книги / Основы электронно-лучевой обработки материалов

щей перпендикулярно стыку в зоне сварки, изменение темпера­ туры материала, включая и зону плавления с температурой Т —

ной прямой задачу оптимального режима регулирования терми­ ческого цикла [113], характеризующегося минимальным време­ нем тн и более длительным периодом времени тр.

В этом случае распределение температуры в конце нагрева

рования термического цикла распадается на три частные краевые задачи:

1)определение необходимых изменений параметров источника энергии, обеспечивающего наименьшее время нагрева от началь­ ного распределения температуры Т (х, 0) sg ТАСз до заданного распределения Т' (х);

2)определение управления источником энергии, обеспечи­ вающего наименьшее время охлаждения от температуры Т' (х), принимаемой за начальную, до заданного распределения темпера­ туры Т" (х) ==s Таг,;

3)определение управления источником энергии, обеспечи­

вающего более медленное охлаждение от температуры Т" (х) до

Преобразуем уравнение так, чтобы ограничение (313), наложен­ ное на функцию / (х, f), оказалось симметричным относительно начала координат. Для этого введем функции

Q (х, t) — T (х, t) — с/, 7/ (х, 0 = f (*» 0 — с.

Тогда уравнение (311) и условия (312), (313) принимают вид

Решение этого уравнения при указанных условиях получим, используя конечное косинус-преобразование Фурье

212

Здесь ц.„ = - у - , ф„ = JI ф (х) cos цпх dx (п = 0, 1, 2, ...) .

О

Решение первой частной задачи получают при помощи метода моментов для систем с распределенными параметрами. В случае

янные.

В соответствии с методом моментов для выполнения равен­ ства Q' (х) = Q (х, т') необходимо и достаточно, чтобы в соответ­ ствии с выражениями (314), (315) выполнялась система бесконечного числа равенств

213

Оптимальное управление f (х , т) в период нагрева опреде­ ляется выражением

Третью частную задачу можно решить в зависимости от дей­ ствия следующего импульса источника энергии, смещенного в на­ правлении оси X на величину перемещения источника в процессе сварки между действиями импульсов. Решение этой задачи имеет оценочный характер.

Для того чтобы при действии последующего импульса оценить скорость охлаждения выделенной узкой полоски (рис. 129, в), нужно при стыковой сварке пластин решать двумерную задачу

теплопроводности.

Приведенные выше частные задачи при выбранном конечном значении п можно решить с применением ЭВМ. При решении пер­ вой частной задачи принимают допущение, что источник распре­ делен по всему отрезку оси Оу от 0 до /. В действительности реаль­

ближение действия источника по ширине к действию реального источника с заданной точностью, необходимо задать такое рас­ пределение температуры Т' (х), которое достигалось бы при зна­ чении f (Ху т) ее 0 на отрезках (0, хх), (х2, /).

Задание такого распределения можно получить методом после­ довательных приближений до получения заданной точности дей­ ствия источника по ширине к действию реального источника. При

то коэффициенты ряда (315) принимают соответствующие значения

Т'0-=Тт1, Т'п = 0 (л =?• 1, 2, ...).

Условие (317) принимает вид

l0(Tm - c x ' l ) = l ,

откуда £0 может быть выражено через Тт, т',

214

Рис. 130. К задаче об оптимальном регулировании ширины зоны термического влияния при нагреве стержня

Для любых значений Тт > 0 минимум выражения (316) по пере­ менной равный 11с, достигается в этом случае при выполнении тождества

Таким образом, минимум выражения оказывается независи­ мым от этой переменной.

Время т' определяют из выражения

В результате при х г = 0, х 2 = / и условии (318) получают пре­ дельный случай (вырождение) задачи оптимального по быстро­ действию режима регулирования.

Рассмотрим задачу оптимального регулирования ширины зоны термического влияния при сварке плавлением двух пластин малой толщины [1661. Предел наименьшей ширины участка зоны терми­ ческого влияния в указанных интервалах температур очевидно равен нулю. Кривая распределения температуры, при которой ширина зоны термического влияния в интервале Т ЛРз — Тт равна нулю, должна иметь разрывы первого рода в точках мате­ риала, соответствующих этому интервалу температур. Такая кри­ вая распределения температуры Т ' (у) в направлении, перпен­ дикулярном стыку пластин, изображена на рис. 130, а.

Для уменьшения тепловложения температуру непосредственно в зоне сварного шва принимают равной температуре плавления по всей ширине шва от у г до у г. Очевидно, для получения такого рас­ пределения температуры (рис. 130) необходимо при нагреве иметь тепловой источник неограниченной мощности.

Если предположить, что такое распределение температуры до­ стигается в результате нагрева, то для сохранения предельной (равного нулю) ширины зоны термического влияния в интервале

215

Т Ar, — Tm при охлаждении необходимо обеспечить в зоне Плав­ ления бесконечно большую скорость охлаждения.

Естественно, что тепловой источник с ограниченным макси­ мальным и минимальным значениями мощности не обеспечит при нагреве и охлаждении предельную (абсолютный минимум) ширину зоны термического влияния в рассматриваемом интервале тем­ ператур. Поэтому задачу оптимального регулирования ширины зоны термического влияния разделяют на две частные задачи: 1) определение действия теплового источника, обеспечивающего наименьшую ширину зоны термического влияния в интервале тем­ ператур Тлс3— Тт при нагреве; 2) определение действия тепло­ вого источника, обеспечивающего наименьшую ширину зоны тер­ мического влияния в интервале температур Т Агх—Тт при охла­ ждении.

Для решения этих задач принимают условие, что процесс сварки выполняется в направлении оси X (рис. 130) импульсным источ­ ником энергии. Во время нагрева (первая частная задача) источ­ ник энергии принимают неподвижным в направлении оси X. Во время охлаждения (вторая частная задача) источник, есте­ ственно, должен быть отключен и в этот период он перемещается

внаправлении сварки для нагрева следующего участка стыка. Пусть источник имеет такую мощность и протяженность дей­

ствия импульса по оси X, что обеспечивает высокую среднюю ско­ рость сварки, эквивалентную скорости сварки некоторого непре­ рывного мощного быстродвижущегося источника энергии [153]. В этом случае можно принять линейную модель распространения тепла в направлении, перпендикулярном стыку свариваемых пластин.

Выделим в зоне действия импульса перпендикулярную стыку узкую полоску шириной Ах (рис. 130, б) и при Ах —>0 рассмотрим частные задачи регулирования ширины зоны термического влия­ ния при нагреве и охлаждении стержня длиной L Пусть время хп является периодом повторения импульса источника. Разделим этот период на два временных интервала: время нагрева т', соот­ ветствующее длительности импульса, и время охлаждения т ', соответствующее паузе между импульсами.

Допустим, что источник энергии распределен по всей длине стержня. Примем на концах стержня граничные условия второго рода, соответствующие условиям теплообмена на кромках свари­ ваемых пластин. Тогда решение неоднородного уравнения тепло­

216

будет определять распространение теплоты в стержне длиной

впроцессе его нагрева при граничных условиях второго рода. Решение с использованием конечного косинус-преобразования

Фурье получим в следующем виде: t i

Решение первой частной задачи оптимального регулирования ширины зоны термического влияния находят с помощью принципа максимума для систем с распределенными параметрами.

Пусть температура в каждой точке стержня изменяется по закону, описываемому выражением (319). Требуется найти такое кусочно-непрерывное управление, удовлетворяющее условию

которое минимизирует функционал

/ = Ji IQ' (I) — Q (S. T')]sd£. (321)

о

Функцию Q' (у) определяют по заданному распределению тем­

пературы Т' (у , t) при абсолютном минимуме ширины зоны терми­ ческого влияния, а время т' может быть задано, исходя из условия сварки (проплавления). В первом приближении время т' можно определить из тепловых расчетов при f (г/, t) = 2с.

Поскольку функция Q' (у) такова, что ни при каких значе­

ние, при котором функционал (321) достигает минимума, опре­ деляется интегральным уравнением

217

Принимая выражение Q' (у) в виде ряда

где

= е- ам£ Ь '-Т cos ряр.

Принимая для и конечное значение р, получают решение не­ линейного интегрального уравнения с вырожденным ядром в виде

где сь— неизвестные величины.

После подстановки этого решения в интегральное уравнение получим систему р + 1 нелинейных алгебраических уравнений

Таким образом, в результате применения принципа максимума первая частная задача оптимального регулирования ширины зоны термического влияния сводится к задаче определения управления импульсом, которое обеспечивает минимум квадратичного откло­ нения истинного распределения температуры Т (р, т') от задан­

218

периода повторения импульса определяется решением однород­ ного уравнения теплопроводности при заданном значении вре­ мени т" при соответствующих граничных условиях и начальном условии ф (у) = Т (уу т').

Систему нелинейных алгебраических уравнений (323) решают с помощью ЭВМ. В результате решения получают значения сп, с помощью которых по формуле (322) определяют пространственновременную структуру распределения импульса источника энергии.

При решении первой частной задачи принято допущение, что источник распределен по всей длине стержня. Фактически дей­

действия источника по ширине к действию реального источника необходимо, чтобы кривая распределения температуры Т' (у) на

= 1, 2, ...)• Решение системы уравнений (323) очевидно определяется зна­

чениями

k = T J — 2ст7, сл = 0, п-= 1, 2, . ..

При 2ст' = Тгп получается предельный случай (вырождение) задачи о минимуме квадратичного отклонения истинного рас­ пределения температуры от заданного.

КОНТРОЛЬ И РЕГУЛИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОННО-ЛУЧЕВОГО НАГРЕВА

Контроль степени нагрева при импульсном электронно-луче­ вом воздействии. На основе экспериментальных данных о кине­ тике процесса электронно-лучевого воздействия разработаны ме­ тоды контроля степени нагрева материала электронным лучом.

Описываемый ниже способ контроля параметров процесса элек­ тронно-лучевого воздействия заключается в регистрации комп­ лексного параметра q2 = AlU/nd2, т. е. по существу интенсив­ ности нагрева.

В процессе воздействия основные параметры электронного луча /, Uу d могут произвольно меняться по ряду причин. Напри­ мер, вследствие пульсаций (ускоряющего напряжения, накала ка­ тода, фокусирующей линзы и др.) в источниках питания изменяется как величина тока луча, так и его диаметр. Кроме того, механи­ ческие свойства материала, например при сварке в пределах

219

тронов.

После того как ток, проходящий через деталь, устанавливается, спустя некоторое время, его величина начинает резко падать (рис. 131). Это связано с интенсивной термоэмиссией из зоны обра­ ботки вследствие перегрева ее поверхности. Если над зоной обра­ ботки или вблизи ее установить датчик в виде пластины, кольца, стержня ит. п., то можно видеть, что изменение тока в датчике пол­ ностью повторяет таковое в детали, но в противоположном направ­ лении. Когда ток, проходящий через деталь, достигает минимума (рис. 131, точка Л), а на датчике— соответственно максимума, начинается так называемое глубокое, или кинжальное, проплавле­ ние, т. е. углубление ванны (канала) в материале. Стенки ванны поглощают вторичное излучение с ее поверхности (отраженные электроны и термоэлектроны), поэтому ток, проходящий через деталь, начинает увеличиваться; далее по мере действия луча вследствие значительной глубины ванны (канала) он устанавли­ вается примерно на уровне 90—95% первичного тока и изме­ няется мало.

Время At от начала импульса до момента достижения макси­ мального тока в датчике называют задержкой испарения. По ве­ личине этого времени можно определить удельную мощность. Время задержки испарения

At = a/v2,

где а — коэффициент температуропроводности, см2/с; v — ско-

220