книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

порядка. Дрифт М в точке р может быть определен как много­ член либо первого (уравнение 5.80), либо второго (уравнение- 5.81) порядка:

ты дрифта, которые должны быть найдены. Однако преждечем это делать, необходимо провести структурный анализ с целью определения наилучшей комбинации размера окрестнос­ ти и выражения дрифта. Как отмечалось в разделе, посвящен­ ном полувариограммам, это нетривиальная задача, так как модель дрифта и размер окрестности взаимозависимы.

Выражения для дрифта в качестве дополнительных ограни­ чений можно ввести в систему уравнений, используемую длянахождения весов крайгинга. Решая эту расширенную систему уравнений, мы получим оценки весов крайгинга, которые вклю­ чают эффект от заданного дрифта в пределах данной локаль­ ной окрестности. Выражения дрифта связывают географичес­ кие координаты каждой контрольной точки с географическим» координатами крайгируемой точки. Форма модели дрифта, раз­ мер окрестности и форма полувариограммы остатков от дриф­ та тесно связаны друг с другом. Это значит, что дисперсия остатков частично зависит от несколько произвольного зада­ ния дрифта. В универсальном крайгинге должны быть опреде­ лены веса, приписываемые контрольным точкам, а также коэф­ фициенты дрифта. Так как оценивается большее число членов, то в пределах рассматриваемой окрестности следует исполь­ зовать выборки контрольных точек большего объема. Простей­ ший пример представляет крайгинг некоторой точки, имеющий линейный дрифт и линейную полувариограмму остатков от дри­ фта. Линейная модель дрифта, заданная уравнением (5.80), имеет два коэффициента, поэтому в процессе оценки дрифта должны быть использованы минимум три точки, или же мы выйдем за рамки степеней свободы.

Если мы хотим оценить методом универсального крайгингакак дрифт, так и регионализованную переменную, то для обес­ печения необходимых степеней свободы при оценке коэффици­ ентов крайгинга потребуются дополнительные контрольные: точки. В противном случае процесс крайгинга приведет к оди­ наковым оценкам как для дрифта, так и для крайгируемой по­ верхности. Целесообразно выбрать пять контрольных точек,, три из которых дают степени свободы для определения дриф­ та, а дополнительные две — степени свободы для оценки самой поверхности.

122

Пусть координаты контрольной точки с номером i обозна­ чаются через Хи (направление с востока на запад) и Ха (на­ правление с севера на юг). Мы должны определить множест­ во из пяти весов и коэффициенты единственного ограничения (сумма весов равна 1), плюс еще двух ограничений для ли­ нейного дрифта. Для этого требуется следующая система из восьми уравнений:

+ W54 (A35) + A.+ aiA i3+ a2A 23= 7(Азp), W14 (hu) + ^27 (A24) + Ws-i (A34) + W47 (A44) +

+ W5 4 (his) + A, + aiXi4 + 0:2X24= 7 (^4p) >

1^17(Ац) + ^ 2^(^25) + ТС^з7 (Аз5) + ^4 7(A45) +

+(Ььь) +Я,+а1Х15 + а2^25 = ^ (h$P),

W1 + W2 ~b W3+ R^4 + 1^5 + 0 + 0 + 0 = 1 ,

7 (hip)

7(A2p)

7 (A3p)

7 (A4p)

7(h3p)

1

Xi p

-A 2*

123

информация представлена в табл. 5.14, которая также вклю­ чает необходимые полувариограммы. Для оценки уровня воды в точке р должно быть решено уравнение

7,9

4.0

8.0

1

0

о

125

Решая это уравнение, получаем восемь коэффициентов, пер* шые пять из которых представляют собой веса крайгинга:

Оценка уровня воды (в м) в точке р следующая:

^= 0,4119(120) — 0,0137(103)+0,0934(142)+;

+0,4126 (115) + 0,0957 (148) = 122,9,

что лишь немногим отличается от результатов, полученных из трех наблюдений без предположения о дрифте. Оценка ошибки дисперсии может быть вычислена в точности так же, как если ■бы дрифт отсутствовал, т. е. с помощью умножения слева век­ тора правой части [5] на транспонированный вектор решения [№]. Оценка дисперсии ошибки равна 8,1 м2.

