книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

при s < «о

t ( « ) > 0 , т. е. f(s )> s,

а при s > «о

t|:(s)< 0 , т. е. f(s )< s.

Следовательно, всякая последующая точка на отрезке I бли­ же к точке Q (в которой замкнутая полутраекторпя Lo пере­ секает отрезок I), чем предыдущая. Так как по самому построе­ нию функции последования последующая точка соответствует значению t большему, чем предыдущая, то, принимая во вни­

к предельному циклу Lo. Предельный цикл Lo является у с т о й ­ ч и в ы м ( н е ч е т н о - к р а т н ы м ) п р е д е л ь н ы м ц и к л о м (рис. 64, а) .

Если ф*($о)>0, то совершенно так же можно показать, что всякая траектория, пересекающая отрезок I достаточно близко

к точке Q, при t -*■ —°° стремится к предельному циклу Lo. Пре­

стремятся к Lo при f-> +°°, а все траектории, проходящие через

называют полуустойчивым (четно-кратным), сохраняя термин «неустойчивый» лишь для цикла, к которому все достаточно близкие траектории стремятся при t -*■

3.Производные всех порядков от функции I|J(S) при s = so

центра).

На рис. 61 и 62 даны диаграммы Ламерея для случая не­ четно-кратного предельного цикла (см. рис. 62) и четно-кратного предельного цикла (см. рис. 61).

Рассмотрение функции последования, в частности условий кратности замкнутой траектории, было проведено при опре­

вания является аналитической функцией, очевидно вытекает, что у системы с аналитическими правыми частями:

1 ) не может существовать бесчисленное множество предель­

ленный на рис. 6 6 .

Указанные свойства могут быть сформулированы в виде следующего предложения.

торой — аналитические функции, су­ ществует замкнутая траектория, то она либо является изолированной, либо все траектории в ее ок­

рестности замкнуты.

Которое дает уравнение траектории в координатах и, v (урав­ нение замкнутой траектории LQ есть гг = 0). Выражение коэф­ фициентов А{(и) через функции Р(х, у) и Q(x, у) может быть найдено. В частности,

А (и) = Р'х (ф (гг), ф (гг)) + Q'y (ф (гг), ф (гг)) —

— [in (ф'“ (**) + ^ (“))]• (4)

Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным усло­ виям (0 , Vo)

v = f(u ; 0 , VQ),

является аналитической функцией vo и может быть разложено в ряд по степеням w

v = f (гг; 0 , v0) = аг(гг) v0 + а2 (и) v%+ . . .

Подставляя (ср. § 5 гл. 3) это выражение в уравнение (3), получаем тождественное равенство

+ A 2(u)(a1(u)v0 + a2(u)v%+ ... )* + . . .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях vo, получаем рекуррентные уравнения для определения at(u):

Функцией последования на отрезке гг = 0, очевидно, является функция

v = /(т; 0 , vo),

где т — период на замкнутой траектории. Возвращаясь к обо­ значениям § 4, мы можем написать

S = / ( T ; 0 , s) = f(s),

причем s = 0 соответствует замкнутой траектории L Q.

Далее,

а, = гг{(т) = /‘(0 )/г!.

тории Ьо.

Очевидно, <Х1 = е*т, и, следовательно, предельный цикл устой­ чивый, если h < 0, и неустойчивый, если h > 0. При этом cti = 1

Г Л А В А 6

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

§ 1. Некоторые признаки существования и отсутствия пре* дельных циклов. В настоящей главе мы приводим некоторые классические приемы качественного исследования системы

не всегда является элементарной задачей, как мы увидим на ряде примеров), то далее для полного качественного исследова­ ния н е о б х о д и м о у с т а н о в и т ь н а л и ч и е ' и л и о т с у т ­ с т в и е п р е д е л ь н ы х ц и к л о в и р а с п о л о ж е н и е с е п а ­ р а т р и с . Как уже отмечалось, эта задача принципиально более сложная, чем установление характера состояний равновесия.

Мы приведем в настоящей главе приемы, позволяющие в не­ которых частных случаях давать ответ на вопрос о существова­ нии или отсутствии замкнутых траекторий (предельных циклов).

Напомним, что гладким циклом однократного пересечения на­ зывается простая гладкая замкнутая кривая С, обладающая следующими свойствами (см. § 2 гл. 2 ):

числа, траектории не имеют с ней касания и либо все входят внутрь области, ограниченной кривой С, либо все выходят из этой области.

Приведем простейшие признаки существования предельных циклов, основанные на рассмотрении циклов однократного пере­

ласти G имеется лишь конечное число замкнутых траекторий системы, тогда число расположенных в G устойчивых предель­ ных циклов системы на единицу больше числа неустойчивых. {Следовательно, сугцествует по крайней мере один устойчивый предельный цикл.)

двумя циклами без контакта (циклами однократного пересече­ ния) С\ и С2, не содержащая состояний равновесия и имеющая

ных в G, на единицу больше (меньше) числа неустойчивых пре­ дельных циклов.

§ 2. Изучение поведения интегральных кривых в бесконеч­ ности. Сфера Пуанкаре. Во многих случаях черезвычайно полез­ ными для исследования вопроса о наличии замкнутых траекто­ рий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, т. е., так сказать, исследование «бесконечно удаленных» частей плоскости. В случае, когда правые части ди­ намической системы — многочлены, для этого используется ото­ бражение фазовой плоскости на так называемую «сферу Пуан­ каре», т. е. на сферу радиуса единица, касающуюся плоскости (х, у) в начале координат. Каждой точке (х , у) плоскости ста­ вятся в соответствие две точки сферы, лежащие на прямой,

проходящей через центр сферы и эту точку плоскости. На эква­ тор (большой круг, параллельный плоскости (х, у)) отобража­ ются бесконечно удаленные точки плоскости (рис. 69).

Интегральные кривые плоскости перейдут при этом в соот­ ветственные кривые сферы, причем седла, узлы и фокусы со­ храняют тот же вид.

Однако на сфере появятся новые особые точки, лежащие на экваторе. Часто это будут особые точки высших порядков. Орто­ гональная проекция нижнего полушария на плоскость, касатель­ ную к сфере, дает удобное окончательное отображение всей пло­ скости (х, у) на внутренность круга.

точки, лежащие на экваторе сферы Пуанкаре, за исключением тех точек, которые соответствуют «концам» оси у. Можно по­ строить плоскость, на которой z и и будут служить прямоуголь­ ными декартовыми координатами: это будет касательная пло­ скость к сфере, перпендикулярная плоскости (я, у). Ось и будет прямой, лежащей в плоскости экватора (параллельно оси у). Можно провести две такие плоскости. Направления осей z и и будут зависеть от расположения касательной плоскости (рис. 70)'.

упростить, если положить z *2 = v. Мы получаем уравнение

Это точка рассмотренного в § 2 гл. 4 вида. Очевидно, мы имеем 1)

уравнения (6 ), необходимо провести небольшое дополнительное

сепаратрис. Но тогда две другие полусепаратрисы, очевидно, не­