книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

Предположим теперь, что функция f(x, у) может обращаться

внуль в точках, отличных от состояний равновесия системы (А),

атакже может менять знак в области G. Рассмотрим снова си­ стему (А*). Очевидно, что состояниями равновесия системы (А*) являются все состояния равновесия системы (А), а также все точки области G, которые не являются состояниями равновесия системы (А), но в которых f(x, у ) = 0.

Кривая

f(x, у ) = 0

будет о с о б о й л и н и е й системы (А*) (каждая точка этой кри­ вой является состоянием равновесия системы (А*)).

Рассмотрим теперь траекторию L системы (А), отличную от

видеть, на конечное или счетное число гладких кривых, являю­ щихся траекториями системы (А*) (рис. 4). Направление на

каждой такой траектории совпадает с направлением на L, если

ся траекторией системы (А*), либо состоит из конечного или бес­ конечного множества траекторий системы (А*).

В приложениях часто встречаются динамические системы вида

(А**) не определены. Однако при указанном виде правых частей можно путем замены параметра t привести рассмотрение систе­ мы (А**) к рассмотрению системы вида (А).

Действительно, полагая при х и у, не обращающих в нуль

Эту же систему мы будем рассматривать и при х и у, обращаю­ щих в нуль функцию f(x, у) (что соответствует доопределению по непрерывности), так нто система (А) будет определена во всей области G. Очевидно, во всякой части области G, в которой f(x, у) не обращается в нуль, траектории систем (А**) и (А) совпадают как точечные множества, однако параметры на них различны. При этом там, где f{x, у ) > 0, направление по т сов­ падает с направлением по t, а там, где f(x, у ) < 0,— противопо­ ложно ему. Точки с координатами х и у, обращающими в нуль функцию f(x, у), в которых правые части системы (А**) не оп­ ределены, естественно выделять и считать не принадлежащими траекториям системы (А) (к таким точкам, как нетрудно убе­ диться на простых примерах, точка может стремиться по траекто­ рии при t, стремящемся к конечному значению).

§ 9. Дифференциальное уравнение, соответствующее динами­ ческой системе. Если разделить одно из уравнений (А) на другое, то мы получим либо дифференциальное уравнение

в силу теоремы о существовании и единственности решения су­ ществует единственное решение дифференциального уравнения

траектории L, проходящей через точку М0(х0, у0) (в окрестности этой точки). Оно, очевидно, может быть получено из решения системы (A): x = q>(t), y = ty{t), соответствующего траекторииL, исключением t (в окрестности точки М0).

Если М(хо, уо) — точка, в которой Р(х 0, уо)= 0, но Q(x0, уо)^ =И=0, то можно использовать уравнение (Аг). Точки, в которых

дятся в параметрической форме, из дифференциальных уравне­ ний (Ai) и ( А2) о н и находятся в декартовых координатах. Вме­

Уравнения (Aj) и (А2) определяют угловой коэффициент ка­ сательной к траектории, который в каждой точке может быть на­ мечен с помощью ненаправленного отрезка (в то время как си­ стема (А) в каждой точке определяет вектор). Так, уравнение (Аз) или пара уравнений (At) и (А2) задают поле «линейных элементов».

Кривые

<?(*, У) + С\Р{*, У) = 0, Р(х, y) + c2Q(x, у) = О

(ci и с2 — постоянные), во всех точках которых направление ка­ сательных к траекториям одинаково, называются изоклинами (линиями равного наклона) системы (А) (или уравнения (Аз)). В частности, при С\ = 0 мы получаем кривую Q(x, у)*= 0 — изо­ клину горизонтальных наклонов, а при с2 = 0 —кривую Р(х,у) = = 0 — изоклину вертикальных наклонов.§

§ 10. Понятие интегральной кривой и интеграла в случае ана­

ренциальных уравнений (в частности, уравнений (Ai) и (А2)) удовлетворяют условиям теоремы существования и единст­ венности.

В классической литературе при рассмотрении системы диффе­ ренциальных уравнений, правые части Р(х, у) и Q(x, у) кото­ рых — аналитические функции, в термины «решение» и «интег­ ральная кривая» вкладывается несколько иное содержание.

Именно, в этом случае решением уравнения (Ai) (или уравне­

натами особой точки. Далее, если F(x, у ) — функция, аналитиче­ ская во всех неособых точках уравнения (могущая, в частности, оставаться аналитической также и в особых точках) и такая, что

F'x + Fy фО, но имеет место тождественное равенство

общее решение системы (А), где х0, у0 достаточно близки к данным фикси­

Р (х*, у*) Ф 0. Мы рассмотрим все траектории в достаточно малой окрест­

ности точки М*, если зафиксируем х0, положив его равным хд, и будем менять уо (тот факт, что Рд (х*, у*) Ф 0, означает, что вблизи М д прямая

хо = хо не имеет контактов с траекториями), и тогда сделанное утвержде­

ляется локальным общим аналитическим интегралом. Нетрудно показать, что F'* + Fy ф 0.

§ ii] ЧТО ЗНАЧИТ «НАЙТИ РЕШЕНИЕ»? 25

Тогда соотношение (6) называется частным интегралом уравне­

§ 11. Что значит «найти решение динамической системы»? Если математической моделью реальной физической системы яв­ ляется динамическая система вида (А), то представляется воз­ можным с помощью этой системы проследить изменение состоя­ ний рассматриваемой реальной системы при изменении времени t. Именно, в силу теоремы 1 задание начальных значений XQ, уо, to однозначно определяет решение для всех значений t (т. е. одно­ значно определяет «прошлое» и «будущее»). Говорят, что для этого нужно только «найти решение» или проинтегрировать си­ стему (А). Однако слова «найти решение», «проинтегрировать динамическую систему» без дополнительного уточнения не имеют смысла. Действительно, если под интегрированием системы (А) понимать нахождение аналитического выражения для решений, то естественным образом встает вопрос: каков характер аналити­ ческого выражения и каковы вообще те требования, которые можно предъявить к такому аналитическому выражению?

Известно, что выразить решение системы (А) через элемен­ тарные функции или через интегралы от элементарных функций (решить систему (А) «в квадратурах») возможно лишь в случае частных типов этой системы.

Аналитический вид решения очень хорошо известен в случае линейных систем (А). Однако далеко не всякая физическая си­ стема может быть хотя бы приближенно описана линейной систе­ мой. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выраже­ ния могут быть столь сложными, что непосредственный их ана­ лиз практически невозможен. Можно ставить задачу нахождения решения не в элементарных функциях и «в квадратурах», а в ви­ де рядов, равномерно и абсолютно сходящихся. Однако в некото­ рых случаях эти ряды сходятся столь медленно, что ими практи­ чески невозможно пользоваться. К вопросу нахождения решения можно также подойти совсем иначе: именно, можно отказаться

§ 12] ПРИМЕРЫ 27

Состояний равновесия, очевидно, нет: все траектории (совпадаю­ щие с интегральными кривыми) являются целыми траекториями.

Состояний равновесия нет, траектории не являются целыми тра­ екториями ввиду того, что точки на этих траекториях уходят в бесконечность при t, стремящемся к конечному значению. Именно,

весия 0(0, 0). Решая систему (8) как линейную с постоянными коэффициентами, легко видеть, что решение, соответствующее на­

28 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. I

Мы получаем

на траекториях, достаточно наметить направление в какой-либо одной точ­ ке. Тогда во всех других точках направление определяется из соображений непрерывности. Определить же направление в какой-либо точке (х0, у0), в которой Р(хо, г/о) Ф 0, можно, вычисляя в этой точке Р(хо, уо) и опреде­ ляя в зтой точке знак Р(х0, у»); если Р(хо, уо) > 0 , то в точке (х0, г/0) dxldt > 0, а значит: вблизи этой точки при движении по траектории в сто­ рону возрастания t —х возрастает, что и определяет направления на траек­ тории, проходящей через точку (х0, уо). Совершенно аналогично можно на­ метить направления на траекториях, рассматривая знак Q(x0, уо) в точке, в которой Q(x0, уо) Ф 0.

вид, указанный на рис. 7. Состояние равновесия такого типа на­ зывается узлом, устойчивым в случае а < О, Ь < О (рис. 7, а) и неустойчивым в случае а > О, Ъ> О (рис. 7, б).

Рассмотрим еще интерпретацию решений системы (8), т. е. интегральные кривые системы (8) в трехмерном пространстве

(х, у, t) . Из формул (9) следует, что интегральными кривыми системы (8) в пространстве (х, у, t) являются:

1) ось t, т. е. х = 0, у = 0 (эти уравнения получаются из уравнений (9) при хо = уо = 0); она проектируется в состояние равновесия О фазовой плоскости;

2) показательные кривые

расположенные в координатных полуплоскостях х > 0, у = 0 или х < 0, у = 0 и асимптотически стремящиеся к оси t при £-*■+<», если а < 0, и при t если а > 0; эти кривые проектируются в положительную и отрицательную полуоси абсцисс, являющиеся траекториями системы;

зующими, параллельными оси t. Ось t разбивает каждый такой цилиндр на две «половины»; каждая интегральная кривая типа 4) лежит целиком в одной половине цилиндра и асимптотически

друг из друга сдвигом вдоль оси t. То же справедливо для интег­ ральных кривых типа 2) или 3).

изображено на рис. 8. Решая систему (12) как линейную систе­ му с постоянными коэффициентами, мы получим решение, соот-

Рис. 8

ветствующее начальным значениям хо, уо, to в следующем виде (оно, очевидно, является функцией t — to в согласии с п. III § 3):

Характер траекторий рассматриваемой системы удобнее иссле­ довать, переходя к полярным координатам. Мы получим после элементарных вычислений

Решение этой системы

является, очевидно, уравнением в полярных координатах траекто­ рии системы (12), проходящей при х = хо через такую начали-