книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

Ур, оцениваются по точкам, размещенным в пространстве по­ добно У,, то оценка дисперсии может быть вычислена как средняя квадратичная разность между этими парами то­ чек. Для удобства можно обозначить эти оцененные значения через Ypi и другие оценки через Уи. Тогда

t=i

Если это уравнение сравнить с (4.71), то ясно, что оценка дисперсии равна удвоенной нолувариограмме для расстояния, равного интервалу, разделяющему точки Ypt- и У,,.

В данном случае выбрана одна частная комбинация весов для получения оценки Yp и для определения ошибки оценки. Имеется бесконечное множество способов комбинирования ве­ сов, которые должны быть выбраны, и каждый из них дает различную оценку и различную ошибку оценки. Однако имеет­ ся только одна комбинация, которая будет давать минимум ошибки оценивания. Именно эту комбинацию весов и позволя­ ет найти крайгинг.

Получение уравнений крайгинга требует вычислений и здесь не рассматривается. Простое изложение этого вопроса содер­ жится в [13J, а полный вывод уравнении дан Олеа [62] для случая точечного крайгинга. Оптимальные значения для весов можно найти решением системы совместных уравнении, кото­ рые включают значения из вариограммы оцениваемой пере­ менной. Эти веса оптимальны в том смысле, что окончательные оценки являются несмещенными и имеют минимальную оценку дисперсии. Никакая другая линейная комбинация наблюдений не может дать оценки, которые имеют меньшее рассеяние от­

112

ния между известной точкой 1 и точкой р, в которой произво­ дится оценка. Матрица в левой части системы симметрична, так как hij — hji. Диагональные элементы этой матрицы равны нулю, так как /щ представляет расстояние точки от себя са­ мой, которое равно нулю. В предположении, что полуварнограмма проходит через начало координат, полувариограмма для нулевого расстояния равна нулю. Значения полуднсперснн взяты из полувариограммы, которая должна быть известна или оценена до крайгинга.

Однако, для того чтобы обеспечить несмещенность решения, необходимо наложить ограничение на веса: их сумма должна быть равна единице. Четвертое уравнение

^, + ^ + ^ = 1 ,0 .

Витоге получается набор четырех уравнений для трех неиз­ вестных. Так как уравнений больше, чем неизвестных, то для того чтобы обеспечить минимально возможную ошибку оценки, нужно использовать дополнительные степени свободы. Это де­ лается добавлением в систему уравнений немой переменной называемой множителем Лагранжа. Полная система уравнений имеет следующий вид

Wiy (hu) -Ь W72у (/ii2) + №7зу(й|з) + Я = у(Й1р),

В общем виде нужно решить матричное уравнение

[А).[Щ = [В]

для вектора неизвестных коэффициентов \W], Члены матрицы [Л] и вектора [В] берутся непосредственно из полуварио­ граммы или из математических функций, описывающих ее вид.

'Определив неизвестные веса, значение оцениваемой перемен­

Иными словами, дисперсия оценки есть в сущности взвешенная сумма полудисперсий для расстояний до точек, использованных в оценивании, плюс вклад от коэффициента X, который экви­ валентен постоянному члену. Крайгинг имеет два больших преимущества перед обычными процедурами оценивания, ко­ торые используются при построении карт в изолиниях. Оценки процедур крайгинга в среднем имеют наименьшую возможную ошибку, и также обеспечивают явное выражение величины этой ошибки.

Для иллюстрации точечного крайгинга мы приведем оценку уровня воды в точке р на карте, представленной на рис. 5.63.

Рис. 5.63. Карта уровней воды (в м) В трех наблюдательных скважинах.

Оценки уровня воды сделаны в точках р н q. Координаты указаны (в км) для произвольного начала

Рис. 5.64. Линейная полувариограмма уровней воды на пло­ щади, включающей карту рис. 5.63. Полувариограмма имеет наклон 4,0 м2/км внутри

20-километровой зоны

нм

114

жин и расстояния между ними приведены в табл. 5.12. Пред­ варительный структурный анализ позволил получить линейнун> полувариограмму (рис. 5.64). Значения полудисперсии, соответ­ ствующие расстоянию между скважинами, даны в табл. 5.12; они могут быть получены прямо из полувариограммы или вы­ числены из наклона.

Уравнения, которые должны быть решены для определения* весов, в этом примере имеют вид

Wi (0) + W2(12,2) + Ws(11,5) +Я = 4,0, W,(12,2) + W2 (0) + W3(18,1 ) +X= 12,1,

Wi (11,5) + W2(18,1) + W3(0)+X=7,9, 1^1 +1^2+1^3+0=1,0

или в матричной форме

Матрицу, обратную к матрице левой части, можно найти с помощью метода, изложенного в гл. 3 (см. кн. 1), но в целях упрощения вычислений целесообразно поменять порядок уравне­ ний для того, чтобы избежать нулей на диагонали. Обратная матрица есть

Теперь можно найти неизвестные веса умножением справа на транспонированную матрицу вектора правой части, состоящего из полудисперсий. В результате получим

Оценка уровня воды в точке р находится подстановкой подхо­ дящих весов в линейное уравнение (5.78):

УР = 0,5954 (120) + 0,975 (103)+ 0,3071 (142) = 125,1 м.

Аналогично находится и ошибка дисперсии во взвешенной сум­

Стандартная ошибка оценки есть просто квадратный корень из

оценки дисперсии или де = У5,25= 2,3 м. Если мы предположим, что ошибки оценивания распределены нормально относительно истинного среднего значения, то мы можем использовать стан­

в точке р находится в пределах одной стандартной ошибки вы­ ше или ниже оцениваемого значения, равна 68%, а вероятность того, что истинный уровень лежит в пределах двух стандарт­

В каждой точке этой карты мы можем оценить уровень воды и

самих оценках и является наилучшнм образом предсказанной конфигурацией картируемых переменных, вторая — это ошибка карты, показывающая доверительную обертывающую поверх­

316

ность, которая окружает оцениваемую поверхность; она выра­ жает относительную надежность первого отображения. На площадях слабого контроля ошибка карты может принимать большие значения, показывая, что оцениваемый параметр под­ вергается большой изменчивости. На площадях слабого конт­ роля ошибка карты будет показывать низкие значения, и в самих контрольных точках ошибка оценки будет равна нулю.

Система уравнений, используемая для нахождения весов крапгинга, должна решаться для каждой оцениваемой точки до тех пор, пока пробы расположены по регулярной схеме так, что расстояния между точками остаются одинаковыми. Если мы пожелаем оценить уровень воды в точке q на рис. 5.63, то не­ обходимо рассмотреть расстояния между q н тремя наблюдае­ мыми скважинами. Эти расстояния и соответствующие полуднсперсии, взятые из рис. 5.64, следующие:

Так как расположение наблюдаемых скважин остается тем же самым, то все расстояния между ними одинаковы и левая часть системы совместных уравнений неизменна. Обратная мат­ рица тоже не изменяется. Поэтом)-, умножив ее на новый век­

Оиеним уровень воды Yq и дисперсию se2:

ошибка больше, что отражает большое общее расстояние до контрольных скважин.

Если одна из контрольных точек изменяется, то некоторые из расстояний также изменяются, и система уравнении должна

117

5

Рис. 5.65. Карта, показывающая уровни воды (в м) в трех наблюдательных скважинах. Скважина 2А ближе к оцениваемой тбчке р, чем скважина 2 на рис. 5.63

быть решена заново. На рис. 5.65 наблюдаемая скв. 2А была пробурена в точке, более близкой к точке р, и для регионализованной переменной, характеризующей уровень воды, было замерено значение 115 м. Новые расстояния между точками и соответствующие полудпсперсии приведены в табл. 5.13. Систе­ ма уравнении теперь имеет вид

Новая оценка (в м) уровня воды в точке р, основанная на информации по скв. 2А, имеет следующий вид:

?Р= 0,4545 (120) + 0,3858 (115) + 0,1598 (142) = 121,6.

Дисперсия этой новой оценки (в м2)

$«= 0,4545(4,0) + 0,3858 (4,0) + 0,1598(7,9) - 0,6001 (1) = 4,02,

118

Стандартная ошибка (в м) в точке р теперь будет равна s,=

= У4,02=2,0, что несколько ниже, чем было найдено на основе наблюдений скважины 2, а не 2А. Это иллюстрирует тот факт, что ошибки оценки уменьшаются, если контрольные точки рас­ полагаются ближе к оцениваемой точке.

Предположим, что одна из контрольных точек совпадает с точкой, в которой производится оценка. Тогда одно из значе­ ний правой части матричного уравнения равно нулю; остав­ шиеся значения становятся равными некоторым из значений матрицы, стоящей в левой части. Предполагая, что наблюдае­ мая скв. 2В пробурена в точке р, можно определить эффект от этой замены в данном примере: оцененный уровень воды ока­ зывается равным 125 м. Расстояние между любой точкой i и точкой 2В теперь то же, что и расстояние между любой точ­ кой i и точкой р. Аналогично полудисперсии будут теми же, и система уравнений примет вид

119

Если эти веса использовались для оценки точки р, то оценивае­ мая отметка в точности равна измеренному значению уровня воды (в м) в скв. 2В:

'Y p = 0,0000 ( 120) + 1,0000 ( 125) + 0,000 ( 142) = 125, 0.

Значит, как и следовало ожидать,

se2 = 0,0000(4,0) + 1,0000(0) + 0,0000(7,9) + 0,0000(1) = 0,00 м2.

Это объясняет, что подразумевается под часто используемой характеристикой крайгинга как точного интерполяционного метода; он действительно позволяет предсказать измеренные значения в известных точках и делает это с ошибкой, равной нулю. Конечно, мы обычно не занимаемся оценкой в точках, уже известных, но это может понадобиться в случае, если точечный крайгинг будет использоваться для построения кар­ ты в изолиниях. Если случится, что какая-либо из контрольных точек совпадает с узлом сети, то крайгинг даст правильные, свободные от ошибок значения. Мы также должны быть уве­ рены, что оцениваемая поверхность пройдет в точности через все контрольные точки и что доверительные области вокруг оценки поверхности проходят через нуль в контрольных точках.

С целью максимального упрощения математических выкла­ док в этих примерах предполагается, что каждая оценка сде­ лана на основе трех контрольных точек. На практике при по­ лучении оценок приходится использовать больше точек, а воз­ можно, значительно больше. Каждую контрольную точку в оценке можно взвесить, п определение каждого веса требует решения своей системы уравнений. Большинство программ для получения оценки в каждом узле сети для построения карты в изолиниях использует 16 контрольных точек или более, что приводит к необходимости решать по меньшей мере 17 систем уравнений для каждой точки. Таким образом, использование крайгинга для построения карт в изолиниях приводит к очень трудоемким вычислениям.

В теории число точек, необходимых для получения оценки в точке, изменяется с изменением локальной плотности контро­ ля. Для получения оценки в точке должны быть учтены все контрольные точки, расположенные в окрестности этой точки.

120

использовании крайгинга для целей картирования в изолиниях следует руководствоваться практическим правилом, которое ограничивает число действительно необходимых контрольных точек, в пределах зоны влияния или в окрестности. Оптималь­ ное число контрольных точек определяется полувариограммой п пространственной схемой расположения точек [63J. Струк­ турный анализ, таким образом, играет двойную роль в крайгинге: он обеспечивает получение полувариограммы, необходи­ мой для построения системы уравнений крайгинга, и также позволяет определить размер окрестности, внутри которой для получения каждой оценки выбираются контрольные точки.

Универсальный крайгинг

Важное свойство точечного крайгинга состоит в том, что он перестает работать в случае, когда картируемая регионализованная переменная не является стационарной. В присутствии тренда или медленного изменения среднего значения линейная оценка не будет несмещенной. Вычисленные оценки будут сис­ тематически сдвигаться вверх и вниз от истинных значений, за­ висящих от размещения контрольных точек и направления на­ клона поверхности.

Выражаясь языком геостатистики, нестационарная регионализованная переменная рассматривается как состоящая из двух компонент. Дрифт состоит из среднего или ожидаемого значения регионализованной переменной в пределах окрестнос­ ти и медленно изменяется, представляя нестационарную часть поверхности. Остаток представляет собой разность между дей­ ствительными изменениями и дрифтом. Очевидно, если из ре­ гионализованной переменной устранить дрифт, то остатки бу­ дут стационарными, и к ним можно применить крайгинг. Та­ ким образом, универсальный крайгинг можно считать состоя­ щим из трех операций: первая — оценка и устранение дрифта; затем стационарные остатки крайгируютсн с целью получения необходимых оценок. Наконец, оцененные остатки комбиниру­ ются с дрифтом с целью получения истинной поверхности.

Дрифт аналогичен поверхности тренда, исключая случай, когда оценка дрифта основана только на контрольных точках внутри окрестности оцениваемой точки. В общем случае каж­ дая окрестность каждой оцениваемой точки характеризуется различным расположением контрольных точек, поэтому урав­ нение, определяющее дрифт, должно быть решено столько раз, сколько имеется точек. Это не так трудно, как кажется, таккак уравнения крайгинга должны быть решены для каждой из этих точек, и эти две операции можно комбинировать.

Определим дрифт как некоторую произвольную функцию координат контрольных точек, например многочлен низкого

121