книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

Рис. 5.91. Двумерные синусоидальные волны:

а —единственная гармоника в направлении оси Лб; б — две гармоники в на­ правлении оси Jf,; в — единственная гармоника в направлении обеих осей Х| и Хг\ г — две гармоники в двух направлениях

имеют нулевую амплитуду, и лишь одна гармоника в другом направлении имеет амплитуду больше нуля. Результирующая поверхность напоминает гофрированную железную крышу или ряд параллельных волн на гладкой поверхности воды (рис. 5.91, а). Кроме того, можно рассмотреть поверхность, в которой

172

волны двух гармоник имеют одинаковое направление и нет ни одной волны в других направлениях (рис. 5.91,6). Очевидно, эти поверхности являются прямыми обобщениями одномерных сигналов, аналогичных тем, которые изображены на рис. 4.53.

имеют одну и ту же амплитуду п длину волны, то результирую­ щая поверхность напоминает вафлю или картон для упаковки яиц (рис. 5.91, в). Еще более сложная поверхность изображена па рис. 5.91, г. Очевидно, что, используя двойные ряды Фурье, можно построить сколь угодно сложную поверхность.

Если основные длины воли в двух взаимно перпендикуляр­ ных направлениях меньше, чем размеры картируемой площади, го поверхность Фурье несколько раз уложится на этой площа­ ди. Такая процедура применяется лишь в очень редких случаях, например при изучении гармонических складок. Обычно же дли­ на основной волны выбирается таким образом, чтобы она пре­ вышала длину карты, и повторение оказывалось ненужным. Вы­ бор длины двух основных волн ?ч и Лг и начала отсчета для дву­ мерных рядов, вообще говоря, произволен. Если подобрать до­ статочное число гармоник двойного ряда Фурье, то при разных длинах основных волн и началах отсчета можно получить оди­ наковые карты тренда. Несмотря на то, что вклады отдельных гармоник будут меняться от карты к карте, форма поверхности тренда в сущности остается неизменной.

При построении двойных рядов Фурье используется в сущнотп та же модель, что и в анализе поверхностей тренда. Карти­ руемая переменная У,, считается функцией линейного тренда среднего значения У;( по всей карте некоторой региональной компоненты, а также локальной компоненты, совмещенной со случайной компонентой. Именно эта модель неявно подразуме­ вается при большинстве анализов, выполняемых на основании двойных рядов Фурье, особенно тех, которые посвящены иссле­ дованию структурной деформации слоистых осадочных пород [37]. Другие исследования, такие, как изучение распределения рудных тел в некотором регионе или выяснение химического или минерального состава пород, основываются на более известных моделях теории временных рядов [1]. При этом распределение

рассматривается как функция линейного тренда, различных периодических компонент и случайной компоненты. Как и в пер­ вой модели, линейный тренд лучше устранить до выполнения анализа с помощью двойных рядов Фурье. Эти две модели отли­ чаются тем, что в первой просто стремятся разделить изменчи­ вость на крупномасштабную и мелкомасштабную, в то время как во второй делаются попытки дать физическую интерпрета­ цию более значимым гармоникам. Следовательно, модель вре­

173

менных рядов более предпочтительна, и так как в ней делаются; попытки извлечь больше информации, она соответственно тре­ бует более точных данных.

В другой модели мы предполагаем, что распределение в пре­ делах карты может быть представлено двойным степенным ря­ дом. Этот ряд является прямым обобщением ряда (4.87) и име­ ет вид

гармоник в направлениях Хх и Х2, пх и п — числа равномерно расположенных наблюдений в каждом из двух направлений, Хц и Х2з обозначают наблюдения в точках Х\ = i, Х2 = ). Как и в простом ряде Фурье, если предположить, что числа наблюдений от 0 до П\ и от 0 до п2 составляют полные множества доступ­ ных выборочных данных, то верхние пределы суммирования бу­

дробные выражения в каждом члене есть не что иное как про­ стое преобразование Xij в радианы.

Если ввести те же сокращенные обозначения для членов ря­ да, которые были использованы в гл. 4, то запись двойного ря­ да Фурье можно упростить. Пусть

174

Записав двойные ряды Фурье в таком виде, можно получить систему нормальных уравнений для неизвестных коэффициен­ тов и решить ее точно таким же образом, как это делалось для уравнений поверхности тренда [40]. Однако так как в уравне­ ние входят дважды индексированные коэффициенты и в каж­

упрощенных обозначениях полученные уравнения оказываются сложными. Структура матрицы сумм и смешанных произведе­ ний станет яснее, если мы введем обозначения для ее строк и столбцов, как это было сделано для простого ряда Фурье в гл. 4, Матрица сумм п произведений [Л] входит в матричное

ду У и различными гармониками. Мы находим неизвестную мат­ рицу [р] с помощью матричных операций обращения и умноже­ ния': № = [А\~'.\С].

Матрица сумм и смешанных произведений вычисляется на основании разложения в ряд Фурье с любым заранее заданным

2(c3st)2 ...2 c3s\skls;,

2 sklslczs\ ... 2 (s*X)2

175

Так как для каждой гармоники необходимо вычислить четы­ ре коэффициента, то матричное уравнение при большом числе гармоник становится очень сложным. Например, вычисление коэффициентов для пяти гармоник в двух направлениях требу­ ет определения примерно сотни коэффициентов.

При обсуждении одномерных рядов Фурье (см. гл. 4) ука­ зывалось, что синус угла, равного нулю градусов, есть нуль; это приводит к тому, что члены

обращаются в нуль, если п или т равно нулю. Поэтому все чле­ ны ряда, содержащие синус пулевой гармоники, равны нулю, а один столбец и одна строка матрицы сумм и произведений обращаются в нуль. Столбец и строка, соответствующие нуле­ вым элементам матрицы, заштрихованы на рис. 5.92. С0 и С0* равны 1,0, так как косинус нуля градусов равен единице. Это позволяет упростить выражение одной строки и одного столбца матрицы, содержащей эти члены. При расположении коэффи­ циентов, изображенном на рис. 5.92, блок 0 содержит только один член, порождающий горизонтальную плоскость, соответст­ вующую значению этого коэффициента. Блок 1 состоит из вось­ ми членов, каждый из которых представляет поверхности, соот­ ветствующие длинам основных волн. Блоки 0 и 1 в совокупности составляют коэффициенты первой гармоники поверхности трен­ да. Блок 2 содержит 16 дополнительных членов, которые пред­ ставляют поверхность гармоники, имеющей длины волн, рав­ ные половинам длин основных волн. Полная вторая гармоника

аналогичных тем, для которых использовался полиномиальный тренд-анализ. Аппроксимирующая функция, построенная но гео­ графическим координатам заданных точек, подбирается к нере­ гулярно расположенным в пространстве данным. При обобщении представления аппроксимирующей функции наша цель — разде-

176

Число гармоник в направлении Х^

т

Рис, 5.92, Коэффициенты двойного ряда Фурье, расположенные в соответст­ вии с длинами волн [40].

Заштрихованные квадраты соответствуют нулевым коэффициентам

лить изменчивость данных на две компоненты: региональный гронд, представленный подобранной функцией, и локальные остатки, характеризующие отклонения от поверхности тренда. В тех случаях, когда данные содержат пространственно повто­ ряющиеся элементы, ряды Фурье оказываются более подходя­ щими аппроксимирующими функциями, чем степенные ряды. Так как точный подбор поверхности к выборочным данным со­ всем не обязателен (даже нежелателен), то для проведения анализа достаточно ограниченного числа гармоник.

Обычно в задачах тренд-анализа данные располагаются не­ регулярно, и поэтому для вычисления коэффициентов Фурье нужно решить общую систему нормальных уравнений (5.97). В связи с тем что порядки матриц, с которыми приходится опе­ рировать, оказываются очень большими, на малых ЭВМ удает­ ся вычислить лишь несколько гармоник. Например, на рис. 5.92

показано, что для получения двойного ряда Фурье всего лишь с тремя гармониками требуется вычислить 49 коэффициентов, а матрица, обращение которой требуется для нахождения этих коэффициентов, содержит 2450 элементов! При этом мы вы­ нуждены учитывать не только допустимый объем памяти ЭВМ, но и ошибки округления, которые устрашающе растут при об­ ращении матриц очень больших порядков. Из-за этих ограниче­ ний мы не пытались писать программу анализа с применением двойных рядов Фурье. Основные вопросы, связанные с построе­ нием такой программы, были рассмотрены при написании про­ граммы полиномиального тренд-анализа, и требуемая програм­ ма явилась бы лишь громоздким, но прямым ее обобщением.

Однако если наши наблюдения получены в результате опро­ бования по регулярной сети, из этого вычислительного тупика можно найти выход. В этой ситуации все недиагональные члены (смешанные произведения) нормальных уравнений обращаются в нуль. Матрица, которую требуется обратить, становится диа­ гональной, и решение матричного уравнения осуществляется просто. Более того, в этом случае можно вычислить много гар­ моник, а не ограниченное их число, как это приходится делать при решении общих уравнений для двойного ряда Фурье. Это открывает возможности осуществления двумерного гармониче­ ского анализа н содержательного изучения спектров карт, фото­ графий и вообще различных изображений.

Методы двойных рядов Фурье обычно используются в двух больших группах геологических задач. Одна из них включает поиск значимых периодичностей в поведении концентраций ме­ таллов в пределах рудных зон и в размещении рудных тел в пределах металлогенической провинции. Многие месторождения твердых полезных ископаемых тесно связаны с системами раз­ ломов, которые в свою очередь являются следствием региональ­ ных деформаций. В расположении этих систем в больших регио­ нах земной коры может проявиться некоторая периодичность пли регулярность. Если это верно и удается получить некоторые оценки спектра разломов, то можно сделать и некоторые пред­ сказания. Используя результаты анализа пространственных длин волн между известными рудными месторождениями, мож­ но указать местоположения других возможных месторождений. Та же идея была использована, но в меньшем масштабе, при изучении отдельных рудных месторождений с целью определе­ ния перспектив развития рудника.

Широкое распространение в нефтяной геологии получило совместное применение двойных рядов Фурье и двумерных ме­ тодов фильтрации [67J. При этом вычисляется двумерный энер­ гетический спектр структурной карты в изолиниях, по которому определяются пространственные длины волн. Затем фильтры (являющиеся не чем иным как разновидностью скользящих

178

средних) используются для отделения этих установленных длин волн и для выявления структурных характеристик заданного типа и (или) ориентации для структурной карты. Выявленные положительные аномалии могут быть связаны с нефтью. Опыт­ ные исследователи могут обнаружить в осадочных толщах структуры, которые отражают деформацию подстилающих по­

они оказывают значительную помощь при разведке и предска­ зании месторождении на более глубоких горизонтах.

Вторая группа геологических задач связана с применением двумерного анализа Фурье при изучении размещения зерен ми­ нералов в шлифах и для исследования пористости пород в пре­ делах нефтеносного бассейна [23]. В последней работе авторы стремились к получению простых численных характеристик для описания чрезвычайно сложных картин пористости в песчаниках и известняках и в целях их использования для оценки прони­ цаемости этих пород. Такие характеристики были получены из четкого спектра изучаемой породы. Рассматриваемые данные представляют собой замеры оптической плотности в точках на фотографии шлифа, на которой зерна породы выглядят черны­ ми, а поры — белыми. Фотографии были подвергнуты числовой обработке с помощью электронного устройства, которое изме­ ряет оптическую плотность в тысячах точек, расположенных на регулярной пространственной сетке. Эти данные затем подвер­ гаются преобразованию Фурье, в результате чего получаем дву­ мерный спектр. Дальнейшие преобразования позволяют опреде­ лить нужные параметры спектра, а последние используются в моделях, предсказывающих поведение флюида в изучаемых по­ родах.

Недавно создан метод, обобщающий анализ Фурье для одной ч двух переменных, названный быстрым преобразованием Фуры. (FFT), а также вычислительный алгоритм, позволяющий значи­ тельно сократить время вычислении и облегчить практический анализ больших массивов данных. В сочетании с вычиелптель- 1ым устройством специального назначения этот алгоритм, обес­ печивающий численное представление сейсмической записи, по учил большое распространение в геофизической разведке. Методы, использующие быстрое преобразование Фурье, нашли гримекенне в других областях анализа временных рядов и про­ странственного анализа, даже несмотря на то что потребова лпсь дополнительные ограничения на объем и структуру рас­ сматриваемого набора данных. Этот метод позволяет достичь большого быстродействия благодаря ряду специальных матрич­ ных преобразований, которые можно сравнить с построением «циклической» матрицы, в которой начало ряда значений поме­

щается в центр, а данная последовательность «вращается во­ круг» центра. Применяемые при этом операции состоят в умно­ жении со сдвигом и сложении соседних элементов. Вычислитель­ ная схема этого метода, необходимая для составления програм­ мы FFT, выходит за рамки дайной книги, и поэтому мы не бу­ дем на ней останавливаться. Однако как одномерная, так и двумерная программа FFT допускают очень широкую область использования и могут быть включены в программу, которую мы изложим ниже, если объем данных окажется подходящим. Хорошее описание алгоритма FFT приводится в книге Кокрана

идр. [16].

Вгл. 4 указывалось, что в случае равномерного пространст­ венного размещения данных можно построить систему уравне­ ний, которая позволяет вычислить коэффициенты ряда Фурье непосредственно, без каких-либо матричных преобразований. Эти уравнения можно распространить на двумерный случай, хотя при этом вместо двух коэффициентов для каждой гармо­ ники придется определять четыре. Тем не менее метод имеет значительное преимущество по сравнению с общим методом, так как позволяет вычислять большое число гармоник. Это зна­ чит, что мы можем произвольно выбирать множество длин ос­ новных волн и затем исследовать большое число гармоник для отыскания пространственных периодичностей. Введение в двой­ ной анализ Фурье для сетей при геологическом опробовании дано в книге Харбуха и Мерриэма [37]. Математические основы двумерного анализа Фурье содержатся в книгах Коута и др.

[18]и Райнера [64].

Если данные собраны по регулярной сети, мы можем произ­ вольно определить длину фундаментальной волны в направле­ нии оси Х и а именно принять сс равной длине набора данных в этом направлении или Аналогично длину основной волны в направлении оси Х2 можно взять равной п2. Далее легко вычис­ лить коэффициенты любой гармоники с помощью уравнений

180

iдо k = \ , если &, = 0 и &2 = 0; k = 2, если k — Q или k2 = 0 , но не одновременно; k = A, если k\>0 и k2 >0; k\ — гармоническое чис­ ло в направлении Xf, k2 — гармоническое число в направлении п]— число точек сети в направлении X,; п2 — число точек се­ ти в направлении Х2. В этих формулах предполагается, что на­

чало гармонического ряда соответствует началу координат сиск'.мы переменных X, и Х2. Гармоники могут быть вычислены вплоть до значений &i = «i/2 и ^ = «2/2 , а гармоники с больши­ ми номерами могут быть оценены лишь по нескольким точкам на волну. Поэтому результаты для гармоник с большими номе­ рами оказываются менее надежными, чем для гармоник с малы.ми номерами.

Вычислив коэффициенты Фурье, мы можем найти энергети­ ческий спектр по формуле, являющейся двумерным обобщением формулы (4.96):

Однако исходный спектр является только оценкой вкладов гармоник в дисперсию, и, подобно всем выборочным оценкам, они могут значительно отклоняться от спектра истинной сово­ купности. Исходный спектр становится более устойчивым или лучше оценивает спектр совокупности при стремлении объема выборки к бесконечности, но мы не можем бесконечно брать пробы и на некотором этапе вынуждены закончить анализ. На­ шу оценку выборочного спектра можно улучшить путем сглажи­ вания, так как соседние гармоники оказываются близкими, и процедура усреднения приводит к тому, что они сходятся к об­ щему значению. Сглаживание выполняется с помощью метода, рассмотренного в разделе о двумерном скользящем среднем. Ве­

в котором представляют интерес как тренд Фурье, так и спектр. Волноприбойные знаки, сохранившиеся на плоскостях напласто-

181