книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

62 ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ОТДЕЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ [ГЛ. 2

состоянию равновесия особая траектория (которая может и не быть сепаратрисой данного состояния равновесия)20).

Т е о р е м а 18. Всякая достаточно малая окрестность состоя­ ния равновесия О системы (А), не являющаяся центром или то­ пологическим узлом, состоит из конечного числа эллиптических (замкнутых узловых), параболических (узловых) и гиперболи­ ческих (седловых) областей (в частных случаях области некото­ рых типов могут отсутствовать), примыкающих последовательно

одна к другой, а также из то­

ного состояния равновесия раз­ деляются на одно и то же чис­ ло эллиптических, параболиче­

ленной в ограниченной области плоскости, имеется конечное число особых траекторий, вся­ кое состояние равновесия этой системы имеет определенную топологическую структуру.

Вернемся к определению качественной структуры динамиче­ ской системы в целом. Как уже было указано, для этого необхо­ димо иметь следующие сведения:

1)характер (топологическую структуру) состояний равнове­ сия динамической системы — это даст, в частности, сведения о числе сепаратрис и их расположении вокруг каждого отдельного состояния равновесия;

2)число и взаимное расположение предельных континуумов,

вчастности предельных циклов;

3)расположение сепаратрис, не входящих в предельные кон­ тинуумы.

Перечисленные здесь сведения называются схемой разбиения на траектории динамической системы, а все указанные сведе­ ния — элементами схемы. Схема может быть записана специаль­ но введенными символами, описывающими все указанные в пере­ численных пунктах сведения, однако на плоскости схему проще и естественнее описать схематическим рисунком, на котором на­ мечены: поведение траекторий в окрестности состояний равно­

20) Напоминаем, что мы всюду в настоящей главе предполагаем число особых траекторий конечным.

§ 12] УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ 63

весия, предельные континуумы с их расположением и ход сепа­ ратрис. Во всех рассмотренных далее примерах схема задается схематическим рисунком (иногда только с точностью до четного числа предельных циклов). Можно показать, что введенная схе­ ма полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории и, следовательно, определяет также расположение ячеек и поведение траекторий в каждой ячейке21).

Установленные в настоящей главе типы траекторий и, в част­ ности, особых траекторий возможны лишь у динамических си­ стем (потоков) в плоской области и на сфере. При рассмотрении динамических систем (потоков) на замкнутых двумерных поверх­ ностях (конечного рода) возможны еще другие типы траекторий (незамкнутые самопредельные) (см. дополнение).

§ 12. Устойчивость по Ляпунову. В приведенной теории осо­ бых и неособых траекторий (§ 6) и определении схемы было ис­ пользовано понятие орбитной устойчивости, и именно это поня­ тие имело при этом значение.

Однако классическое понятие устойчивости решения — это введенное Ляпуновым и широко фигурирующее в математической литературе понятие «устойчивости по Ляпунову». Мы приведем здесь это понятие для случая решения двумерных задач динами­ ческих систем. (Полностью аналогичное понятие дано Ляпуно­ вым для многомерных динамических систем и для неавтономных дифференциальных уравнений.)

то решение фо(£)) ifo(f) называется асимптотически устойчивым.

21)Сведения о числе и характере состояний равновесия, взаимном рас­

положении предельных континуумов и ходе сепаратрис, с одной стороны, и сведения о взаимном расположении ячеек и поведении траектории внут­ ри них — с другой (и то и другое может быть названо схемой разбиения на траектории), являются двумя различными полными системами топологиче­ ских инвариантов, которые могут быть выражены одна через другую. В свя­

64 ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ОТДЕЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ [ГЛ. 2

Как уже указано, устойчивость по Ляпунову отличается от орбитной устойчивости. Поясним это различие на простом приме­ ре. Рассмотрим замкнутую траекторию Lo:cpo(£)> tyo{t), в окрест­ ности которой все траектории замкнуты. Она, очевидно, орбитно­ устойчива. Предположим, что период на L0 равен то, а на всех

личины, и точка на L, соответствующая этому значению t', будет находиться на конечном расстоянии от точки фо(£о), фо(М траек­ тории Lo-

Таким образом, решение фо(0, ^о(0 неустойчиво по Ляпуно­ ву. В приведенной же выше теории особых и неособых траекто­ рий имеет значение лишь обратная устойчивость.

Г Л А В А 3

ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ ОКРЕСТНОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ (ОСОБОЙ ТОЧКИ)

Введение. В предыдущих главах были даны сведения о том, какова вообще возможная качественная структура траекторий и расположения траекторий на фазовой плоскости, что нужно знать для того, чтобы знать эту качественную структуру. В част­ ности, как мы видели, нужно знать характер состояний равно­ весия. В настоящей главе будут указаны методы определения характера состояния равновесия для некоторых классов состоя­ ний равновесия').

§ 1. Простые состояния равновесия (особые точки). Пусть М{хо, уо)— состояние равновесия (особая точка) системы (А), так что

Р{хо, yo)=Q(xo, Уо) = 0.

о — Р х ( х 0у у д)-Ь Q y (^0 ’ Уо)’

Состояние равновесия, для которого

А(хо, J/o )^ 0 ,

называется простым.

Разлагая в окрестности простого состояния равновесия 0 (хо, уо) правые части в ряд по степеням х — хо, у — уо, мы, оче-

*) Задача установления для конкретно заданной динамической систе­ мы существования предельных континуумов (в частности, предельных цик­ лов) и их взаимного расположения, а также расположения сепаратрис, не являющихся предельными, представляет очень большие трудности и в го­ раздо меньшей степени близка к решению, чем задача определения харак­ тера состояний равновесия. В гл. 6, 14, 15 будут указаны, существующие подходы и приемы решения задачи о существовании предельных циклов.

5 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

66 ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 3

видно, получим

§ ■ — (* — Ч )Р*(*о» Уо) + (У— Уо)Ру (Ч ’ у) + Ф (* — ^0 ' У— Уо).

If- = (X — Ха) Qx (х0, у0) + (у — Уо) Qy (х0, у0) + ф (я — х о< У ~ Уо)’

где ф(.г — хо, у — уо) и ^{х — хо, у — уо)— ряды относительно х — хо, у — Уо, начинающиеся с членов не ниже второго порядка. Перенося начало координат в точку (х0, у0) , т. е., другими слова­ ми, полагая

х — х 0 = ъ, у — уо = ц,

где

а — Рх (•*•<)>Уо)’ ^ — Ру (•*■<)>Уо)’

с = Qx (ч уУо), d = Qy (.е0, Уд),

а b

Д = с d ф о.

§ 2. Приведение динамической системы к каноническому виду.

При рассмотрении характера простых состояний равновесия ли­

к возможно более простому, так называемому «каноническому»

Подставляя в (2) выражения (1) для и и у, а затем заменяя d%/dt и dr\/dt через их выражения из (А'), мы, очевидно, получаем тождества. Приравнивая в этих тождествах коэффициенты при линейных членах, получаем следующие четыре линейных одно­ родных уравнения относительно коэффициентов рц, /?12, ргь Р22 искомого линейного преобразования:

бой точки).

Рассмотрим различные случаи, которые здесь могут предста­

уравнения (4).

Х а р а к т е р и с т и ч е с к и е к о р н и не м е н я ю т с я п р и л и н е й н о й з а м е н е к о о р д и н а т (характеристические кор-

5*

В этом случае (так же, как и в случае I) все траектории, проходящие через некоторую достаточно малую окрестность со­ стояния равновесия О, стремятся к состоянию равновесия О:

при $-► + <», когда а < О,

при t -*■— °°, когда а > 0 .

Состояние равновесия называется фокусом и при этом устой­ чивым, когда а < 0 , и неустойчивым, когда а > 0 .

§ 4. Замечания о методах установления характера грубых состояний равновесия. Указанный в предыдущем параграфе ха­ рактер состояний равновесия в случаях I—III может быть уста­ новлен различными методами.

В случаях I и III (узел и фокус) качественная структура со­ стояния равновесия может быть установлена, если заметить, что

а > 0). При этом узел или фокус имеют одинаковую качествен­ ную структуру в смысле введенного в § 14 гл. 1 определения* Качественный характер состояния' равновесия в случае II (сед­ ло) может быть установлен с помощью естественного выделения в окрестности этого состояния равновесия дуг без контакта, изо­ браженных на' рис. 38. Непосредственное рассмотрение поведе­ ния траекторий при наличии таких дуг без контакта с последую­ щим доказательством единственности в каждом из треугольни­ ков «разделяющей» (сепаратрисы) полностью устанавливает ка­ чественно характер состояния равновесия в этом случае [12,131].

Сведения о других методах исследования состояний равнове­

70 ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 3

Отметим, что в случаях I—III качественная структура состоя­ ния равновесия определяется линейными членами правых частей

траектории, проходящие через достаточно малую окрестность со­ стояния равновесия О, стремятся к О в зависимости от знака А,1 , f a и а при t -*■+°° или t -*■—«>. Однако характер стремления к состоянию равновесия в случае I (узел) и в случае III (фокус) различен (откуда и различие в названиях этих состояний рав­ новесия).

В следующем параграфе будет указано, что в случае III (фо­ кус) траектории ведут себя как стирали. В § 7 будет указано, что в случае I траектории стремятся к состоянию равновесия в определенном направлении (см. § 7).§

§ 5. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристиче­ скими корнями. Рассмотрим особо случай, когда Д > 0, а = 0,

т.е. корни характеристического уравнения чисто мнимые. Рассмотрим соответствующую линейную систему, т. е. систему

dx/dt = —by, dy/dt = bx.

Нетрудно убедиться, что все отличные от О траектории замк­ нуты (являются окружностями, см. пример 5 в § 12 гл. 1). Дей­ ствительно, эта система имеет аналитический интеграл

х2 + у2= С.

Однако простые примеры показывают, что при наличии нелиней­ ных членов состояние равновесия может иметь характер фокуса.