книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

Таким образом, фазовые траектории с возрастанием t через обе граничные кривые входят внутрь кольцевой области.

Применим критерий Дюлака, полагая В(х, р )= 1:

ческой системы (рис. 78) и, следовательно, внутри кольца между крайними кругами топографической системы знака не меняет.

Рис. 78 Рис. 79

Внутри кольца не может быть более одного предельного цик­ ла (рис. 79).

Использование систем сравнения. Иногда при исследовании динамической системы можно получить сведения о ее качествен­ ной структуре, сравнивая ее с динамической системой, качествен­ ная структура которой известна. Под сравнением здесь подра­ зумевается оценка угла между векторами исследуемой системы и системы сравнения и, в частности, установление отсутствия контактов между векторными полями, заданными данной си­ стемой и системой сравнения.

то, очевидно, нужно рассмотреть выражение

Р{х, ff)Qo(z, y ) — Q(x, у)Р0(х1 у),

122 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. в

которое обращается в нуль в точках касания траекторий систе­ мы (А) и системы сравнения.

Использование топографической системы Пуанкаре можно рассматривать как частный случай использования системы срав­ нения. Системой сравнения в этом случае является система

х — — Fy (х , у), у = F'X (х , у).

В некоторых случаях, когда система содержит то или другое число параметров, иногда удается в качестве удобной системы сравнения взять рассматриваемую систему при частных значе­ ниях параметров.

П р и м е р 2 6).

dxfdt = у, dy/dt = —ах— by + ах2+ {1у2.

Предполагая {1 отличным от нуля, можно свести исходную систему, изменяя масштабы по переменным х, у, t, к системе с двумя параметрами Я и р:

5(1/р, 0). Обе точки простые, их характер определяется по кор­ ням характеристических уравнений:

Для исследования бесконечно удаленных частей плоскости воспользуемся отображением фазовой плоскости на сферу Пу­ анкаре.

Преобразование x<=\/z, y = u/z позволяет изучить особые точ­ ки, лежащие на экваторе сферы Пуанкаре, за исключением осо­ бых точек, в которые проектируются концы оси у.

") См. [31].

S 5] ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПУАНКАРЕ 123

вость этих утверждений можно проверить, проделав рассмотре­ ние, описанное в гл. 4.

dvjdx = z + v2z + Xvz — (ху3 + v, dz/dx = vz2+ Xz2— [iv2z + z,

я особой точкой, интересующей нас, является точка с координа­ тами v = 0, z = 0. Оба корня характеристического уравнения для всех значений параметров X и (х будут равны единице. Таким образом, соответствующая точка экватора — простой узел.

Рассмотрим случай А,= 0. Исходная система допускает ин­ теграл

Я (аг, у) = |уа — |хха + (р + 1) х — е2х = h,

что непосредственно проверяется.

Так как в начале координат — центр, в точке 5(1/(х, 0 )— сед­ ло, то качественная структура определяется поведением се­ паратрис.

Найдем уравнение сепаратрис из условия, что они проходят

т. е. сепаратрисы седло-узлов на экваторе сферы Пуанкаре. Исходя из вышеизложенного, можно представить всевозмож­

ные качественные картины консервативного7) случая (Л.■= 0). При (х<0 на экваторе сферы Пуанкаре возможна единствен­ ная особая точка — простой узел, и, как было отмечено, сепа­ ратриса седла имеет петлю. Качественная картина изображена

на рис. 80.

7) Понятие консервативной системы будет дано в гл. 7.

При р = О седло уходит в бесконечность, образуя в точке с координатами и = 0 , z = 0 сложное состояние равновесия — то­ пологическое седло. Общий интеграл имеет вид

{у2 + х - 1 /2 )е2 1 = А.

При h < 0 кривые замкнуты, при h S* 0 кривые не замкнуты, при h — 0 получим параболу у2+ х — 1 / 2 = 0 , которая является

Рис. 80

сепаратрисой топологического седла на экваторе сферы Пуанка­ ре. Качественная картина изображена на рис. 81.

Значение параметра р = О является бифуркационным8) . При возрастании р от значения р = 0 сложная особая точка на

экваторе распадается на два седло-узла на экваторе и седло в ко­ нечной части плоскости. Качественная картина на сфере Пуан­ каре при 0 < р < 1 имеет вид, изображенный на рис. 82.

8) Понятие бифуркации и бифуркационного значения параметра будет дано в гл. 10.

Рассмотрим, как изменяются качественные структуры при до­ статочно малых положительных значениях параметра Я.

Сначала выясним, как изменяются направления сепаратрис седла при возрастании Я. Перенося начало координат в точку 5(1/ц, 0 ), для направлений, по которым сепаратрисы входят (выходят) в седло, получим уравнение

& 2 + Я& + 1 = 0 .

При возрастании Я от значения Я = 0 направления, по которым сепаратрисы входят в седло S пли выходят из седла, сместятся на отрицательный угол. Обратимся к рассмотрению отдельных случаев.

1. р < 0. Консервативный случай изображен на рис. 80. В си­ лу вышесказанного один «ус» cefljja входит в область, заполнен­ ную замкнутыми кривыми, приближаясь к особой точке, другие

У Узел Седлс-узел^/Ул^У 1 '\^\Сетг-узел

(

I

Узел^

Рис. 87

же «усы» седла проходят вне области, заполненной замкнутыми кривыми, приближаясь к узлам экватора. Качественная картина определяется однозначно и будет иметь вид, изображенный на рис. 85.

2.(А= 0. Консервативный случай изображен на рис. 81. Для всех Я > 0, проводя рассуждения, аналогичные случаю р < 0 , получим картину, изображенную на рис. 8 6 .

3.0 < р < 1. Качественная картина консервативного случая дана на рис. 82. В силу того, что при возрастании Я сепаратрисы смещаются на отрицательный угол, качественная картина раз­ биения на траектории сферы Пуанкаре для малых значений Я > 0 будет иметь вид, изображенный на рис. 87 9) .

9) Если рассматривать систему (1) при всевозможных положительных значениях X, то поведение «усов» седла определяется неоднозначно (см. гл. 14, § 2).

периодическим решениям этой системы) не являются изолиро­ ванными, а заполняют целые области.

Отметим еще следующее характерное для гамильтоновых си­ стем свойство.

Выделим на плоскости (х , у) область Go, ограниченную про­ стой замкнутой кривой, не содержащую состояний равновесия. Площадь этой области может быть записана в виде

и что при этом область о имеет ту же площадь, что и область оо

(рис. 90):

пл. о = пл. Оо.

Это утверждение носит название теорема Лиувилля. Консервативной системой мы будем называть систему

определенную в некоторой области плоскости G пли на всей плоскости, которая после умножения правых частей на интегри­ рующий множитель М(х, у ), являющийся аналитической функ­ цией, не обращающейся в нуль во всей области определения системы (1 ), и после изменения параметризации может быть приведена к гамильтоновому виду (Н):

dx/dx = М(х, у)Р{х, у) = дН/ду,

dy/dx = М(х, y)Q(x, у) = —дН/дх,

dx = dt/M(x, у).

9 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович