книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

§ 51 МНИМЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ 71

В этом нетрудно убедиться, рассматривая, например, систему dx/dt = —у — x (x 2+ y2), dy/dt = x — у (x2 + y2).

Переходя в ней к полярным координатам, мы получим

dp/dt = —р3,

откуда

р = 1/У2t + C,

и, следовательно, все траектории при t -*■+°° стремятся к состоя­ нию равновесия (началу координат). Таким образом, в случае не­ линейного уравнения при чисто мнимых характеристических корнях вопрос о характере состояния равновесия не решается линейными членами. Он требует специального рассмотрения.

Метод, которым в этом случае устанавливается характер со­ стояний равновесия, применим также и в случае, когда корни комплексно сопряженные и действительные части их не равны нулю.

Поэтому мы предположим, что у состояния равновесия О си­ стемы (А) (которое мы, очевидно, можем считать лежащим в на­ чале координат) характеристическими корнями являются комп­ лексные сопряженные числа: а + ib, а — ib, где ЬФО я а может как быть, так п не быть равным нулю.

Предположим, что система (А) имеет канонический вид, т. е. dx/dt = Р(х, у )= а х — by + <р(х, у),

в некоторой окрестности начала координат, начинающиеся с чле­ нов не ниже второй степени, так что мы можем записать’

«

4) В правых частях полученной системы мы сокращаем на г при г ф 0, а затем доопределяем по непрерывности при г = 0.

72 ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. 3

Так как Ь Ф О, то при всех достаточно малых г, т. е. в некоторой окрестности состояния равновесия,

dQ/dt Ф 0.

(Это означает, что в рассматриваемом случае любая полупрямая во всех достаточно близких к началу координат точках не име ­

При этом полярный угол возрастает при вращении против часо­ вой стрелки. Для исследования характера рассматриваемого со­ стояния равновесия удобнее систему уравнений (7) заменить одним уравнением, которое получается, если разделить первое из

г = /( 0 ; 0 о, г0).

Оно является, очевидно, уравнением в полярных координатах траектории системы (А), проходящей через точку с полярными координатами 0о, п>. Функция /(0; 0о, го) — аналитическая функ­ ция (0 ; 0 о, го) (при сделанном предположении об аналитичности

Если использовать (10) и теорему о непрерывной зависимости от начальных значений, то можно сделать следующее заключение:

Все траектории системы (А), проходящие через достаточно малую окрестность начала О, пересекают каждую из полупрямых

0 = const, 0 «£ 0 < 2я (рис. 39 для случая dQ/dt < 0).

Отсюда нетрудно видеть, что мы рассмотрим все т р а е к т о ­ рии, проходящие через достаточно малую окрестность начала О, если будем рассматривать все траектории, проходящие через до­

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях го, мы получаем рекуррентные дифференциальные уравнения, кото­ рым удовлетворяют функции иг(0 )':

которое вытекает из самого смысла функции /( 0 ; 0 , го), мы, оче­ видно, получаем

MI(0 ) = 1 , «f(0 ) = 0 , i > l ,

и, следовательно, из рекуррентных дифференциальных уравнений (1 1 ) мы можем последовательно определить и*(6 ).

В частности,

точкам пересечения траекторий с положительной полуосью х. Функция

г = /(2я; 0 , г0) = а хг0 + а2г\ + а 9г? + . . . ,

где а { = и,(2 я), называется функцией последования на части по­ ложительной полуоси х, соответствующей значению |г| < г*. Ко­

74 ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 3

эффициенты at функции последования называются фокусными величинами.

Несложные вычисления показывают, что

щие заключения относительно характера траекторий в окрестно­

лу теоремы Ляпунова г'о нечетно).

Все траектории, проходящие через достаточно близкие к точ­

имеет характер фокуса. Когда аФ 0, имеет место уже указанный

кратности к или ^-кратным сложным фокусом.

2. Все коэффициенты а 4 равны нулю. В этом случае ф(го)= 0 (т. е. г = г0) и, следовательно, все траектории, проходящие через точки достаточно малой окрестности, замкнуты. Состояние равно­ весия есть центр 5).

?) При сделанных нами выводах мы существенно опирались на тот факт, что функция последования является аналитической функцией, что в свою очередь вытекало из аналитичности правых частей системы. Если правые части системы не являются аналитическими функциями, то и функ­ ция последования не будет аналитической функцией, и тогда возможен случай, когда в любой сколь угодно малой окрестности состояния равнове­ сия О ость как замкнутые траектории, содержащие О внутри, так и спирали.

того, что состояние равновесия системы (А), имеющее чисто мни­ мые характеристические корни, есть центр, заключается в том, что система (А) имеет в окрестности этого состояния равновесия аналитический интеграл.

Этот интеграл имеет вид 6)

а? + у2 + F3+ . . . + Fn+ ... = С.

(.Fi содержат х, у в степени выше второй.)

§ 6 . Направления, в которых траектории стремятся к простым состояниям равновесия. Пусть

— траектория системы (А), стремящаяся к состоянию равновесия

направлении 0 *, где 0 * — угол между положительным направле­ нием оси абсцисс и лучом ОМ* (рис. 40). (Угол 0* определяется, конечно, с точностью до соответствующего кратного 2 я.)

Из данного выше определения непосредственно следует, что если полутраектория Ь+ стремится к состоянию равновесия в на­ правлении 0 *, то существует (конечный или бесконечный) пре-

6) При предположении, что система (А) имеет указанный в этом пара­ графе канонический вид. В случае, когда в окрестности состояния равно­ весия линейные члены отсутствуют, состояние равновесия может иметь характер центра, но аналитического интеграла может и не существо­ вать [132].

дел отношения y (t)lx (t), причем этот предел равен t g 0 *:

полутраектория Ь+ стремится к состоянию равновесия О. Дейст­

ложных) направления.

В дальнейшем при рассмот­ рении сложных состояний рав­ новесия мы часто будем гово­

с т о я н и ю р а в н о в е с и я с

При этом мы будем иметь в виду как траектории, стремящиеся

о с у щ е с т в о в а н и и к а с а т е л ь н о й в т о ч к е О у к р и в о й , п р е д с т а в л я ю щ е й с о б о й т р а е к т о р и ю L, д о п о л н е н ­ ную т о ч к о й О 7). Наряду с этим можно рассматривать вопрос

Для кривых, не являющихся траекториями, данное утвержде­ ние, вообще говоря, несправедливо. Рассмотрим, например, кри­

не стремится, как легко видеть, ни к какому предельному поло­ жению при х 0 .

т) При этом касательную надо понимать как предельное положение се­ кущей ОМ при t -> + °°- Это замечание приходится делать ввиду того, что траектория Д дополненная точкой О, не является кривой, заданной пара­ метрически (точка О не соответствует никакому значению t).

может стремиться к простому состоянию равновесия. Запишем рассматриваемую систему в виде

dx/dt = ах + by + ф(х, у), dy/dt = сх + dy + ф(а;, у) (А)

(ф(ж, У) и Ф(я> У)— ряды, начинающиеся со степеней х и у не ниже второй), и при этом

Предположим, кроме того, что рассматриваемое состояние равно­

y(t)/x(t), причем в случае существования этих пределов они равны, т. е.

При этом угловой коэффициент к удовлетворяет соотношению

стремятся к состоянию равновесия О, есть направление оси у. Отметим, что дискриминант квадратного уравнения (13) сов­

падает с дискриминантом характеристического уравнения. Поэто­ му в случае, когда этот дискриминант отрицателен, т. е. в случае фокуса (простого или сложного), не существует направлений, в которых траектории могут стремиться к состоянию равновесия. Нетрудно показать, что корни уравнения (13) к\ и кг связаны с характеристическими корнями A,i и %г соотношениями

кх =(A,i — а)/Ь, к2 ={%2 — «)/&•

Приведем результаты, касающиеся простых состояний равновесия в предположении, что в окрестности простого состояния равнове­ сия система приведена к каноническому виду.

1. а) Характеристические корни действительны, различны и одинаковых знаков (узел). Система приводится к каноническому виду

весия О в определенных направлениях, и- этими направлениями являются л/2 и Зл/2, 0 и л. При этом в направлениях я/2 и Зл/2 стремятся только по одной траектории8). Все остальные траекто­

рФ 0 .

Вэтом случае узел иногда называется вырожденным. В этом слу­ чае в уравнении, определяющем угловые коэффициенты на­

правлений

Ьк2+ (а — d) к + с = 0 ,

как нетрудно видеть, 6 = а — d = 0 , с = р ^ 0 ; оба корня этого

8) Доказательство этого утверждения может быть проведено различ­ ными способами. См., например, [12, 130].

х

Рис. 42 Рис. 43

лении я/2, либо в направлении Зя/2; при этом имеется бесчис­

ния, в которых полутраектории стремились к состоянию равнове­ сия, совпадали с направлением осей координат. Очевидно, для системы, не приведенной к каноническому виду, направления могут быть любыми в зависимости от коэффициентов системы.

В случае фокуса, простого или сложного (т. е. когда характе­ ристические корни комплексные или чисто мнимые), корни урав­ нения (13) тоже комплексные, т. е. нет направлений, по которым траектории могут стремиться к состоянию равновесия. Как мы видели в § 5, в этом случае траектории — спирали.

80 ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 3

Можно показать, что в этом случае угол между положитель­ ным направлением касательной к траектории, стремящейся к фокусу, и положительным направлением оси неограниченно воз­

Для простого состояния равновесия по самому его определению

Очевидно, корни ki и к 2 действительны тогда и только тогда, когда действительны A,i и Яг.

В зависимости от того, каковы характеристические корни со­ стояния равновесия, система может быть в окрестности этого состояния равновесия приведена линейным преобразованием пе­ ременных к одному из следующих видов, которые называются каноническими (обозначения переменных сохраняются преж­ ними).

1. Характеристические корни действительны и различны (Я,: Ф Яг). Канонический вид системы:

x = h x + y(x, у), у = к2у + У(х, у).

2. Характеристические корни равны (Я1 = Яг = Я). Канониче­ ский вид системы:'

х = Яя + ф(х ,у ), у = Ху + цх + $ {х, у)

(р может быть как равным, так и не равным нулю).

*) Состояния равновесия с чисто мнимыми корнями, рассмотренные в § 5, здесь, очевидно, не фигурируют.