книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

Ч А С Т Ь I

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Г Л А В А 1

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ НА ПЛОСКОСТИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

§ 1. Автономная динамическая система на плоскости. Как из­ вестно, многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, т. е. уравнения

Если положить х = у и, следовательно, х = у, то уравнение (I)] очевидно приведется к системе двух дифференциальных уравне­ ний вида

Рассмотрение такой системы в ряде аспектов удобнее, чем непо­ средственное рассмотрение уравнения (I). Во многих задачах при написании уравнений движения удобно вводить обобщенные координаты и импульсы, и тогда, пользуясь уравнениями Лагран­ жа, мы можем получить систему двух дифференциальных урав­ нений более общего вида, т. е. какую-либо систему вида

В настоящей книге рассматривается тот частный случай си­ стемы (III), когда независимое переменное t в правые части си­

Такая система в случае, когда функции Р(х, у), Q(x, у) опреде­ лены на всей плоскости (х, у) (х, у — декартовы координаты)’ или в некоторой области G плоскости (ограниченной или неогра­ ниченной)1), удовлетворяет условиям теоремы существования и

‘) Напомним, что в области G в пространстве любого числа измере­ ний все точки внутренние. Если к области присоединяется граница, напри­ мер к внутренности круга — граничная окружность, то говорят, что рас­

сматривается замкнутая область G. В замкнутой области граничные точки имеют другие свойства (не все сколь угодно близкие к ним точки при­

надлежат G).

12 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 1

единственности решения (см. § 2) и называется автономной ди­

вые части ее не содержат явно t, в силу чего как область прост­ ранства (х, у, t) , в которой должны рассматриваться ее правые части, так и решения этой системы обладают некоторыми частны­ ми свойствами.

Пусть G — область плоскости (х, у) (в частности, могущая совпадать со всей плоскостью (х, у)), в которой определены функ­ ции Р(х, у) и Q(x, у). Тогда правые части системы (А), рассмат­ риваемые как функции х, у, t, определены в области R простран­

области G плоскости (х, у). Область R является, следовательно, бесконечной цилиндрической областью, образованной прямыми, параллельными оси t, пересекающими плоскость в точках области G 4) .

§ 2. Теорема существования и единственности решения. Так

R очевидно обеспечены условия, при которых справедлива теоре­ ма существования и единственности решения системы (А)5).

2) Динамическая система второго порядка может быть определена не только на плоскости, но и на двумерных поверхностях. Однако в настоя­ щей книге рассматриваются только динамические системы на плоскости

ина «цилиндре» (см. гл. 12).

3)Для приложений в основном представляют интерес либо динамиче­

ские системы с аналитическими правыми частями, либо динамические си­ стемы, имеющие кусочно-аналитические правые части (такими кусочно-ана­ литическими системами являются системы с сухим трением, системы авто­ матического регулирования, а также всевозможные устройства с z-харак- терпстикой). Кусочно-аналитические («кусочно-склеенные», «кусочно-сши­ тые») системы рассматриваются в части IV настоящей книги.

4) В случае, когда t входит явно в правые части системы двух диффе­ ренциальных уравнений (III), область, в которой они определены, очевидно, может быть любой.

5) Для справедливости теоремы существования и единственности ре­ шения, очевидно, нужны гораздо более слабые предположения, чем сде­ ланное нами предположение об аналитичности правых частей. Более под­ робную формулировку теоремы о существовании и единственности реше­ ния как для случая системы (А), так для случая общей системы (III) и ее доказательство см., например, [115, 134].

всюду в дальнейшем, подразумевать решение, продолженное на м а к с и м а л ь н о в о з м о ж н ы й и н т е р в а л з н а ч е н и й f (т. е. решение, продолженное до границы области определения правых частей системы дифференциальных уравнений)6).

