книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

мы (А). Если же проходящая через точку М траектория касает­ ся дуги, то мы будем говорить, что дуга I в точке М имеет кон­ такт с траекторией системы (А). Простая гладкая дуга называ­ ется дугой без контакта для траекторий системы (А), если:

а) на I не лежит ни одно состояние равновесия;

б) ни в одной своей точке дуга I не имеет контакта с траекториями (рис. 18).

Мы скажем, что дуга I проведена че­ рез точку М (или в точке М), если точка

М является точкой дуги без контакта /, отличной от концов этой дуги. Очевидно, через каждую неособую точку можно про­

деленные прп всех значениях

а^ s < Ъ

ив силу требования гладкости дуги имеющие при этих значениях непрерывные производные / ' (s) и g'(s).

ные производные. Ни при каких двух различных значениях s' и s", st ^ s' ^ s2, si ^ s" < s2, не могут одновременно выполняться равенства /(*') = /(*"), g(s') = g(s"). (Простая дуга есть гомеоморф (см. § 14 гл. 1)

сегмента (отрезка).)

I 3] ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА ПОЛУТРАЕКТОРИИ 43

Рассматривая либо параметрические уравнения простой зам­ кнутой кривой С, либо ее уравнения в декартовых координатах, можно аналитически записать условия того, что рассматриваемая замкнутая кривая С является циклом без контакта, полностью аналогичные условиям (1) и (3).

В некоторых случаях роль цикла без контакта может играть «обобщенный цикл без контакта» или «цикл однократного пере­ сечения». Мы скажем, что простая замкнутая кривая С (эта кри­

ся циклом однократного пересечения в том случае, когда в неко­

контакта. Очевидно, если цикл однократного пересечения являет­ ся гладким и

F(x, р ) = 0

— его уравнение, то в точках этого цикла выражение

Fx (х , у) Р (х , у) + F'y (x, у) Q (х , у)

может обращаться в нуль.

§ 3. Предельная точка полутраектории и траектории. Предель­ ная траектория6). Будем рассматривать только такие полутраек­

5) Траектории не могут касаться гладкой замкнутой кривой во всех ее точках, так как в этом случае кривая также была бы интегральной кри­ вой. Это невозможно, так как по предположению для рассматриваемой дина­ мической системы выполняются условия теоремы существования и единст­ венности.

6) Термин «предельная точка» употребляется также в теории множеств. Именно, точка М*, принадлежащая или не принадлежащая данному мно­ жеству К, называется предельной точкой или точкой сгущения множест­ ва К, если сколь угодно близко от точки М* лежат точки К, отличные от М*.

Понятие предельной точки полутраектории имеет другой смысл. На­ пример, состояние равновесия является предельной точкой для самого се­

44 ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ОТДЕЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ [ГЛ. 2

тории и траектории, которые целиком лежат в ограниченной ча­ сти плоскости. Из теоремы 2, очевидно, следует, что на всякой такой положительной (отрицательной) полутраектории любое решение определено для всех значений t > to (t< t0), где tо — некоторое (зависящее от выбора решения) фиксированное значе­ ние. На всякой траектории, целиком лежащей в ограниченной части плоскости, всякое решение определено для всех значений t, — °° < t < + °°.

При рассмотрении возможного поведения отдельной полутраектории вводится понятие «предельной точки полу-

траектории».

Точка М* называется предельной точкой положительной по­ лутраектории Ь+ (или соответственно отрицательной полутраек­ тории Ь~), если при любом сколь угодно малом е > 0 и любом сколь угодно большом Т > О (любом Т < 0) в круге радиуса е с центром в точке М* лежит хотя бы одна точка полутраектории L+ (L~), соответствующая значению t > T (или соответствен­ но t < Т).

Из определения предельной точки полутраектории непосред­ ственно следует, что если §*, ц* — координаты предельной точки М* положительной полутраектории L+, x = <p(t), y = ty(t)— ре­

Обратно, из существования последовательности неограниченно возрастающих значений tn, для которой выполняются условия (4), следует, что точка -¥*(£*, ц*) есть предельная точка полу­

траектории Ь+.

Точка М называется предельной точкой целой траектории L,

если М есть предельная точка либо для положительной полу­ траектории L+, либо для отрицательной полутраектории L~, вы­ деленной из траектории L (в первом случае точку М часто на­ зывают ш-предельной точкой, во втором — а -предельной точкой

траектории L).

Предельная точка траектории L может как принадлежать са­ мой траектории L, так и не принадлежать ей.

бя — в смысле данного в тексте определения, но не является предельной точкой в смысле теории множеств, так как в этом случае множество К со­ стоит из одной единственной точки (состояния равновесия). Во избежание путаницы всюду в дальнейшем вместо термина «предельная точка»— в смысле теории множеств — используется термин «точка сгущения».

Пр и м е р ы .

1)Всякое состояние равновесия О (а, Ь) является своей един­ ственной предельной точкой (как со-, так и а-предельной), так

ся ее (о- и a -предельными точками. Действительно, соответствую­

в случае узла и фокуса, так и в случае седла), имеет своей един­ ственной предельной точкой это состояние равновесия.

4) Для полутраектории Ь+ (или Ь~), имеющей вид спирали, наматывающейся на предельный цикл, очевидно, все точки этого предельного цикла являются предельными (в двух последних примерах предельная точка не являлась точкой соответствующей полутраектории).

Так как сказанное относительно положительных полутраекторий, очевидно, справедливо и для отрицательных полутраекторий (с заменой t на —t), то в дальнейшем будут рассматриваться только положительные полутраектории. Следующая теорема позво­

точки траектории Lo, проходящей через точку М*, являются пре­ дельными для L+.

Доказательство этой теоремы опирается на теорему о непре­ рывной зависимости от начальных условий и понятие предельной точки полутраектории.

Траектория LQ называется предельной траекторией для по­ лутраектории L+ или просто предельной траекторией. Когда пре­ дельная точка траектории L является точкой самой этой траекто­ рии, то L называется самопредельной траекторией. В силу пре­ дыдущего состояние равновесия и замкнутая траектория являют­ ся самопредельными. В формулировке следующей теоремы используются теоретико-множественные понятия замкнутости и связности множества.

жество называется связным, если оно не может быть представ­ лено как сумма двух замкнутых множеств без общих точек. За­ метим, что если мы имеем два замкнутых множества без общих точек, то наименьшее из расстояний между любыми двумя точ­ ками, из которых одна принадлежит одному множеству, а дру­ гая — другому, отлично от нуля.

Рассмотрим множество К в с е х предельных точек полутраектории Ь+, целиком лежащей в ограниченной части плоскости: множество ее предельных точек, очевидно, также лежит в огра­ ниченной части плоскости.

Т е о р е м а 2. Множество всех предельных точек полутраектории замкнуто, связно и состоит из целых траекторий.

Справедливость первых двух утверждений теоремы доказы­ вается непосредственно, справедливость последнего утверждения

и в случае динамической системы на фазовой поверхности лю­ бого жанра, а также в случае динамических систем в фазовом

(Предложения следующих параграфов справедливы только для динамических систем на плоскости и на сфере.)§

§ 4. Основная теорема. Приведем сначала следующие основ­ ные вспомогательные предложения, касающиеся пересечения траектории с дугой без контакта.

I.Точки пересечения незамкнутой траектории L с дугой без

предположим, что t\ > f2. Тогда, очевидно, возможен один из слу­ чаев, представленных на рис. 21. Часть М1М2 дуги I, очевидно, уже не может иметь общих точек с траекторией L, так как ни часть траектории L, соответствующая значениям t > t\, ни часть, соответствующая значениям t < f2, не может уже больше пере­ сечь часть М1М2 дуги Z(B противном случае траектория, очевид­ но, должна была бы пересечь эту дугу I в противоположном на­ правлении, что невозможно).

§ 4) ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 47

Это геометрически очевидное предложение, опирающееся на тот факт, что всякая простая замкнутая кривая на плоскости раз­

п р и р а с с м о т р е н и и в о з м о ж н о г о х а р а к т е р а т р а е к ­ т о р и й на п л о с к о с т и .

На основании соображений, аналогичных приведенным в свя­ зи с предложением I, нетрудно убедиться в справедливости сле­

основании которой могут быть сделаны заключения относительно возможного характера траектории на плоскости.

Т е о р е м а 3 ( о с н о в н а я т е о р е м а ) . Если полутраектория

L + не замкнута и имеет хотя бы одну предельную траекторию,

8 5] ВОЗМОЖНЫЕ ТИПЫ ПОЛУТРАЕКТОРИЯ 49

целиком лежащей в ограниченной части плоскости. Именно, это множество может быть одного из следующих типов:

I. Одно состояние равновесия.

II. Одна замкнутая траектория.

III. Совокупность состояний равновесия и траекторий, стре­ мящихся к этим состояниям равновесия как при t -*■ + °°, так и при

Нетрудно видеть, что состояния равновесия, входящие в мно­ жества предельных точек типа III, не могут быть фокусами или

Рис. 24

узлами, так как всякая траектория, попавшая в достаточно ма­ лую окрестность такого состояния равновесия, стремится к нему и не может иметь никакой другой предельной точки. Следова­ тельно, состояния равновесия, которые могут входить в множе­ ство точек типа III, в случае, если эти состояния равновесия простые (см. гл. 3), непремен­ но являются седлами, а отлич­ ные от состояний равновесия траектории, входящие в это множество,— сепаратрисами се­ дел.

Зная возможные типы пре­ дельных множеств, мы можем сразу сказать, какие типы полутраекторий возможны. Очевид­ но, мы получаем следующие типы: 1) состояние равновесия; 2) замкнутая полутраектория;

3) полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия (рис. 24, а); 4) полутраектория, стремящаяся к замкнутой тра­ ектории (рис. 24, б); 5) полутраектория, стремящаяся к предель­ ному множеству типа III (рис. 25). Очевидно, во всех примерах § 12 гл. 1, кроме примеров 1 и 2, существовали траектории ти­ па 1), т. е. состояния равновесия. Кроме того, все не являющиеся

4 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович