книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

§ 3] СИСТЕМЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 131

быть, например, масса, емкость, коэффициент трения и т. д.). Эти параметры никогда не могут быть абсолютно неизменными во время движения физической системы. Поэтому, если мы утверждаем, что при некоторых заданных значениях параметров движение имеет какой-то определенный характер, например име­ ют место автоколебания, то это может иметь смысл лишь при условии, что малые изменения физических параметров не меняют характера движения.

Это свойство реальной физической системы, без которого изу­ чение ее поведения вообще не представляется возможным, долж­ но найти отражение в свойствах соответствующих математиче­ ских моделей, т. е. динамических систем, описывающих реальные физические системы. А это, очевидно, означает, что у таких дина­ мических систем при малых изменениях входящих в них пара­ метров, которые очевидно соответствуют реальным физическим параметрам, характер траекторий не меняется.

Высказанные соображения являются теми эвристическими соображениями, на основании которых представляется целесооб­ разным выделение среди динамических систем второго порядка таких, у которых качественная структура разбиения на траекто­ рии не меняется при «малых изменениях» этих систем. Ди­ намические системы, обладающие этими свойствами, называют

грубыми.

В гл. 8 дается точное определение грубой динамической си­ стемы и при этом уточняется смысл слов «малые изменения динамической системы».

Грубость динамической системы именно н можно считать тем

тические функции. Однако в разных вопросах теорпп колебаний, а также (и в особенности) в теории регулирования для адекват­ ного описания задач часто необходимо рассматривать динамиче­ ские системы с кусочно-непрерывными или даже с разрывными правыми частями. Такие динамические системы специально так­ же будут рассмотрены в настоящей книге в части IV. Однако в настоящей части мы все время будем предполагать правые части динамических систем аналитическими функциями.

§ 3. Измененные системы. Системы, правые части которых зависят от параметра. Прежде чем переходить к определению грубой системы, понятию, являющемуся основным в дальнейшем, мы приведем некоторый необходимый вспомогательный материал.

3) Следует отметить, что хотя многие понятия теории бифуркаций ди­ намических систем переносятся на случай многомерных систем, но в этом случае все значительно сложнее, и имеют место совсем иные факты (см. [111, 25, 24, 137-141]).

9*

§ 4] ТЕОРЕМЫ О ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЯ 133

причем эту систему при некотором частном значении параметра, например при р = 0 , т. е. систему

dxldt = P(x, у, 0), dyldt = Q(х, у, 0), (А0)'

мы будем принимать за исходную систему (А). Тогда изменен­ ной системой будет система (А„) при |Х^ О, и она, очевидно, может быть получена из исходной системы (А) с помощью до­ бавок

В дальнейшем мы часто будем рассматривать добавки, линейно зависящие от р, т. е. будем наряду с данной системой (А) рас­ сматривать измененную систему вида

dxldt = P(x, у) + цр(х, у), dyfdt = Q(х, y)+ \iq(x, у).

Отметим еще один встречающийся в дальнейшем частный слу­ чай измененной системы, именно

В этом частном случае измененной системы ее состояния рав­ новесия совпадают с состояниями равновесия системы (А) (хотя характер их может быть отличен от характера состояний равно­ весия системы (А)).

Действительно, нетрудно видеть, что при любом |х мы можем иметь одновременно

Р(х, y)± \iQ (x, у) = 0, <?(х, у)+ цР (х, у) = 0,

лишь когда одновременно

Р{х, у) = 0 и Q(x, у) = 0.

Мы остановились здесь на этом частном случае добавок ввиду того, что поворот поля часто используется в дальнейшем при рассмотрении конкретных систем.

§ 4. Основные теоремы о зависимости решения от изменения правых частей динамической системы5). В настоящем параграфе излагаются основные теоремы, касающиеся изменения решения системы дифференциальных уравнений, рассматриваемого на ко­ нечном промежутке значений t, при изменении правых частей системы. На эти теоремы опирается все дальнейшее изложение.

6) См. [ИЗ, 116, 130, 134].

134 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 7

Отметим, что малое изменение решения на конечном промежутке значений t отнюдь не обеспечивает неизменность характера це­ лых траекторий и тем более неизменность качественной (топо­

вается измененная система (А), определенная в той же области. Как и всюду, будем предполагать, что правые части систем (А) и (А) являются аналитическими функциями х и у.

Т е о р е м а 1 (о н е п р е р ы в н о й з а в и с и м о с т и р е ш е ­ н и я от и з м е н е н и я п р а в о й ч а с т и и н а ч а л ь н ы х у с л о ­ вий). Пусть

x = y ( t — t'); х*,у*),

У= — t0; х*, Ро)

—решение системы (А), определенное при всех значениях

т< t < T ,

и f1 , t2— какие-нибудь числа между х и Т, удовлетворяющие неравенству t i < t 0< ti.

Тогда при любом е > 0 существует б > 0 такое, что при усло­

решение системы (А), соответствующее начальным значениям

^о> хо 1 Уо:

х= 4>(t — t0,x*, yo),

у= ^ { t — t0, x* , y* ),

З а м е ч а н и е . Если правые части рассматриваемой системы являются непрерывными функциями р, так что рассматриваемая система имеет вид

dx/dx = P(x, у, р), dyldx = Q(x, у, р),

6) Это аналогично тому, как знание структуры траекторий в малом в окрестности отдельной неособой точки не позволяет судить о качественной структуре траекторий в целом (см. § 13 гл. 1).

а, следовательно, решение этой системы зависит от р,:

Теорема 1 может быть сформулирована в следующей геомет­ рической форме:

Задавая любой конечный промежуток времени, можно взять систему (А), столь близкую к данной системе (А), и столь близ­ кие начальные точки, чтобы соответствующие траектории си­ стем (А) и (А) в течение выбранного конечного промежутка времени сколь угодно мало отличались друг от друга.

определено при всех значениях t, t\ < t ^ £г, и при всех этих значениях выполняются неравенства

дх10дп~ \

Предположим теперь, что правые части рассматриваемой ди­ намической системы содержат параметр р, так что система име­ ет вид

dxldt = Р(х, у, р ) , dyldt = Q(x, у, ц).

также являются аналитическими в окрестности всякой системы значений t — to, хо, уо, р, для которой они определены1).

§ 5. Грубость динамической системы и теоремы о непрерыв­ ной зависимости решения от изменения правых частей. На осно­ вании приведенных теорем мы можем утверждать, что на любом конечном замкнутом промежутке значений (на котором опреде­ лено решение исходной системы) при малых изменениях правых частей решение измененной системы мало отличается от реше­ ния исходной системы.

Однако на основании этих теорем нельзя сделать никаких заключений о неизменности поведения траектории на неограни­ ченном интервале значений t и тем более о неизменности харак­ тера разбиения на траектории в целом.

Нетрудно убедиться, рассматривая простые примеры, что при изменении правых частей характер разбиения на траекто­ рии может как не меняться, так и меняться. Так, например, не­ трудно видеть, что у линейной динамической системы вида

dx/dt = 2 s, dy/dt = у,

для которой начало координат является узлом (эту систему можно, например, рассматривать внутри некоторого цикла без контакта, который в этом случае заведомо существует), тополо­ гическая структура не меняется при всех достаточно малых до­ бавках к правым частям.

у которой все траектории замкнуты (начало координат является состоянием равновесия типа «центр»). Рассмотрим наряду с этой системой измененную систему

Все траектории этой системы, кроме состояния равновесия,— спирали (состояние равновесия 0 (0 , 0 ) есть фокус).

7) Из теоремы 3 могут быть, как следствие, получены как утверждения теоремы 1 , так и утверждения теоремы 2 .

Хотя в силу теоремы 1 на любом конечном промежутке зна­ чений t при достаточно малом р витки спирали системы (4) сколь угодно близки к соответствующей замкнутой траектории системы (3), но очевидно, что при сколь угодно малых р =И=О топологические структуры разбиений у систем (3) и (4) раз­ личны. Таким образом, требование неизменности всей качествен­ ной картины траекторий при малых изменениях правых частей в целом непосредственно не вытекает из приведенных теорем о непрерывной зависимости решения от изменения правых ча­ стей и требует специального рассмотрения. Мы проведем это рассмотрение в следующей главе.