Т е о р е м а 1 (о с у щ е с т в о в а н и и и е д и н с т в е н н о с т и

некотором определенном интервале (т, Т), содержащем to. В част­

решение на этом интервале продолжено до границ области опре­ деления правых частей системы, нетрудно убедиться, принимая во внимание специфический характер («цилиндричность») обла­

§ 3. Простейшие свойства решений системы (А). Сформули­ руем ряд свойств, которыми решение системы (А) обладает в си­ лу того, что в правые части системы независимое переменное t явно не входит.

6)В случае, когда рассматривается решение, определенное не на мак­

где с — любая постоянная, тоже есть решение системы (А). При этом, если первое решение определено на интервале (т, Т), то второе решение определено на интервале (т — с, Т — с).

II. Решения

значениями хо н г/о и различными начальными значениями пере­ менного to. Обратно, два решения, у которых начальные значения переменных хо и уо одинаковы, а начальные значения to различ­ ны, могут быть получены одно из другого заменой t на t + с при надлежащем выборе постоянной с. Это является очевидным след­ ствием свойства I и единственности решения, удовлетворяющего

Если хо, уо (а также /о) рассматриваются как произвольные па­ раметры, то функции (1) называются общим решением системы

= £ и х(£о) = 1, т. е. нигде не обращается в нуль.

8)Этого очевидно заведомо может не быть (и, как правило, не бывает)

вслучае, когда система (II) неавтономна (правые части содержат t явно).

9)При более общих, чем в тексте, предположениях относительно пра­ вых частей системы (А), например, при предположении, что правые части

§ 4. Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой плоскости (х, у). Основная геометрическая интерпретация систе­ мы (А) связана не с рассмотрением пространства (t, х, у), ас рас­ смотрением плоскости (х,у), которая называется фазовой плос­ костью.

В каждой точке области G плоскости (х, у) (область G может совпадать со всей плоскостью), в которой определены правые ча­ сти системы (А), рассмотрим вектор v с компонентами

Р(*, J/h <?(*> У)-

Автономная динамическая система (А) определяет в области G векторное поле. Поэтому система (А) называется также динами­ ческой системой на плоскости.

В точках, в которых одновременно

длина вектора обращается в нуль, а направление вектора стано­ вится неопределенным *10). Такие точки называются особыми точ­ ками векторного поля или особыми точками системы (А).

—какое-нибудь решение системы (А). Множество точек

Л/(ф(0, ф(*))»

где t принимает все значения, при которых определено решение (3), называется траекторией, соответствующей данному решению, или траекторией векторного поля, заданного динамической систе­ мой (А), а также фазовой траекторией (или просто траекторией данной динамической системы).

Уравнения (3) очевидно являются параметрическими уравне­ ниями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, называется решением, соответствующим данной траектории.

имеют непрерывные производные до порядка п (и не являются аналитиче­ скими функциями х, у), функции (1) имеют непрерывные производные по х 0 и t/о до порядка п и неирерывные производные по ( и t0 до порядка п -f- 1.

,®) Синус и косинус угла а, который образует направление вектора с осью х, даются выражениями

ми функциями t, а соответствующая траектория — простой глад­ кой замкнутой кривой.

(В силу этого предложения никакая траектория не может «самопересекаться».)

Л е м м а 2. а) Всяким двум решениям, отличающимся только выбором начального значения to, соответствует одна и та же тра­ ектория. б) Всякие два различных решения, соответствующие одной и той же траектории, отличаются друг от друга только вы­ бором начального значения to-

З а м е ч а н и е . Все решения, соответствующие данной замкну­ той траектории, являются периодическими решениями с одним и тем же периодом.

На основании лемм 1 и 2 без труда устанавливается

Т е о р е м а 4. Через каждую точку области G (или плоско­ сти) проходит одна и только одна траектория.

18 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 1

Из теоремы существования и единственности решения выте­ кает, что точка M(q>(t), гр(i)), при изменении t двигающаяся по некоторой траектории L, не может стремиться к точке какой-ли­ бо отличной от L траектории при t, стремящемся к конеч­ ному значению (в противном случае интегральные кривые в про­ странстве (х , у, t) пересекались бы, что невозможно в силу теоремы 1).

