Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

16.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 3|

ПРИМЕРЫ

к состоянию равновесия, нет траекторий, стремящихся в этом направлении, а все траектории в достаточно малой окрестности являются спиралями или замкнутыми траекториями.

§ 3. Примеры.
П р и м е р	1.
	dx/dt = Кх2,	dy/dt = by.
Разделив одно уравнение на другое, получим
	dy/dx = Ьу1(кх2).
Это уравнение элементарно интегрируется:
	у = ce_b/tlJC).
Пусть для	определенности	Ь/Я > 0; тогда, очевидно, если
х -*■+0, то у	0, а при х ->—	0 у -*■+°°. Состояние равнове

сия— седло-узел. Узловая область расположена как на рис. 51, б, если b > О, Я > 0 .

Нетрудно также установить расположение узловой области и направление на траекториях при других знаках Ъ и Я.

П р и м е р 2.

	dy	х — у3 + 2у4 + ж6
	dx ~~	2х + х1 — Зу3
Для точки 0(0, 0):
д = р 'х(0 >о)	р '( 0 , 0 )	0 ,	6 = Р* (0 , 0 ) + <>'(0 , 0 ) = 2 .
(0, о)	с»; (0,0)	0 ,	6 = Р* (0 , 0 ) + <>'(0 , 0 ) = 2 .
(0, о)	с»; (0,0)
	_	\| —	-

Подстановкой х = 2у, у = — ~^х + у преобразуем уравнение к виду

	jfy	_	у +	<?2 (х, у)
	dx		Р2 (х, у)
Ищем решение уравнения
У + Q * (. У ) = У + У ~ т (р - f ) = 0
в виде ряда по степеням х.		Получим
г/ =	ф (х) =			2 5 6 х	•••>
♦ (*) =	Рг (. Ф ()) — Ж 3? + • • •
Здесь т = 3, Дт = 1/64 >		0	и,	следовательно, точка 0 (0 , 0) —
узел.

92 СТРУКТУРА СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4

П р и м е р	3.			dy	_	х2
				dy	_	х2
				dx	~	у
Интегрируя, получаем				У2 =	-g - + С. Нетрудно видеть, что раз
биение на траектории имеет вид, представленный на рис. 53.
П р и м е р	4.
	dy _	— х + х* — 3д2у2				р — целое число.
	dх	хур + у* + хв				р — целое число.
	dх	хур + у* + хв
Для точки 0(0, 0):			А = \| _		^	^ J = 0 и 8 = 0. Подстановкой
х = —у, у = —х уравнение приводим к виду
	dy	__	Q2 (*» у)______ ухр — х4 — у6
	dx	y +		P2 (*, у)		У + У* -- з ? у а

Ищем решение уравнения у + у4— Зх2^ 2 = 0 в виде ряда по сте пеням х. Находим у = ср(х) = 0. Поэтому

ф( х) = С>2 (х, ф( х ) ) = —х 4,

о(х, ф(х)) = х р.

Здесь

к = 2тп = 4,

п = р,

ак = — 1, Ъп = 1.

Если

р <

т = 2, то

точка

0 (0 , 0 )— седло-узел

(это

может

быть

только

случае

р = 1). Если р > т = 2, то точка

0(0,

0)— вырожденная

особая

точка

(для нее с =

2, N =

0, Nf = 0). Если в исходном уравнении

будет

отсутствовать член хур, то о(х,

ф ( х ) ) = 0 , и тогда

Ь„ = 0

и,

следовательно,

точка

(0 , 0 )

будет

вырожденной

особой

точкой.

П р и м е р 5.

<?2(Д, У)

ахпу — ж7 4-у 2

га^г 1 , а=?£=0 .

у + х7 + 4х*у2 — у

У+ Р2(х, У) ’

и,

Из

уравнения у + Р2 (#, у) = 0

находим

у = ф(х) =

—х7 + ...,

следовательно,

ф(х) =

Q2(х, ф(х) ) = ахп(—х1+ . . . ) —х7

+ ( —х7

+ .. . ) 2

—х7

. . . (так как га 5® 1 ) ,

о (х, ф (х)) = Р\х (х, ф (х)) + Qly (х, ф (х)) =

ахп +

7х® + . ..

Таким образом, возможны случаи?

(га >

6 )

и, сле

1. га > 6 . Тогда

Ь„ = а + 7 (га =

6 ) или Ь„ =

довательно,

Ь„¥=0 и п > т. Особая точка

0(0, 0) является фо

кусом или центром.

га < 6 .

Тогда

Ъп = а'-¥=0 и у =

Ъ\ +4(m + l)a 2m+i=o2—16.

Теперь если га = 4 или га =

5, или

га =

3 и

^ = а2— 16 <

0, то

точка 0(0, 0)— фокус или центр. Если га =

2, то точка 0(0,

0) —

узел. Если

га = 3 и 7 = а2 — 16 > 0, то

точка

0(0, 0 )— точка с

замкнутой узловой областью.

§ 3]	ПРИМЕРЫ	93
	П р и м е р ы б о л е е с л о ж н ы х с о с т о я н и й р а в н о в е
сия. Мы предоставляем читателю рассмотреть приведенные		ни

же примеры	(во всех этих примерах системы могут быть проин
тегрированы в квадратурах).
П р и м е р	6 .

dx/dt = ху, dy/dt = х2+ у2.

Система интегрируется путем замены у/х = и. Можно пока зать, что в окрестности состояния равновесия траектории имеют

характер,				представленный
на рис.		56.		7.
	П р и м е р
		dx/dt = ху,
	dy/dt = у2— 6х2у + х4.
	Система		интегрируется с
помощью			замены		у/х2= и.
Рассматривая				полученный
интеграл, нетрудно					убедить
ся,	что	состояние			равнове
сия	имеет		вид, представлен
ный на рис. 57.
	П р и м е р			8.
dx/dt --= ху,				dy/dt = у2— х4.		Рис. 58
	Траекториями этой системы являются					кривые у2 + х4 = Сх2

и, кроме того, полуоси а: = 0, у > 0 и х = 0, у < 0. Состояние равновесия имеет вид, представленный на рис. 58.

В настоящее время методы исследования сложных особых точек получили дальнейшее развитие (список дополнительной литературы [31, 15, 17, 27]).

94 СТРУКТУРА СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 4

§ 4. Нормальные формы. В последнее время широкое распро странение получило рассмотрение так называемых «нормальных форм» дифференциального уравнения в окрестности особой точки (состояния равновесия). «Нормальная форма»— это максимально простои вид дифференциального уравнения в окрестности особой точки после надлежащим образом подобранной замены цеременных, в котором: во-первых, важные для характеристики особой точки величины оказываются выписанными в явном виде (напри мер, ляпуновские величины) и, во-вторых, в некоторых случаях уравнение в окрестности особой точки приводится к интегрируе мому виду. Если существует преобразование переменных, при котором система делается линейной, то ее нормальная форма — линейная. Дюлаком были рассмотрены те нормальные формы, к которым могут быть приведены дифференциальные уравнения (с аналитическими правыми частями) в окрестности седла.

В зависимости от того, является ли модуль отношения харак теристических чисел седла к\ и къ, т. е. IX1 A 2 I = к, рациональ ным или иррациональным, эти формы различны. Именно, Дюлак показал, что когда к иррационально, аналитической заменой пе ременных можно привести дифференциальное уравнение к виду

£~£[ь + *У*>,»)],

где I и к — любые целые числа. Однако привести такое уравне ние, несмотря на то, что I жк могут быть сколь угодно больши ми, к линейному виду может оказаться невозможным, так как преобразование, приводящее к линейному виду, окажется расхо дящимся рядом.

Когда к рационально (к = тп/п), Дюлак приводит уравне ние к виду

% - ![-=• + « Л ” + с ^ и ' + ■■• + *"У* F (x, »)],

где Cj — величины, имеющие тесные связи с ляпуновскпмп ве личинами.

В настоящее время рассматривается приведение к нормальной форме не обязательно аналитических систем и аналитическими преобразованиями, а вообще гладких до некоторого порядка си стем гладкими же преобразованиями. При этом каноническая фор ма Дюлака в случае рационального к существенно упрощается.

Отметим, что нормальной формой в случае одного нулевого корня (см. § 3 гл. 4) является

dy _		by	а ф О, Ъ ф О
dx	ах2	-f- сх3 ’

(но с может обращаться в нуль).

В настоящей книге нормальные формы в явном виде не ис пользуются.

Г Л А В А 5

ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ

§ 1. Функция последования. В настоящем параграфе рассмат ривается функция последования, которая уже использовалась при исследовании состояния равновесия, у которого Д > 0, о ^ 0. В настоящей главе функция последования используется для ис следования окрестности замкнутой траектории.

Пусть I — дуга без контакта, и пусть на этой дуге введен параметр s так, что каждой точке I соответствует взаимно одно

значно одно значение s, Si s	s2, si и $2 — некоторые фикси
рованные значения.
Пусть	y = m(s)
x = l(s),	y = m(s)

— параметрические уравнения дуги I, которые даются с помощью введенного параметра s. В дальнейшем мы всегда будем предпо лагать, что в рассматриваемом нами случае, когда правые части

системы (А )— аналитические функции, функции l(s) и	m(s)
также аналитические функции ').	t== to
Предположим, что траектория L, пересекающая при	t== to

дугу I в точке Q, соответствующей некоторому значению s, пере


секает дугу I еще раз при некотором значении t > t0. Пусть t\						—
первое значение, большее t0, при котором	L	пересекает		дугу		I,
Q — соответствующая точка и s — значение		параметра		s	в этой
точке (рис. 59).	п о с л е д у ю щ у ю					Q.
Мы скажем, что точка Q дуги I имеет
Если обе точки Q и Q отличны от концов дуги I, то на основании
теоремы о непрерывной зависимости от	начальных		условий			и
предложения II § 1. гл. 2 у всех точек дуги I, близких к Q,					будут
существовать, последующие (в частности, это всегда			имеет		место,

когда траектория, проходящая через точку Q, замкнута).

Пусть s и s — координаты различных точек дуги I и их после

дующих на отрезке s.	Ясно, что s является функцией от s. Эта
функция
_______________	* — /(*)

') В случае, когда дуга I не является аналитической дугой, всегда можно приблизить ее аналитической дугой так, чтобы эта новая аналити ческая дуга также являлась дугой без контакта.

96 ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. 5

называется функцией последования и выражает собой закон не которого т о ч е ч н о г о п р е о б р а з о в а н и я дуги I (или ее ча сти), устанавливающий однозначное соответствие между точками этой дуги (или ее части) и их последующими (на той же дуге I).

Геометрически ясно, что функцию по следования мы имеем тогда, когда ду


гу без	контакта		пересекают		траекто
рии, имеющие характер спиралей или
замкнутые (см. рис. 59). При					этом оче
видно,	что	если	некоторому		значению
s = so	соответствует			замкнутая		траек
тория,	то /(so) =		so,	т. е. точка,		соот
ветствующая s = SO) и ее последующая
совпадают		(а значит, совпадают				и все
дальнейшие		последующие).			Очевидно

и обратное: если f(so)=so, то траекто рия, проходящая через точку, соответ ствующую значению so, замкнута. Точ ка, для которой /(so) = So, называется

неподвижной или инвариантной, точ

Рис. 59	кой точечного отображения.
	Для	функции последования	спра

	ведливо следующее:		(А)
1. Функция последования для		аналитической системы

при сделанном предположении относительно аналитичности дуги без контакта (функции l(s) и m(s) в параметрических уравнени ях дуги — аналитические функции) является аналитической функцией. (Это предложение является следствием теоремы 3 гл. 1.)

2. Производная от функции последования всегда положитель на (т. е. функция последования — всегда возрастающая функ ция). Это предложение фактически является элементарным след ствием того факта, что траектории не пересекаются.

Введение функции последования позволяет для формулировки вопросов устойчивости и неустойчивости замкнутой траектории использовать вопросы устойчивости и неустойчивости неподвиж ной точки точечного отображения s = f( s ) .

Пусть рассматриваемой замкнутой траектории Lo соответству ет неподвижная точка s* точечного отображения s = / ( s ) . Рас смотрим последовательные точки пересечения с дугой I какойнибудь траектории L, отличной от Lo и проходящей через доста

точно близкую к Lo точку.	соответст
Пусть траектория L пересекает отрезок в точках,	соответст
вующих значениям s
'1 , • • Sn, ...	( 1 )
При этом

S2 = / ( S l ) ,

S3 = / ( S 2 ) , . . . , S n + l = / ( S n ) .


§ 2]	УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ					97
Если траектория L стремится к L Q при t				+оо, то последователь
ность (1 ) стремится к		s*, и, наоборот,		если	последовательность
(1)	стремится к s*, то траектория L		стремится к L Q.			Неподвиж
ная	точка s * точечного	отображения	s = / ( s )		называется уст ой
ч и в о й , если существует		такая ее окрестность,			что все последова
тельности вида (1 ) с начальными точками si					в этой	окрестности

стремятся к этой точке, и н е у с т о й ч и в о й , если в любой сколь угод но малой ее окрестности найдется хотя бы одна такая точка, что соответствующая последовательность не сходится к этой точке. Устойчивому предельному циклу соответствует устойчивая непод вижная точка отображения, а неустойчивому или полуустойчивому (см. § 4)— неустойчивая точка.

§ 2 . Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точ ки точечного отображения. I. Неподвижная точка s * точечного

отображения s	= f ( s ) устойчива, если
и неустойчива,	1 ,
и неустойчива,	если
	f ' ( s * ) > 1.
Если / '( s ) = l ,	то вопрос об устойчивости неподвижной точки

определяется высшими производными.

Рассмотрим так называемую диаграмму Ламерея: именно, рас смотрим вспомогательную плоскость (s, s), на ней график функ

ции

s = /(s)

биссектрису

s = s

(рис. 60). Точки пересечения кривой

s = /(s) с биссектрисой s = s, очевид

но, соответствуют неподвижным точ

кам точечного отображения s = /(s).

Условия

/' (s * )< l

/ ' (s * )> l

геометрически означают тот или дру

гой

характер

пересечения

кривой

s = /(s)

с биссектрисой s = s

не

подвижной точке S*.

это

означает,

Если

/ ' (s * )= l, то

что

кривая

s = /(s)

касается

бис

сектрисы в точке

(рис.

и 62).

II. Пусть

/'(s*) =

l, /" (* * )= •••

Рис.

... = f~ l (s*) = Q,

f ($*)*£ 0.

Тогда

такое е о > 0 ,

неподвижная точка изолирована, т. е. существует

что

при

всех

Is —s * l< e 0,

кроме $*,

точечного

отображения

s = /(s)

нет больше неподвижных точек и при этом:

а) если к нечетное, то

случае

/4 (s*)< 0

неподвижная

точка s* устойчива, а в случае f(s*)> 0 — неустойчива;

б) если

к четное,

то

неподвижная

точка

полуустойчива,

т. е. в зависимости от знака

fh(s*) при

s '< s*

(s '> s * ), доста

точно близком к s*, точки

s " = 7 (s'),

s'" = f(s"),

. . . стремятся

7 Н. Н. Баутин,

Е. А,

Леонтович

98	ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ	[ГЛ. 5
к s, а при s' > s (s '< s ) уходят от s (или, иначе, к s*		стре
мятся последовательные «предыдущие» точки).
III.	Если f'(s* )= 1, f(s* ) = 0 при всех к, то все точки s ^ s *
также являются неподвижными.

В этом случае

f ( s ) ^ s

и точечным отображением является s = s.

Отметим, что для построения на диаграмме Ламерея последова-

тельных последующих данной точки: s ,s — j ( s ) , s = j(s ) , ...

нужно построить так называемую лесенку Ламерея, в по строении которой нетрудно разобраться (см. рис. 60 и 61).

В дальнейшем мы будем также часто пользоваться вспомо гательной функцией

$(s) = } (s ) - s .

Очевидно, если

Ч > Ы = 0 ,

то so соответствует неподвижной точке и при этом устойчивой, если ф («о)<0 , и неустойчивой, если ф '(«о)> 0 .

§ 3. Функция соответствия. Пусть все траектории, при t = t, пересекающие некоторую дугу без контакта 1\, пересекают дру гую дугу без контакта 12, не имеющую общих точек с 1\ (рис. 63). Пусть щ — параметр, введенный на дуге h, и и2— параметр, введенный на дуге 12. Так же, как и в § 2, будем предполагать, что в параметрических уравнениях дуги l\. x = fi(u\), y = g\ (ui) и дуги l2: x = f2(u2), y = g2(u2) функции ft(u{) и gi{us) (i = 1 , 2)— аналитические функции ut. Значение параметра иг, при ко тором траектория, пересекающая дугу h в точке, соответству

$ 4] ИЗУЧЕНИЕ ОКРЕСТНОСТИ ЗАМКНУТОЙ ТРАЕКТОРИИ 99

ющей некоторому значению щ, пересекает дугу 12, очевидно, является функцией этого значения щ. Эта функция называется

функцией	соответствия	(между дугами h	и l2): u2 = h(ui).
Пусть	параметры	и{ и и2 на дугах	h в. h выбраны так,
что если	считать положительное направление на дугах h и h в

сторону возрастания и(, то углы между траекторией L,

пересекающей обе дуги			h и h, и этими дугами имеют один и
тот же знак. Тогда:
I.	Функция соответствия для аналитической системы (А) при
сделанном предположении относительно параметрических урав
нений дуг h и h является аналитической функцией.
II.		Производная	от функции соответствия h' (щ) всегда по
ложительна.			(например, при рассмотрении функции
В некоторых случаях
последования в окрестности петли сепаратрисы) функцию по
следования		удобнее строить как составленную из двух (или бо

лее) функций соответствия. Функция последования

HI = /( MI)

может быть составлена из двух (или нескольких) функций со ответствия Ы| = Ъ(и2), и2 — h(ui) между двумя (и более) ду гами без контакта.

Составление функции последования из функций соответствия широко используется при рассмотрении кусочно-склеенных си стем (см. ч. IV).

§ 4. Изучение окрестности замкнутой траектории. Простые и сложные предельные циклы. В настоящем параграфе излагается некоторое чисто теоретическое исследование окрестности замк нутой траектории. Это исследование хотя и носит чисто теоре тический характер 2), но тем не менее дает весьма полезные све


2)	К ак уж е указывалось, отыскание замкнутых траекторий или даж е
котя бы доказательство их сущ ествования		является	наряду	с установлени
ем располож ения-сепаратрис задачей, д л я		реш ения	которой	не сущ ествует
регулярны х методов.			1

100

ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ

1ГЛ, ft

дения о том, каков возможный характер замкнутых траекторий. Эти сведения имеют также первостепенный интерес для пони мания поведения предельных циклов при изменении параметра.

Пусть Lo — замкнутая траектория,

* = <Р(0 . */ = (Ф0

— какое-нибудь соответствующее ей движение, являющееся пе риодическим с периодом т. Если I — дуга без контакта, прове денная через какую-нибудь точку Q траектории Lo, то на части этой дуги, достаточно близкой к точке Q, будет определена функция последования (см. § 1 настоящей главы). Пусть s — параметр на дуге I, so — значение этого параметра, соответству ющее замкнутой траектории Lo, и s = /(s)— функция последо вания. Введем функцию

i|>(s) = /( s ) - s .

Очевидно,

ф(«о) = 0 .

Разложим гр (s) в ряд по степеням s —SQ:

ф (s) = ai (s —So)+ аг (s — «о) 2 + • • •,

«I = /' (so)'—1,

cti = f ( s o ) J i\ .

Возможны следующие случаи3).

1 .				f W	^ i .
Корень	So	функции	яр (s)	очевидно изолированный,			замкнутая
траектория		является простым			предельным циклом — у с т о й ч и
вым, когда
		f' (s0) <		1, Т. е. I\|/(s0 ) <0 ,
и н е у с т о й ч и в ы м ,			когда
		/' (s0) >		1 ,	т. е. i\|/(so )> 0 .
2 .		f'(s о)=		1 , т. е. ip' (s0) =		0 ,
но хотя	бы одна из		производных функции tp(s) не				обращается
в нуль при s = so, т. е. существует такое к,						что
	i p '( s o ) = • • . = яр*-1 ( s 0) = 0 , f t! a ft =					tl)'l ( s o ) ^ 0 .

Мы будем иметь, следовательно,

i|>(s) = (s —so)ft[a„ + a ft+i ( s - s 0) + ... ].

Корень so функции яр (so), так же как и в случае 1, изолирован ный. Замкнутая траектория Lo называется сложным к-кратным предельным циклом.

3) Проведенное здесь рассмотрение во многом аналогично проведенно му в § 5 гл. 3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги