книги / Основы электронно-лучевой обработки материалов

Время смыкания канала находится с помощью соотношения

где ф(5) определяют из решения дифференциального уравнения

Так как решение уравнения (99) в общем виде найти не удается, рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть 6 = 0. Пренебрегая вязкостью, из соотношений (98), (99) после преобразований получим

Значения несобственного интеграла (101) лежат в пределах

^ ] А р ^ 1 п - £ - < т < - | - ' | / Л^ 1 ^ ( 1 п ^ - + 0 ,2 8 з ) . (102)

Следовательно, для оценки времени смыкания канала можно пользоваться формулой

Перераспределение объема жидкой фазы присходит за счет плос­

92

Подставив выражение (104) в (90) при условии vr — 0, г = получим

Интегрируя уравнения (88) по г от R до R* и (89) по г от 0 до ft с учетом (104) и (105), получаем систему обыкновенных уравнений

-% [>*21 п -^ — L (/?« — R2) ] + 4 - /2 (Я*2 ~ R*f/R2=

что опускание верхней границы жидкости как плоскости возможно лишь в случае независимости друг от друга сил, действующих на жидкость в 'двух взаимно перпендикулярных направлениях (по г и г ) . Связь между v, и у2 осуществляется только через уравнение неразрывности (90) и его аналог — закон сохранения массы (91).

Рассматриваемый случай распадается на два: а) система урав­ нений (106) соответствует заполнению канала за счет капилляр­ ных сил при отсутствии силы тяжести; б) система уравнений (107) соответствует заполнению канала за счет опускания жидкости при фактическом отсутствии капиллярных сил.

Рассмотрим случай а). Из системы уравнений (106) следует

- 1 Т г К 21п1 Г — 4~(Я*2- Я 2)] + f 2R*2R R2 -

93

Сравнение формул (102) и (111) показывает, что порядок вре­ мени заполнения канала т в первом случае и в случае а) одинаков и зависит от параметра (p#o/o)I/2 In (R*/Ro)- Для случая б) из

уравнений (107) следует

капиллярных и гравитационных сил, различна, численные оценки для типичных случаев узких каналов показывают, что соотноше­ ния (111) и (114) дают величины одного порядка.

Приближенно результирующее время затекания канала с уче­ том одновременного действия капиллярных и гравитационных сил

Проведенный анализ показывает, что различие в моделях смыкания канала не приводит к существенной количественной разнице.

3. Затекание узкого канала в жидкости под действием силы тяжести и градиента давления. Узким будем называть канал,

94

диаметр которого не превышает величины капиллярной постоян­ ной ак = (2a/pg)V2; в частности, для воды ак = 0,122 см, для рас­ плавов металлов ак ^ 0,5 см. Затягивание канала в радиальном направлении за счет капиллярных сил не учитываем (рис. 52).

Уравнение Навье—Стокса для рассматриваемого случая

Поскольку движение в радиальном направлении не учитываем, то vz не зависит от г, как это следует из уравнения неразрывности, т. е. vz = f {f). Уравнение (116) принимает вид

ние только в области 0 > z > —Я (i), а время заполнения канала найдем из условия сохранения массы. Пренебрегая размерами

давление внутри жидкости не зависит от г. В этом случае из

р (0) = o/R*, где R — радиус канала в нижней его части, a R* —

Следовательно, направление воздействия капиллярных сил совпадает с направлением действия гравитационных сил, и их действие такое же, как и при объемных силах с градиентом дав­ ления:

dp/dz = (l/R* \- l/R) о/Н (/).

Так как закон сохранения массы, выраженный уравнением (91), можно переписать как

то уравнения, описывающие движение жидкости, будут

R* t

95

Система уравнений (120), (121) определяет собой закон изме­ нения Я = Я (0, зная который из условия Я = 0 при t = т, найдем время заполнения канала т.

Уравнение (121) в общем случае не имеет решения, но его можно решить в двух предельных случаях: при большой вязкости жидкости и малой.

При малых числах Рейнольдса Re ссновную роль играет вязкий член, и инерционным членом можно пренебречь. Тогда после ряда преобразований из уравнения (121) можно получить

Дифференцируя полученное выражение по t и подставляя зна- е ie F x {t), будем иметь

где первое слагаемое учитывает затекание канала только под

второе слагаемое учитывает уменьшение времени затекания вслед­

96

получим xg ^ 0,1 мс. Поскольку вязкость может сильно влиять на характер движения жидкости только при малых числах Re, характерный размер R* должен быть малым. Полное время зате­ кания с учетом капиллярных сил т 0,01 мс, т. е. еще на порядок меньше. Это время занижено, так как не учитывает начального разгона, обусловленного изменением скорости заполнения ка­ нала до установившегося значения.

Учтем начальную стадию этого изменения скорости, без инер­ ционного члена и вязкости. Это приближение соответствует второму предельному случаю, когда вязкость жидкости можно считать малой.

Уравнения для определения скорости:

пограничный слой будет тонок, и при малых временах им можно пренебречь.

Поскольку vz (г) = const, из уравнения (127) получим t

Выполним численные оценки. Пусть Н = 2,5 см, R = ь10~2 см, тогда для расплава металла %g ^ 0,7 мс при R* — 1 см и т ^ 7 см при /?* ” 0,1 см. В общем случае соотношение (132) можно за­ писать в виде

Где у = _Ё5Я0 = рgHjap*.

U-i

Найдем та без учета гравитационных сил. В этом случае вы­ ражение (134) имеет вид

ционных и капиллярных сил определим с помощью соотношения (115). Подставляя численные значения из приведенного выше при­ мера, получим т ^ 0,21 мс.

При оценке та не учитывали эффекты, связанные с наличием

Пограничного слоя. Толщина пограничного слоя б я^]/’4W. Под­ ставляя численные значения, получим 6 ^ 3 * 10~3 см. При (vt/R2)< < 5 *10~3 толщина пограничного слоя меньше 0,1 R и в остальной области скорость не зависит от г, что позволяет с достаточной точ­ ностью использовать соотношения (133)—(135) для оценки соот­ ветствующих времен [176].

Рассмотрим, в какой степени полученные качественные оценки согласуются с опытными данными. Время существования канала в масле ВКЖ-94, на которое действовал сфокусированный пучок электронов, приблизительно равно 3*1(Г2 с. Увеличение времени существования канала в масле по сравнению с расплавом металла связано с уменьшением поверхностного натяжения. Численные оценки при подстановке соответствующих значений в соотношение Для времени смыкания не приводят к удовлетворительному сов­ падению с опытными данными в пределах порядка величины [128 ], так как здесь не учтены тепловые явления, сопутствующие гид­ родинамическим. Характерное время тепловой релаксации %н & ^ R 2lat1 где at — коэффициент температуропроводности. При ^ = 1 (Г 2 см, а£= 0,1 см2/с, %}г'—10”3 с, т. е. одного порядка со време­ нем смыкания канала. Поэтому внутрь канала в момент смыкания возможно поступление пара, что увеличивает время смыкания по

98

сравнению с чисто гидродинамическим случаем. Увеличение времени смыкания также может быть связано с выделением энер­ гии в конечной стадии процесса.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ЗАТЕКАНИИ УЗКОГО КАНАЛА В ЖИДКОСТИ

Выше было получено аналитически решение системы уравнений Навье—Стокса* неразрывности и сохранения массы при осевой симметрии для трех частных случаев, каждый из которых представ­ ляет одномерную задачу, включающую дифференциальное уравне­ ние или систему уравнений. Аналитическое решение этих уравне­ ний удается найти только в предельных случаях изменения пара­ метров (при пренебрежении вязкостью и др.).

Рассмотрим последовательно численное решение трех задач для широкого круга параметров, характеризующих геометриче­ ские характеристики канала и свойства материалов.

Задача L Движение жидкости при фиксированных верхней и нижней границах. Безразмерное время смыкания канала опреде­ ляется выражениями (98) и (99). Введением новой функции Z (£) = 6=8 Ф2 (£) уравнение (99) можно упростить для численного счета.

Вуравнении (137) параметр К, может принимать значения 0,

—1, 4-1, поскольку -ф (?) = z 1/2 (?). Из соотношения (136) следует, что К = —1 не имеет физического смысла. При К = 0 уравнение (137) становится линейным. В табл. 19 приведены

результаты численных расчетов безразмерного времени 4 на ЭВМ БЭСМ-4 с использованием уравнения (136) и (137). Числен­ ные значения параметров а и Ь, входящих в уравнение (136), соответствуют широким диапазонам изменения геометрических параметров канала и физических свойств обрабатываемых излу­ чением конденсированных сред. Случай с К — 0 рассматривается для сравнения. Из данных расчета следует, что увеличение пара­ метра а, определяющего соотношение радиуса жидкой фазы и радиуса канала, приводит к монотонному возрастанию времени