книги / Основы электронно-лучевой обработки материалов

Глава 2

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЭЛЕКТРОННОГО ЛУЧА НА МАТЕРИАЛЫ

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНОВ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ И ГАЗОВЫХ СРЕДАХ

Процессы, сопровождающие прохождение электронного пучка через вещество, являются весьма сложными.

На рис. 22 представлены кривые, отображающие различные одномерные закономерности поглощения энергии [35, 141 ]. Кривая 1 характеризует изменение интенсивности потерь ср (х) =

=по глубине пробега в соответствии с законом Том­

сона—Виддингтона, когда электроны не испытывают углового рассеяния и потери энергии малы по сравнению с их начальной энергией:

ф(х)== (1 -* )1/2 ’

где х — zirQ z — глубина; г0 — полный пробег электрона.

В соответствии с выражением (11) наибольшие потери имеют место на глубине, соответствующей максимальному пробегу электрона.

Кривая 2 соответствует закону Томсона—Виддингтона с уче­

том поправки Ленарда, которая характеризует изменение элект­

на поверхности твердого тела. Максимальная глубина проник­ новения электронов б в твердое тело в зависимости от принятого закона поглощения получается разной. Для *кривых 1 и 2

б — глубина проникновения, см.

Эта зависимость, известная под названием формулы Шон- ланда, является одной из основных формул для глубины про­

бега электронов, которой пользуются для оценок режимов элек­ тронно-лучевой обработки (рис. 23).

32

ff'MKM

В других металлах пробег электронов изменяется в соотно­ шении 6/6Fe, равном: для № — 0,85; Сг — 1,10; Си— 0,88; А1 — 2,8; W — 0,48; Та — 0,54; РЬ — 0,81. Глубина проникно­ вения электронов для диапазона ускоряющих напряжений 0,5— 3000 кВ может быть выражена формулой [80]

рб = 10-s(/3/2,

где р — плотность вещества, г/см3; 6 — пробег, см; U — в кВ* Кривая 3 (рис. 23) представляет собой спенсеровское распре­

деление энергетических потерь [211], полученное в результате решения кинетического уравнения для бесконечной среды. Со­ гласно расчетам Спенсера, одномерное распределение энергетиче­ ских потерь быстрого электрона имеет максимум, положение которого в единицах пробега хшах = Zmax/r0 изменяется с по­ рядковым номером элемента г и в широких пределах не зависит от энергии электрона Е (например, для алюминия 0,02 МэВ ^ ^ Е ss 2 МэВ).

Значения теоретического полного траекторного пробега в не­ которых веществах могут быть получены путем численного ин­ тегрирования выражения

Авогадро; Ет — средняя энергия электронов, после того как они прошли некоторое расстояние х.

Уравнение (14) основано на предположении, что изменение пробега, зависящее от энергии электронов, равно обратной ве­ личине потерь энергии на длине пробега, т. е.

dS/dE - (dE/dSy\

Так как потеря энергии в единичном акте соударения является дискретным процессом, это соотношение приближенное. Решение Спенсера уравнения (14) в нерелятивистском случае в первом приближении имеет вид

где Е й — начальная энергия пучка.

Имеются результаты численных расчетов пробегов для элект­ ронного пучка с энергиями 25 кэВ и выше, падающего нормально на полубесконечную среду, сведенные в таблицы для углерода, алюминия, меди, олова, свинца и полистирола 185]. Эти резуль­ таты хорошо совпадают с результатами, полученными экспери­ ментальным путем (рис. 24).

Для расчетов теплового эффекта электронно-лучевого воздей­ ствия иногда используют модель распределения энергетических потерь Арчарда [185, 207]. Согласно этой модели электроны проходят в мишени некоторое расстояние Zd, называемое глубиной

полной диффузии, не отклоняясь, а затем рассеиваются диффузно по всем направлениям. Потерю энергии и полный пробег элект­ ронов в этом случае вычисляют по формуле Томсона—Виддингтона.

34

Кривая 4 (рис. 22) с максимумом на глубине полной диффу­ зии Zd соответствует модели Арчарда. Положение максимума энерговыделения в модели Арчарда (кривая 4), определяемое как Zd = 40ro/7Z, значительно отличается от более точного рас­ пределения Спенсера (кривая 3). Например, для алюминия по Спенсеру xnrdX *** 0,25, тогда как по Арчарду 0,44. Сосредоточен­ ность распределения энергетических потерь по модели Арчарда примерно в 2 раза выше, чем по модели Спенсера.

Для газовых поглотителей установлен экспоненциальный за­ кон изменения плотности тока электронного луча, найденный Ленардом [177]:

имеют место упругое и неупругое рассеяния. Упругое рассеяние происходит при столкновении электронов с ядрами атомов. При этом энергия налетающего электрона не изменяется, а изменяется лишь направление его движения.

В нерелятивистском случае (Е < т0с2) дифференциальное се­ чение упругого рассеяния электрона с энергией е на угол 0,

т0с2; фактор ц учитывает экранирование поля ядра атомными

При отсутствии экранирования формула (16) переходит в из­ вестную формулу Резерфорда:

—Z2e4

—cos 0)2

В релятивистском случае (Е т0с2) сечение упругого рас­

сеяния можно выразить в виде слабосходящегося ряда, который обычно рассчитывают численно.

Для случаев малых углов

где

Г (х) — гамма-функция.

Как видно из выражения (16), сечение рассеяния велико для малых углов. Поэтому, проходя слой вещества, электрон испы­ тывает некоторое число рассеяний на малые углы. Если число рассеяний велико, то согласно теории многократного рассеяния Вильямса, угловое распределение частиц можно описывать с по­ мощью распределения Гаусса.

Более строго проблема многократного рассеяния была рас­ смотрена в работах Гаудсмита и Саундерсона. В результате ре­ шения кинетического уравнения для рассеяния электронов (без учета потерь энергии) им удалось получить функцию распределе­ ния угла при многократном рассеянии в виде ряда по полиномам Лежандра:

// (t'Ydt' Pt (cos 0),

z=o

где /(0) — функция плотности вероятности, применимая к любым углам.

с электроном атома первый теряет часть своей энергии и изменяет направление движения. Атом при этом ионизируется или воз­ буждается. Средняя энергия, которую отдает быстрый электрон

36

Формулы (17) и (18) получены в предположении индивидуаль­ ного взаимодействия частиц, что допустимо, когда кулоновское взаимодействие между валентными электронами незначительно. Однако во многих случаях оно существенно, и быстрая заряжен­ ная частица передает часть своей энергии некоторому коллективу электронов, движущемуся согласованно вследствие их взаимо­ действия (коллективные электрон-электронные взаимодействия или плазменные колебания). С учетом электрон-электронных взаимодействий приближенная формула средних потерь энергии для металлов с хорошо определенной валентной зоной имеет вид

ных взаимодействиях., Первые слагаемые правых частей выражений (19) и (20) со­

ответствуют передаче импульса при сильных взаимодействиях, но в них, в отличие от формулы Бете, вместо потенциала иониза­ ции стоит импульс отсечки 7(с, который по определению является минимальным в области индивидуальных взаимодействий. Вторые слагаемые представляют потери на плазменные колебания.

В табл. 3, полученной Г. Е. Гореликом, приведены макси­ мальные пробеги электронов в алюминии, рассчитанные по фор­ мулам (17) и (18), а также экспериментальные данные.

Как видно из табл. 3, учет плазменных колебаний улучшает сходимость расчетных данных с экспериментом.

Часть энергии быстрого электрона при прохождении в твер­ дом теле теряется на возбуждение колебаний решетки. Однако потери на электронно-фононные взаимодействия на три-четыре порядка ниже ионизационных потерь, и ими можно пренебречь.

37

Например, максимальная доля энергии, передаваемой непосред­ ственно ядрам, определяется как отношение

АЕ _ 2 (Е + т0с%)

Е\800Ат0с%

исоставляет для электронов с £ = 150 кэВ в железе (А-56) при­ мерно 0,004%.

Таким образом, почти вся энергия быстрого электрона пере­ дается электронам атомов вещества. Вследствие большой разницы между массами электронов и ядер вначале наступает равновесие внутри электронной подсистемы, и лишь затем вступают в дей­ ствие процессы, ведущие к установлению некоторой общей темпе­ ратуры. Поскольку время, за которое электрон передает свою кинетическую энергию среде (хе ^ 10“12-ПСГи с), много меньше характерного времени изменения решеточнвй температуры, свя­

При неупругом столкновении налетающий электрон не только отдает часть своей энергии электрону атома, но и изменяет на­ правление своего движения. Для приближенного учета измене­ ния углового распределения налетающих электронов, обуслов­ ленного неупругими столкновениями, в выражение (16) вместо Z2

Пространственное распределение энергетических потерь электронов может быть получено методом Монте-Карло [29]. При решении методом Монте-Карло сложный стохастический процесс рассматривают как последовательность элементарных актов (рис. 25), причем конкретные значения параметров частиц после рассеяния определяют из соответствующих распределений с помощью случайных чисел.

38

акт взаимодействия, розыгрышем параметров из распределений для многократных процессов. При этом реальная траектория электрона заменяется приближенной, состоящей из набора от­ резков ti = рАхг-, г/см2.

Для моделирования процессов многократного рассеяния может быть использован метод Бергера [29], в соответствии с которым потери энергии электрона в неупругом рассеянии рассматривают как непрерывные, а шаги выбирают такие, чтобы на каждом отрезке терялась одна и та же часть начальной энергии

Ei+1 = kE£>

dE

При условии, что в пределах шага =- const получают

dt

где k — постоянный фактор уменьшения энергии за шаг; Е — энергия электрона.

При таком выборе t-t среднее угловое отклонение многократ­ ного рассеяния, пропорциональное E UxiEh мало изменяется от шага к шагу, что дает возможность использовать одно распре­ деление на целую группу шагов.

К концу траектории, имея малую энергию, электрон совер­ шает относительно большое число шагов, но на результирующее распределение энергетических потерь это влияет слабо. Поэтому в расчетах иногда целесообразно использовать шаги постоянной длины. Например, траекторию электрона разбивают на 20 шагов

39

по 0,05ro [29]. Радиус Бете г0 является удобным базисом для выбора величины шага, так как распределение рассеяния слабо меняется с изменением энергии падающего пучка, если про­ странственные координаты выражены через доли г0.

Удачный выбор ti позволяет ослабить некоторые существен­ ные недостатки теории многократного рассеяния. Дело в том, что в угловом распределении для многократного рассеяния не принимают во внимание потери энергии на упругое рассеяние, а в распределении потерь энергии при неупругом рассеянии не учитывают многократное рассеяние. Поскольку при розыгрыше углов каждый раз в качестве входной энергии берут энергию с учетом потери, удается хотя бы частично связать ранее неза­ висимые распределения.

Розыгрыш угла рассеяния частицы к концу шага осуществляют из соответствующего вероятностного распределения с помощью метода обратной функции. Обычно этот метод используют в тех

В результате вычислений методом Монте-Карло Г. Е. Горе­ ликом получено пространственное распределение энергетических потерь в полубесконечном образце из алюминия для электронов с энергией 128 и 30 кэВ, падающих нормально в точку Z = 0, г — 0.

Таблица 4

Пространственное распределение потерь энергии электрона в полубесконечнбй

40