

ложения равновесия ф и скоростью ф. При изменении отклоне ния на 2л, мы получаем совершенно такое же положение маят ника (физически ничем не отличимое от исходного).

Поэтому, если мы перейдем от уравнения (1) к системе

d(f/dt = у, dy/dt = mgl sin ф,

(2)

то на фазовой плоскости (ф, у), мы получим бесконечное множе ство точек, соответствующих одному и тому же физическому состоянию — это точки, у которых значения ф отличаются на 2л. Поэтому естественно эти точки отождествлять и рассматривать систему (2) на фазовом круговом цилиндре, отождествляя, на пример, прямые ф = 0 и ф = 2л. При этом, очевидно, движения маятника, при которых он делает проворот вокруг оси, будут отображаться траекториями, обходящими цилиндр.

Аналогичная картина имеет место для всех механических (или электромеханических) систем, положение которых опре деляется у гл о м . Так как такие системы встречаются довольно часто, то использование цилиндрической фазовой поверхности представляет большой интерес.

Итак, в настоящей главе рассматриваются системы вида

dcp/dt = P (ф, у), dy/dt = Q((f, у),

( 3 )'

8 2]	ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ, ОХВАТЫВАЮЩИЕ ЦИЛИНДР		209
правые	части которых — периодические функции	ср с	периодом
2л и непериодические функции у *). На плоскости		(ср, у)	картина

траекторий будет полностью повторяться через 2я, и, как уже оказано, мы будем рассматривать траектории этой системы на круговом цилиндре, который мы получим из полосы плоскости между прямыми ср = сро и ср = ф0 + 2я, отождествляя точки этих

прямых	с одним и тем же значением у	(или на	полосе
0 < с р <	2я).
Бесконечный цилиндр можно взаимно однозначно и взаимно
непрерывно (т. е. топологически) отобразить		на плоское	круго

вое кольцо без границ (и на этом кольце координаты ср и у мож но рассматривать как полярные координаты). Поэтому любое разбиение на траектории, заданное на цилиндре, может быть отображено на плоское кольцо (и может рассматриваться как заданное динамической системой, определенной на этом плоском кольце). А отсюда, очевидно, следует, что на цилиндре возможны те и только те типы траекторий, которые возможны на плоскости.

Однако, очевидно, мы будем различать замкнутые траекто рии, охватывающие цилиндр (которым на плоскости соответ ствуют замкнутые траектории, охватывающие границу кольца) и не охватывающие цилиндр*2). Точно так же при рассмотрении замкнутых контуров, составленных из траекторий (например, из сепаратрис седел), возможен случай, когда этот контур охваты вает цилиндр, и когда он не охватывает цилиндр.

Для замкнутых траекторий, не охватывающих цилиндр, оче видно справедливы все рассмотрения, проведенные в гл. 5.

При рассмотрении замкнутых траекторий, охватывающих ци линдр, возникают некоторые отличия, поэтому мы остановимся на этом случае особо.

§ 2. Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр. Пусть Lo — такая траектория, и пусть Ф = х(0> У = Ф(£) — решение системы (3), ей соответствующее. В этом решении обе функции уже не являются периодическими, как для случая замкнутой траектории на плоскости, а значит, и для замкнутой траекто рии, не охватывающей цилиндр, а, очевидно, удовлетворяют сле дующему условию: при некотором т > 0 3)

ep=X(f + T) = x ( f ) + 2 n ,

l/=^ (f + T) = ^(f).

') В случае, когда правые части — периодические функции обоих аргу ментов, систему естественно рассматривать уже не на цилиндре, а на то ре, и при этом возможный характер траекторий существенно усложняется.

2)Этим двум типам замкнутых траекторий в конкретных системах со ответствуют различные типы движений.

3)Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр, очевидно, возмож ны и при отсутствии состояний равновесия у системы (3).

14 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

210

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА ЦИЛИНДРЕ

[ГЛ. 12

Если во всех точках замкнутой кривой, охватывающей ци

линдр,

dy/dt = Р[ф, у)¥= 0,

то уравнение такой кривой после исключения t из уравнений (4) будет иметь вид

У = /(ф).

где /(ф )— периодическая функция ф с периодом 2л, т. е.

/ ( ф ) = / ( ф + 2л).

Так как в минимуме и максимуме функции у = ф(£)

Ф= Q ( ф , Ф)= о,

то отсюда, очевидно, следует, что если ординаты изоклины

Q(Ф» У)= о
ограничены, т и М — соответственно наименьшая и	наиболь
шая ординаты этой кривой, то, если система (3) имеет	замкну

тую траекторию, охватывающую цилиндр, эта траектория может лежать на цилиндре только в полосе

т < у < М.

Для изучения окрестности замкнутой кривой L o , охватываю щей цилиндр, так же как и в случае замкнутой кривой на пло скости, построим функцию последования на каком-нибудь от резке без контакта, проведенном через точку L o . В качестве от резка без контакта всегда можно взять отрезок некоторой прямой

ф = ф о	(ф о — постоянная),	содержащий	точку — обозначим	ее
через Мо — замкнутой траектории L o .			функция соответствия)
Так	как функция последования (и
всегда	строится (см. гл. 5)	в направлении возрастания t, то		не

трудно видеть, развернув цилиндр на плоскость (ф, у), что функция последования на отрезке I прямой ф = фо строится либо

как функция соответствия между отрезком				ф = ф0 и	конгруэнт
ным ему отрезком прямой ф = фо + 2л, либо как функция соот
ветствия между отрезком I и конгруэнтным ему отрезком прямой
Ф = фо —2я.
Пусть s — параметр на отрезке I и
S =	CClS +	0&2s 2 +	ссз$3 + . . .
— функция последования на		нем	(т. е. на	плоскости (ф, у) —
функция соответствия	между указанными			выше	отрезками).

Очевидно, так же как и в гл. 5, грубый предельный цикл — это

замкнутая	траектория, для которой	ai ¥= 1. Предельный цикл,
охватывающий цилиндр, устойчив,		если ai < 1 , и неустойчив,
если ai >	0.

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4921 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги