Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

16.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>


§3j	ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ В БЕСКОНЕЧНОСТИ				111
ственное	направление, в	котором		траектории могут	стремиться
к состоянию равновесия		(0 , 0 ).
При переходе к плоскости			(z, и) имеет, очевидно, смысл рас
смотрение только значений			v > 0 ;	так как г = ±Уи,	то особая

точка (0 , 0 ) системы (6 ) будет иметь вид, представленный на рис. 71. Это, очевидно, также топологическое седло, причем z = 0 состоит из двух сепаратрис, а в области z > 0 (и соответственно 2 < 0 ) лежит по одной сепаратрисе, стремящейся, как нетрудно

убедиться, к

точке

(0,

при т

—°° (рис. 71). Чтобы

иссле

довать «концы» оси у, делаем замену

Тогда

х =

wfz,

у =

1 /z.

— ftz2 -f- h -f- wz2

a>2z2

hw — Au>z2

z ------------ ;--------- ,

-----------------s-------------,

(o)

или

hz + z3 (w — h)

(9)

hw +

z2 ( l — hw 4- w2)

Отсюда

видно, что

«концы»

оси

у,

т. е. состояние

равновесия

z = 0 , w = 0

системы

(8 ),— неустойчивый узел, так

как

h > 0 .

Окончательный вид полусферы

S '

изображен на рис. 72 (где В',

В~ — неустойчивые

узлы,

А,

Л' — седла)3).

Из

расположе

ния

траекторий

(все

траекто

рии

выходят

из

бесконечности

из

состояния

равновесия

0 (0 , 0 )) в силу

теоремы 1

вы

текает

существование

хотя

бы

одного

предельного

цикла

(на

рис. 72 нарисован только один

цикл).

П р и м е р

x — h (i — z 2)x + x = 0

( у р а в н е н и е

В а н - д е р -

П о л я).

плоскости

(х , у = х) мы

получаем систему

На

фазрвой

&=*У,

y * = h { i- x 2) y - x .

Единственное состояние равновесия — в начале координат. Как нетрудно видеть, мы имеем (при h > 0 ):

1 ) неустойчивый фокус при 0 < h < 2 ;

3) На рис. 72, 75 предельный цикл изображен схематично в виде ок ружности.

112	НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ			[ГЛ. б
2 )	неустойчивый узел при h > 2 .
Для исследования экватора сферы Пуанкаре полагаем
Получаем систему		х = 1 /z,	р = u/z.
Получаем систему
	Z = — uz,\	и = — г2 (l — hu + и2) — hu		(10)
Полагая z2 = v, получаем
	dv	______ 2 urr______
	du	v (l — hu-\- u2) hu *
Особая	точка (z = 0, u = 0)— типа, исследованного в § 2			гл. 4.
Имеем
	v = q>(и) — —hu,		^(u ) = 2h2u3 + ...

Проводя дополнительные рассмотрения, полностью аналогичные проведенному в предыдущем примере, можно показать, что осо бая точка имеет характер седла. Возвращаясь затем к системе

(1 0 ) и устанавливая направления на траекториях, мы получаем картину, представленную на рис. 73.

Для исследования «концов оси у» полагаем

	х =	w/z,	у = 1 /z,
получаем	wz2 - h ( z 2 - W 2)		_ z2 + w 2z2 - h w ( z 2 - w 2).
•	wz2 - h ( z 2 - W 2)		_ z2 + w 2z2 - h w ( z 2 - w 2).
Z	------------------z	’	z2

полагая zz = v, получаем

dv	2o2 (w — h) -f- 2hw2v
dw	v ( l — hw -j- w2) hw3

Это — также особая точка типа, исследованного в § 2 гл. 4.

8 4]

КРИТЕРИИ БЕНДИКСОНА И ДЮЛАКА

113

Имеем

ip(u;)= —2h2u£ + . . ф (w)=*—hw3 + ...,

P'w(w, ф (w)) + Qv(w, ф (w)) = 5hw2 + . . .

Это подходит под случай в) в теореме 4 гл. 4 — состояние равно весия имеет характер узла (рис. 74). Вид полусферы изображен

В~

на рис. 75. Очевидно, в силу расположения траекторий суще ствует хотя бы один предельный цикл (на рисунке изображен только один).§

§ 4. Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных

циклов.		Б е н д и к с о н а .		Если в		некоторой односвяз
1. К р и т е р и й
ной области выражение Рх + Qy				не	меняет знака и не			равно
нулю тождественно, то в этой области не существует замкнутых
контуров, составленных из траекторий.								одно
2. К р и т е р и й		Д ю л а к а .	Пусть В(х, у ) — некоторая
значная и дифференцируемая функция, и пусть
	D = - ^ [В (х, у) Р (х, у)] +				[В (х, у ) + Q (ж, у)]
не меняет знака и не равно нулю тождественно в области G,
ограниченной произвольными			дугами		{не траекториями и не ду
гами В(х, у)= 0). Тогда.						в	области G	не суще
1)	Если G — односвязная область, то
ствует	замкнутых	контуров,	составленных			из	траекторий (нет

предельных циклов).

8 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

114		НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ							[ГЛ. в
2)		Если		G — двусвязная		кольцевая область, то		в	области G
не может быть более одного замкнутого контура, составленного
из траекторий (более одного предельного цикла).								у)	таким
Задача будет решена, если удастся подобрать В (х,
образом, чтобы				кривая	D = 0	не имела действительных			ветвей
в тех		областях		плоскости (х , у),			в которых можно ожидать			на
личия предельных циклов. Для разыскания функции								В(х,		у)
не существует, однако, регулярных приемов.
П р и м е р			1.
				dy _ — х + а У + хг _ Q
				dx		у	Р ’
P'x + Qy = а. Если а=^0, то не						существует замкнутых		контуров,
составленных из траекторий.
П р и м е р			2	[31].
		dx/dt = у = Р,			dyjdt = ах+ by + ах2+ [5г/ 2 = Q.
В качестве множителя В(х, у)						возьмем функцию В(х,		у) = e~Wt.
Тогда
				D = - ^ ( B P ) + ^ ( B Q ) = be - ^ s
не меняет знака в плоскости (х,							у) и не обращается тождествен
но в нуль, если Ъ Ф 0.					Поэтому		при любых значениях	парамет
ров	(но Ъ ¥>0 )			не существует замкнутых контуров, составленных
из	траекторий.			Если 6 = 0 , то		В(х, у) = е~№х есть интегрирую

щий множитель. На плоскости (х, у) существует область, цели ком заполненная замкнутыми фазовыми траекториями, охваты вающими состояние равновесия типа центр.

П р и м е р 3 [37].

dx/dt = x(aoo + aiox + ао\у) = Р(х, у),

dy/dt = y(boo + biQX+boiy) = Q(x, у).

Возьмем в качестве множителя В функцию

В(х, У)*=хк1ун~х,

где
k ^ boi(bio~ a i o )	р _	а 1 о ( а о 1 + V )	а 10	а 01 Ф О ).
Тогда			Ь 10	Ь01
Тогда
D — boo<tl0^ 0l		»о'> дооУ (ью~	aio) д> ^

и, следовательно, D может обратиться в нуль только вдоль ин тегральных кривых х = 0 и у = 0. Поэтому при

о ™ 6о о а ю ( л о 1 — 6o i ) + a o o b o i ( 6o i —Щ о ) ^ 0

в конечной части плоскости не существует замкнутых контуров,

§4]

КРИТЕРИИ БЕНДИКСОНА И ДЮЛАКл

115

составленных из траекторий. Заметим, что если

о = 0, то

име

ется целая

область плоскости

(х , у),

целиком

заполненная

зам

кнутыми траекториями. Система допускает в этом случае

интеграл

xhyh (аюЬооХ + boiaooy + аооЬоо)— const.

П р и м е р

dx/dt = х(у — a),

dy/dt = х + $у + уу2.

В качестве множителя В

берем функцию В (х,

у)= х ~ 2',~1. Тогда

D = (2a^ + Р)аг2т-1.

Если

2ач + $¥=0, то не

может

быть

пре

дельных

циклов,

расположенных

полуплоскостях

х > 0

или

х < 0 (ось

х = 0

является траекторией). В случае

2ау +

р = О

существует

область,

заполненная

замкнутыми

траекториями,

и В(х, г/)= аг2 т - 1

служит интегрирующим множителем.

и Дю-

Некоторые

видоизменения

критериев

Бендиксона

лака. Нетрудно видеть, что критерий Бендиксона и критерий

Дюлака являются очень частными критериями: их выполнение

возможно

лишь для динамических систем с

очень

частными

свойствами. Действительно, при неравенстве нулю выражения

Рх (х, у) + Qy (х, у)

в некоторой области G, в этой

области не

может быть не только замкнутых траекторий, но вообще ника

ких замкнутых контуров

из траекторий

(не только

из сепарат

рис), не может также быть двух узлов, из которых один устой

чивый, а другой неустойчивый.

мы должны иметь

В самом деле, в устойчивом узле 0 (х i, у i)

P'x(xv yi) + Qv(xvyi)<0>

а в неустойчивом узле 0 (х г, г/г) соответственно

Р'х{х2,у 2) +

Q'v(x2,y 2)> 0 .

А тогда на всякой кривой, соединяющей точки 0\ и Ог, очевид

но, должна

лежать

по

крайней

мере

одна

точка,

в которой

Рх {х, у) +

Qy (х , у)

обращается в нуль.

критериев

Бендиксона

Следующее небольшое

видоизменение

и Дюлака может оказаться полезным при рассмотрении конкрет ных систем.

Пусть для системы (А) кривая

Р'х{х, у) + Qy(x,y) = 0

является в некоторой области G незамкнутой кривой без особых точек*) (т. е. линией), в обе стороны выходящей из G или ухо-

4) Здесь, очевидно, речь идет об особых точках кривоЗ,ане динамиче ской системы. В рассматриваемом случае,, когда Р(х, у) и Q(x, у) — анали тические функции, у этой кривой не может быть и точек прекращения (у аналитических кривых таких точек быть не может).

116

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

1ГЛ. в

дящей в бесконечность, если G — неограниченная область, не имеющей контактов с траекториями системы (А). Тогда у си стемы (А) в области G не может быть замкнутых траекторий.

Действительно, нетрудно видеть (проводя рассуждение, анало гичное проведенному выше), что если бы у системы (А) суще ствовала лежащая в G замкнутая траектория, то она непременно

должна была бы пересекать линию Рх (х, у) + Qy {х, у) = 0 и при этом, очевидно, не менее чем в двух точках и, во всяком случае, по крайней мере в двух точках в противоположных на правлениях, что, очевидно, невозможно, так как по предположе

нию линия Рх + Qy = 0 является линией без контакта. Совершенно аналогично можно сформулировать следующее

видоизменение критерия Дюлака.

Пусть В(х, у ) — некоторая однозначная аналитическая в об ласти G функция, и пусть линия

D (х , у)	дВ (х, у) Р (х, у)		дВ (д , у) Q (х, у) = „
	дх	т	ду

является в области G незамкнутой линией без особых точек, не имеющей контактов с траекториями системы (А). Тогда у си стемы (А) не может быть замкнутых траекторий, целиком ле жащих в области G.

2. Индексы Пуанкаре. Распределение особых точек [77, 117]. Пусть S — простая замкнутая кривая на фазовой плоскости, не проходящая через состояние равновесия, и М — какая-нибудь

точка на ней. Е с л и т о ч к а М о б х о д и т о д и н	р а з к р и в у ю
S в п о л о ж и т е л ь н о м н а п р а в л е н и и , то	в е к т о р , сов

п а д а ю щ и й с н а п р а в л е н и е м к а с а т е л ь н о й к т р а е к

т ории,	п р о х о д я щ е й ч е р е з		т о ч к у М, п о	в о р а ч и в а е т
с я на	у г о л 2я/ (/ = 0,	±1,	±2, ... ). Целое	число j назы
вается индексом замкнутой		кривой S по отношению к векторно

в 4]

КРИТЕРИИ БЕНДИКСОНА И ДЮЛАКА

117

му полю системы. На рис. 76, 77 представлены некоторые про стейшие случаи, на которых представлена кривая S, и можно проследить, как поворачивается соответствующий вектор. Для / мы имеем выражение

3. Условия сосуществования замкнутых траекторий и особых точек.

1.Внутри замкнутой траектории находится по крайней мере одна особая точка.

2.Сумма индексов особых точек, расположенных внутри зам

кнутой траектории, равна + 1 .

Рис. 77

3. Если внутри замкнутой траектории все точки простые, то число их нечетное, причем число седел на единицу меньше чис ла остальных особых точек.

4.	Две общие	теоремы Пуанкаре.		узлов, фокусов и
1.	Если N,	Nf и	С — соответственно числа	узлов, фокусов и
седел	в конечной	части	фазовой плоскости, a N '	и С' — числа

узлов и седел, лежащих на экваторе (считая точки, расположен ные на концах одного диаметра, за одну точку), то имеет место соотношение

N + Nf + N ' = С + С '+ 1.

2. Если все точки простые, то вдоль изоклины без кратных точек, расположенной в пределах одной полусферы, особые точ ки располагаются так, что вслед за седлом будет фокус или узел й наоборот. Если на изоклине две точки разделены экватором, то за седлом следует опять седло, а за узлом или фокусом — узел или фокус.

118

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

[ГЛ. в

§ 5. Топографическая система Пуанкаре. Функция Ляпунова. Кривые контактов5). Будем предполагать, что начало координат 0(0, 0) является состоянием равновесия системы (А).

Рассмотрим семейство аналитических кривых

F (x ,y )= C ,

обладающих следующими свойствами:

1) Функция F(x, у) определена и аналитична во всех точках некоторой области G, содержащей начало и не содержащей дру гих состояний равновесия системы. В частности, область G может совпадать со всей плоскостью (х, у), и в этом случае F (х, у) стремится к бесконечности.

2 ) Fx (х, у) + Fy (х, у) Ф 0 , если р или у отличны от нуля.

3) F (0, 0) = 0, F'x (0,0) = 0, Fv (0,0) = 0, причем точка О(0,0) является изолированной точкой кривой

F(x, у )= 0 ,

т. е. в окрестности этой точки F(x, у) может быть записана в виде

F (х, у) = ах2+ by2+ сху + F3(x, у),

где ах2+ by2+ сху — определенно положительная квадратичная форма (ах2+ by2+ сху > 0 при всех х, у, не равных нулю одно

временно) и	F3 начинается с членов не ниже	третьей	степени.
При выполнении этих условий кривые F (х,		у) = с в	области
G образуют систему замкнутых кривых, лежащих одна внутри
другой и содержащих внутри начало координат.
При этом через каждую точку области G проходит только
одна кривая.	Семейство замкнутых кривых, обладающих ука

занными свойствами, называется топографической системой Пуанкаре.

Если мы подставим в функцию F(x, у) вместо х и у решение системы (А), т. е. будем рассматривать функцию

F (x(t), y (t)),

а затем продифференцируем ее по t, то получим

F'x (х (t), у (t)) x(t) + Fy(x (t), у (t)) у (t).

Подставляя вместо x(t)	и y(t) соответственно Р(х, у) и Q(x, yj
и предполагая, что x(t),	y (t) — любое из решений системы (А),

мы получим «производную от функции F(x, у) в силу системы

(А)», т. е.
dF %' у) ‘ = F’x (х, у) Р (х, у) + Fy (х, у) Q (х, у).	(1 1 )

6) С м . [117, 92, 1 1 5 ].

S SJ

ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПУАНКАРЕ

ЦЭ

Отметим, что геометрическое место точек, в которых правая часть итого выражения обращается в нуль, является геометрическим местом точек, в которых кривые топографической системы каса ются траекторий. Действительно, наклон касательной к кривой

топографической	системы	есть— Fx/F y, а к траектории	есть
•Q{x, у)/Р(х, у),	и когда	правая часть соотношения (11)	об

ращается в нуль, эти наклоны равны. Если при всех значениях х, у в некоторой области G', содержащей начало 0(0, 0) (об ласть G' может совпадать с областью G или являться частью G), мы имеем

F'x (х , у) Р (х , у) + Fy (х, у) Q (х, у) Ф 0 ,

то функция F(x, у) называется функцией Ляпунова для системы

(А) в области G'.

Очевидно, в этом случае кривые

F(x, у)= С

являются замкнутыми кривыми без контакта для траекторий

системы (А).	Если все	траектории пересекают эти кривые при
возрастании t,	в х о д я	в них, т. е. если
		dF{x, y)/d t< 0 ,

состояние равновесия 0 (0 , 0 ) является устойчивым состоянием равновесия (его качественный характер будет такой же, как у узла или фокуса). Если все траектории пересекают эти кривые

при возрастании t, в ы х о д я	из них,	т. е.
dF(x,	y)/dt >	0 ,

то состояние равновесия неустойчиво. Качественный характер его такой же, как и в предыдущем случае, только направление по траекториям прямо противоположно.

Геометрическое место точек, в которых кривые топографиче ской системы касаются траекторий, называется кривой контак тов. Уравнение кривой контактов имеет вид

р (х, у) К (х, у) + Q (X, у) Fy {х, у) = 0 .

Если удается выбрать топографическую систему так, чтобы кривая контактов имела изолированную точку в начале коорди нат и не имела ветвей, уходящих в бесконечность, то такая то пографическая система оказывается инструментом для улавли вания предельных циклов. Предельный цикл (если он существу ет) должен пересекать кривую контактов, так как предельный цикл непременно касается каких-то кривых топографической си стемы и поэтому может лежать только межу крайними кривыми (внешней и внутренней), касающимися кривой контактов.

120 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. в

Если кривая контактов не имеет действительных ветвей, пре дельные циклы не могут существовать.

Пусть F (x, у) = С\ — внутренняя, a F(x, у)= С ч — внешняя кривые, касающиеся кривой контактов. Можно утверждать, что существует по крайней мере один предельный цикл (нечетное число), если между кривыми С\ и С2 нет особых точек и если производная

dF	dx	dy	= K P + F 'VQ
dt	Ь*~м + F« dt

имеет разные знаки на кривых F = C\ и F = C i (dFfdt может об ращаться в нуль в отдельных точках).

П р и м е р 1	[53].
dx		— X + уу — а + ух cos А— у sin А
I t					' У ? + ?
	dy				' У ? + ?
	dy	= — У — УХ		х sin Д +		у cos А
	dt	= — У — УХ		+	/? + 7
					/? + 7
	— у <		А < - у ,	0 <	а < cos А.
В качестве топографической системы возьмем семейство ок
ружностей х 2 + у2= С.			Кривая контактов будет иметь вид
			_ у _ ух 4 . х sin А +			Уcos’A
_	£	= ________________У х г + уг
	У	_	т + т у _	д +	х cos А	у sin А
ИЛИ					Ухг + Уг
ИЛИ

Ф = х 2 + у2 + а х — Va:2 + у2cos А = 0.

Вполярных координатах

Ф= г(г + a cosip — cosA)=*= 0.

Следовательно, кривая контактов — окружность.

Радиусы крайних кругов топографической системы, касаю щихся кривой контактов, будут

r\ = cos А — а, г2 = cos А + а.

Определим знак dcfdt на кривых г = п и г = г2:

= 2* §■ + 2у - f - - 2 (х* + у2 + ах - У * + у* cos А).

В полярных координатах

dc/dt = —2 г (г + a cos ср — cos А)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги