книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

оказались недостаточными, и поэтому было проведено геохими­ ческое исследование, основанное на анализах водных потоков. Было выбрано семь переменных и проведено две последова­ тельности измерений. Группа А состоит из измерений, Сделан­ ных в потоках, дренирующих площади, на которых имеются действующие шахты и подтвержденные рудные тела. Группа Б состоит из аналогичных измерений на площадях, на которых оруденение не обнаружено. Данные по этим площадям приведе­ ны в табл. 6.7. Вычислите дискриминантную функцию для про­ дуктивного и непродуктивного районов. Определите, являются ли различия между двумя группами значимыми, и исследуйте относительное влияние используемых переменных. Для удобст­ ва в этом примере предполагается, что изучаемые совокупности обеих групп подчиняются многомерному нормальному распределешио. В табл. 6.7 иркв-эдсн , пкже ряд измерений (груп­ па В), сделанных на площадях, относительно которых не изве­ стно, разведывались ли они когда-нибудь. Используя дискрими­ нантную функцию, ответьте на вопрос, можно ли рекомендо­ вать какую-либо из этих площадей в качестве перспективной для разведки.

ПЕРЕХОД ОГ ОДНОМЕРНОЙ СТАТИСТИКИ К МНОГОМЕРНОЙ

В гл. 2 были рассмотрены некоторые простые геологические задачи, которые можно решать с помощью элементарных ста­ тистических методов.

Начнем изложение многомерных методов в геологии с рас­ смотрения прямых обобщений этих простых критериев. Напом­ ним, что характеристики изменчивости, связанные с наиболее естественными явлениями природы, обычно описываются нор­ мальным распределением. Это отражает так называемую цент­ ральную предельную теорему, которая гласит, что распределе­ ние случайной величины, являющейся суммой п независимых случайных величин при больших п, можно приближенно счи-

232

тать нормальным. Именно это свойство позволяет использовать нормальное распределение в качестве основы статистических критериев и считать его отправным пунктом при построении других распределений, таких, как t-, F- и х2'РаспРеДеления. Понятие нормального распределения можно распространить на ситу 1ЦНИ, в которых наблюдения содержат много переменных.

Предположим, что мы отбираем образцы пород на некото­ рой площади и измеряем некоторый набор характеристик каж- ;ого из них. Измерения могут представлять собой значения нмнческих и минералогических характеристик, удельного веса, юрактерпстик магнитных н радиоактивных свойств, а также любые из бесчисленного множества возможных переменных. ; 1абор измерений, сделанных на индивидуальном образце поро­

:НОжество измерений, представляющих вектор [X], случайно

.■звлечеио из совокупности, которая возникла в результате воз­ действия многих независимых факторов, то наблюдаемые векюры приближенно можно считать имеющими многомерное нормальное распределение. Каждая переменная, рассматривае­ мая отдельно, имеет нормальное распределение со средним значением \ik и дисперсией о*2- Совместное вероятностное распоеделение является /п-мерным эквивалентом нормального рас­

■исперсию, которая представлена в виде диагональной матрицы:

ное нормальное распределение характеризуется вектором сред­ него н матрицей дисперсий н ковариаций, являющейся много­ мерным аналогом дисперсии одномерной нормальной случайной величины. В простом случае при т —2 форма поверхности нор­ мального распределения напоминает колокол (см. рис. 2.13), «карта в изолиниях» которого представлена на рис. 6.5. Хотя распределения переменных Xt и Х2 изображены вдоль соответ­ ствующих осей, наиболее существенные черты совместного рас­ пределения лучше характеризуются большой и малой осями эллипса. Многие из многомерных задач, которые будут рас-

233

на т р е х м е р н а я д и а г р а м м а т о г о ж е р а с п р е д е л е ­ ния

I 1 __!__I !---1 - 3 - 2 1 0 ) 2 3

смотрены ниже, связаны с относительной ориентацией этих полуосей.

Одним из самых простых критериев, которые рассматрива­ лись в гл. 2, был ^-критерий, используемый для проверки пред­ положений, что случайную выборку из п наблюдений можно считать извлеченной из нормальной совокупности с некоторым средним р0 и дисперсией о2. Критерий, заданный форму­ лой (2.32), может быть переписан в виде

Очевидное обобщение этого критерия на многомерный слу­ чай состоит в замене X вектором выборочного среднего [А'], ро— вектором среднего совокупности [р] и s2— матрицей дис­ персий и ковариаций.

Обозначим вектор среднего_совокупностн через [р], вектор выборочного Среднего через [А], матрицу дисперсий и кова­ риаций через [S2]. Будем считать [X] и [р] векторами-столб­ цами, хотя можно было бы считать их и векторами-строками. Разность между вектором выборочного среднего и вектором среднего совокупности можно записать в виде [X—р] = [А] —

—[р]. Подставляя эти величины прямо в формулу (6.28), полу­ чаем

p- р ]

Ксожалению, очевидных способов решения этого уравнения не существует, поэтому с его помощью получаем единственное значение t. Применяя этот критерий, и в числителе, и в знаме­ нателе вместо вектора и матрицы нужно иметь числа. Если стол­ бец [А—р] умножить на вектор-строку, имеющую такое же число элементов, то в результате получится число. Определим произвольную вектор-строку [Л], в результате транспортирова­ ния которой получается вектор-столбец [Л]'. Умножение век­

234

тора-строки [Л] на вектор-столбец разности [X—р] дает чис­ ло, и умножение [s2] слева на [А] и справа на [Л] снова дает число, т. е. наш критерий принимает вид

I [Л][Х —р] у п

Ml • МП-41' •

возможное значение проверяемой статистики. Действительно, если гипотеза Но* отклоняется при любом [Л], то гипотеза Но гоже отклоняется, Проделав ряд несложных преобразований, можно определить условия, при которых достигается макси­ мальное значение статистического критерия для произвольного

пеключнть причиняющие неудобство квадратные корни. Это приводит также к возведению в квадрат значения критерия, ко­ торое теперь обозначим Т2. Выполнив все преобразования, най­ дем, что статистический критерий можно представить в виде

.it-пня критерия находим матрицу, обратную ковариационной м.е.рпце, умножаем ео слева па вектор-строку [X—р]' и затем выполняем умножение справа на вектор-столбец той же раз­ ности. Полученная статистика является многомерным обобще­ нием /-статистик:; и называется Т--статистикой Хптел.шнга в честь математика, который впервые ее использовал. Критиче­ ские значения Т1 определяются с помощью соотношения

где п — число наблюдений, а т — число переменных. Эта фор­ мула позволяет для определения критических значений вместо специальных таблиц /^распределения использовать более удобные таблицы /"-распределения. Более полное изложение

235

вопросов, связанных с ^-критерием, дается во многих руковод­ ствах, например в монографии Моррисона [51].

Хотя формула Р-критерия (6.29) имеет очень простой вид, его вычисление для заданных числовых характеристик может оказаться очень трудоемким. Например, предположим, что из­ мерены содержания четырех элементов в семи пробах лунного грунта. Требуется проверить гипотезу, что эти пробы извлечены из совокупности, имеющей то же среднее значение, как и кон­ тинентальные базальты. Предположим, что взяты наши средние значения из «Справочника физических констант» [9]. Крите­ рий Хотеллннга Т2 оказывается вполне пригодным для провер­ ки гипотезы о том, что вектор средних значений лунных проб не отличается от вектора средних значений базальтов, приве­ денных в справочнике.

вычисляем вектор разностей между выборочными средними н

чение Т2. Из этого описания легко видеть, что объем вычисле­ ний быстро растет с увеличением числа переменных.

Данные по семи лунным пробам, так же как и вектор сред­ них, приведены в табл. 6.8. В этой таблице даны также проме­ жуточные результаты вычислений и окончательное значение Т2. Вычислите эквивалентное значение f -критерия с п и т степеня­ ми свободы и проверьте гипотезу, заключающуюся в том, что вектор средних значений лунных проб равен вектору средних значений совокупности континентальных базальтов.

Мы подробно остановились на рассмотрении Р-критерня для проверки гипотезы о среднем не потому, что этот критерий используется в геологии чаще, чем другие многомерные крите­ рии, а чтобы показать тесную связь между обычными и много­ мерными статистическими методами. Для большинства одно­ мерных критериев можно прямо указать соответствующие мно­ гомерные аналоги вместе с соответствующими основными допу­ щениями. Однако при переходе от обычной алгебры к матрич­

собой обобщение одномерных, то последние являются частным случаем многомерных.

В оставшейся части этого раздела рассмотрим многомерные критерии, являющиеся m-мерными эквивалентами некоторых критериев, рассматривавшихся в гл. 2. Однако не будем указы­ вать детали обобщенного перехода от одномерного варианта к многомерному, как это было Сделано при построении 7’2-кри-

236

Т а б л и ц а 6.8

Содержание четырех элементов в семи лунных пробах и средние значения

М а т р и ц а, о б р а т н а я к о в а р и а ц и о н н о й матрице

Р = 11,93

терпя. Подобные рассуждения можно найти во многих руковод­ ствах по многомерному статистическому анализу. Некоторые из них указаны в списке литературы в конце этой главы.

Проверка гипотез о равенстве двух векторов средних значений

Рассмотренный только что критерий, предназначен для проверки предположения о том, что вектор среднего значения, оцененный по одной выборке, равен заданному вектору. Рас­ смотрим теперь следующую задачу. Предположим, что мы рас­ полагаем двумя независимыми случайными выборками и хотим проверить гипотезу о равенстве истинных значений их векторов средних. Допустим, что две выборки взяты из многомерных нормальных совокупностей с одинаковыми неизвестными кова­ риационными матрицами [22] , тогда нулевая гипотеза может

237

быть записана в виде Н0: [|Lti] = [цг], а множество альтернатив в виде H i :

Согласно гипотезе Я0 вектор средних значений совокупно­ сти, из которой взята первая выборка, такой же, как и анало­ гичный вектор второй совокупности.

Для проверки этой гипотезы используется многомерный эквивалент критерия (2.33). Рапсе при вычислении t исполь­ зовалась объединенная оценка дисперсии совокупности, постро­ енная по двум выборкам. В многомерном же варианте нужно вычислить объединенную оценку [sp2] ковариационной матрицы для двух многомерных выборок. Для этого вычисляется матри­ ца сумм квадратов и смешанных произведений по каждой выборке. Будем использовать такую же терминологию, как и в гл. 2, и обозначим матрицу сумм квадратов и смешанных про­ изведений первой выборки через |ДЯ,], а аналогичную матрицу

После _того ка_к найдена разность между двумя векторами средних [X,] и [Х2] или [X.—Х2], Т2— критерий примет сле­ дующий вид:

Для определения критического значения Яо-статнстикп мож­ но воспользоваться Я-распределением, т. е.

сm и (И!+«2—m—1) степенями свободы [51].

Втабл. 6.9 приведены данные семи анализов океанических базальтов Тихого океана на те же четыре элемента, что и в табл. 6.8. Предполагая, что обе выборки извлечены из много­ мерных совокупностей с нормальным распределением и с одина­

образцов одинаковы. В таблице приведены необходимые вы­ числения. Является ли нулевая гипотеза о равенстве многомер­ ных средних приемлемой при 5%-ном уровне значимости (а = 0.05)?

Равенство ковариационных матриц

Основное допущение, на котором основаны два предыдущих критерия, заключается в том, что выборки считаются взятыми из совокупностей, имеющих одну и ту же ковариационную.

2 3 8

Т а б л и ц а 6.9

Содержания четырех элементов в семи пробах тихоокеанских базальтов, %

матрицу. Это многомерный аналог предположения о равенстве дисперсий, лежащем в основе применения ^-критерия для про­ верки гипотезы о равенстве средних значений. На практике предположение о равенстве может нарушаться, так как выбор­ ки. имеющие высокое среднее значение, часто имеют также н большую дисперсию. Как указывалось в гл. 4, такое поведе­ ние характерно для многих геологических характеристик, та­ ких, например как значения содержаний редких элементов. Равенство ковариационных матриц можно проверить с по-

239

мощью «критерия обобщенных дисперсий», являющегося мно­ гомерным эквивалентом Е-критерия [51].

Предположим, что имеется k групп наблюдений и в каждой из них т переменных. Для группы с номером i вычислим кова­

Hr. [^2]^ [S /2J.

Согласно нулевой гипотезе все совокупности имеют одина­

купности k выборок идентичны, то выборки можно объединить с целью получения обобщенной оценки ковариационной матри­ цы. Такая оценка вычисляется по формуле

В этом критерии за основу принята разность между лога­ рифмом определителя обобщенной оценки ковариационной матрицы и средним значением логарифмов определителей вы­ борочных ковариационных матриц. Если все выборочные ма­ трицы одинаковы, то эта разность будет несущественной. По мерс увеличения отклонений дисперсий и ковариаций выборок друг от друга эта статистика возрастает. Так как таблицы кри­

24 0

В тех Случаях, когда k и гп не превышают 5 и каждая оцен­ ка ковариационной матрицы строится на основании не менее 20 наблюдений, '/--аппроксимация наиболее точна. Используя этот критерий, проверьте гипотезы о равенстве ковариационных матриц по двум выборкам, приведенным в табл. 6.8 и 6.9. Для вычисления значения критерия необходимо подсчитать оп­ ределители трех матриц четвертого порядка [si2], [s22] и [sp2]. Как только определители будут вычислены, получение значения критерия уже не вызовет затруднений. Для удобства предполо­ жим, что объемы выборок достаточно велики для того, чтобы /^-аппроксимация была точной.

С. целью иллюстрации процедуры проверки гипотез с ис­ пользованием многомерных статистик решим следующую зада­ чу. При этом заранее предположим, что число выборок допу­ скает возможность применения некоторой аппроксимации.

В Восточном Канзасе на некоторой территории вся питьевая вода добывается из скважин. Одни из них пробурены в аллю­ виальных отложениях долин рек, другие пронизывают водонос­ ный известняковый горизонт, являющийся источником много­ численных ключей в данном районе. Население предпочитает пспильзовать воду из аллювиальных отложений, так как счита­ ет, что она вкуснее. Однако водные ресурсы аллювия ограниче­ ны л иногда желательно было бы пополнить их за счет извест­ някового водоносного горизонта.

Для того чтобы доказать, что качество воды из этих двух источников одинаково, были взяты пробы в разных скважинах Пцобы анализировались па содержание тех химических компо­ нентов. которые определяют качество воды. Некоторые из этих ; нализов приведены в табл. 6.10. В пей также представлены ковариационные матрицы, их обратные матрицы и определите­ ли для двух заданных совокупностей и для объединенной вы­ борки. По этим данным модою проверить гипотезу о равенстве векторов средних значений. Предполагается, что выборки взять: случайно из многомерных совокупностей с нормальным распре­ делением.

Используя статистику М, определенную по формуле (6.35), проверим сначала гипотезу о равенстве ковариационных матриц двух совокупностей:

М = (20 + 20 — 2)In 2,0725-108 — (19 In 1,8838-108 + Ч-19 In 2,2582 - 10s) = 0,1835.