В частности, точка, двигаясь по траектории, отличной от со­ стояния равновесия (отличной от замкнутой траектории), может неограниченно приближаться к состоянию равновесия (замкну­ той траектории) либо при t -*■+<», либо при t-*- —°°.

Состояния равновесия и замкнутые траектории являются тра­ екториями, представляющими наибольший интерес для приложе­

динамической системой, а замкнутые траектории соответствуют периодическим движениям — к о л е б а н и я м , а в т о к о л е б а ­ ниям.

§ 6. Некоторые термины. Если решение, соответствующее дан­ ной траектории L, определено для всех значений t, —«>< t <+°°, то траекторию L иногда называют целой траекторией.

Если Мо — точка траектории L, которая при выбранном на L движении соответствует значению t = to, то множество точек L, соответствующих значениям t ^ to (или же t ^ to), называется

положительной полутраекторией (соответственно отрицательной полутраекторией) , выделенной из L, и обозначается соответствен­ но через L + (или L~).

Когда траектория L является состоянием равновесия или замкнутой траекторией, всякая положительная и всякая отрица­ тельная полутраектории, выделенные из нее, очевидно, совпадают с ней самой. Полутраектория, выделенная из незамкнутой траек­ тории, называется незамкнутой полутраекторией, траектория, вы­ деленная из замкнутой траектории (в силу сказанного выше сов­ падающая с ней),— замкнутой. Параметр t часто называется

временем, а решение системы (А) — движением, соответствующим траектории, или движением по траектории (кинематическая ин­ терпретация динамической системы)12). Точка i!f(<p(f), ф ( 0 ) на­ зывается изображающей точкой.

Используется следующая терминология: «изображающая точ­ ка при t = to проходит через данную точку Мо траектории L», или «траектория L при t = to проходит через точку Мо», а также

12) В динамических системах, возникающих из приложений, t часто имеет смысл времени. Однако при этом следует подчеркнуть, что «траекто­ рии», о которых речь идет в тексте, являются «фазовыми траекториями» (траекториями на фазовой плоскости), а не траекториями движения.

ленне в сторону возрастания t) 14) . Введенное таким образом на­ правление не зависит от того, какое из решений, соответствую­ щих траектории L, мы возьмем (так как все такие решения полу­ чаются одно из другого заменой £ на t + с) .

Рассмотрим наряду с системой (А) систему

Векторное поле системы (А') получается из векторного поля си­ стемы (А), если изменить направление каждого вектора на про­ тивоположное (не меняя длин векторов). Непосредственной про­ веркой устанавливается, что каждому решению

ют о д и н а к о в ы е т р а е к т о р и и , но индуцируют на траекто­ риях противоположные направления. Таким образом, переход от системы (А) к системе (А') можно рассматривать как изменение параметризации на траекториях, именно как замену параметра t параметром —t.

Рассмотрим более общий случай изменения параметризации. Пусть f(x, у )— аналитическая функция, определенная в той же области плоскости, что и функции Р(х, у) и Q (х, у), и пусть функция f(x, у) отлична от нуля во всех точках, отличных от со­ стояния равновесия системы (А) (и имеет один и тот же знак). Рассмотрим наряду с системой (А) систему

dx/ds = Р*(х, у) = Р(х, y)f(x, у),

(A*)

dy/ds = Q*(x, y) =Q (x , y)f(x, у).

Можно показать, что системы (А) и (А*) имеют одни и те же траектории, но с различными параметризациями на них. Именно, можно показать, что между параметрами t и s существует сле­

дующая зависимость:

t

Очевидно, что при переходе от системы (А) к (А*) направления на траекториях остаются неизменными, если f(x, у ) > 0, и меня­ ются, если f(x, у ) < 0.

м) Пользуясь кинематической интерпретацией, т. е. считая t временем, можно сказать, что положительное направление на траектории L есть то на­ правление, в котором точка Af(q>(t), i|>(()) (х = ф(Х), у = x|j(i)— решение, соответствующее траектории L) движется по траектории с возрастанием (.