Этот пример показывает, что нет большого различия меж­ ду простым точечным крайгингом и универсальным крайгингом с дрифтом, так как в этом примере эти две процедуры дают почти идентичные оценки. Однако точечный крайгинг, как и другие методы взвешенного усреднения, не может экстраполи­ роваться за область влияния множества контрольных точек. Это значит, что большая часть оцененных значений будет ле­ жать на наклонных участках поверхности, и точки наивысших и наинизших значений на поверхности обычно будут определе­ ны контрольными точками. Предположим, что мы оценили уровень воды в точке, причем оказалось, что поверхность выш­ ла за пределы интервала, определяемого наблюдаемыми сква­ жинами. Оказывается, что уровень воды изменяется с запада на восток, падая почти на 40 м между наблюдениями в сква­ жинах 2 и 3. Если это падение продолжить, то мы можем ожидать уровни воды выше 142 м в точках западнее наблюдае­ мой скв. 3, и уровни ниже 103 м в точках восточнее скв. 2.

Мы можем оценить уровень воды в юго-западном углу кар­ ты в точке с координатами Xi = 0, Z2 = 0. Сначала используем простой точечный крайгинг и множество из пяти скважин. Это

126

дает следующую систему весов:

Оценим уровень воды (в м):

У=---- 0,1221 (120) + 0,0110(103)+0,7523(142) —

— 0,0307 (115) +0,3895 (148),= 174,4.

Как следовало ожидать, оценка базируется полностью на бли­ жайших скважинах, но находится в интервале, определенномнаибольшим и наименьшим наблюденными значениями. Оцен­ ка дисперсии ошибки равна se2 = 17,3 м2.

Предполагая дрифт первой степени, получаем коэффициен­ ты универсального крайгинга

Используя эти веса, получаем оценку уровня воды (в м):

'У----- 0,5594(120) — 0,3020(103) + 1,3133(142) +

+0,1451 (115) + 0,4030 (148) = 164,6,

что намного превышает наибольшее контрольное значение. Универсальный крайгинг предназначен для определения изме­ нения уровня воды или дрифта в пределах локальной окрест­ ности и проектирует его в крайгируемую точку. Оценка дис­ персии ошибки равна se2 = 26,8 м2, что много больше чем не­ определенность как в оценке дрифта, так и в оценке самой регионализованной переменной.

127

Вычисление дрифта

Наблюдения, выбираемые для получения оценки крайгинга в некоторой точке р, располагаются в зоне влияния вокруг точ­ ки р. Крапгинг дает множество весов, которые позволяют при­ равнять взвешенную сумму полудисперсий между наблюдения­ ми и полудисперсии между наблюдениями и точкой р. Предпо­ ложим, однако, что все доступные наблюдения вышли за пре­ делы области влияния. Полуварнограммы ^ф2 между точкой р и некоторым удаленным наблюдением i будут идентичны для всех наблюдений и равны дисперсии регионализованной пере­

системы крайгинга будут содержать значения so2, а не значе­ ния ^!>2- Так как регионализованная переменная в точке р была статистически независимой от ее значений в каждой из точек наблюдения, то мы не могли предсказать локальное значение поверхности. Вместо этого оценка, которую мы получали, ре­ шая систему уравнений крайгинга, была основана на глобаль­ ных или усредненных свойствах регионализованной перемен­ ной. Иными словами, мы оценивали только дрифт.

Мы можем вычислить дрифт в точке р даже в том случае, если используемые наблюдения расположены в некоторой ок­ рестности, меньшей чем область влияния точки р. Все, что не­

том случае, если бы точка р была расположена так далеко от контрольных точек, что была бы независимой от них. Так как полудисперсия для всех расстояний вне области влияния равна дисперсии остатков, то члены в правой части можно прирав­ нять дисперсии остатков, s02. К сожалению, мы снова зацик­ ливаемся, так как мы не знаем значения s02 до тех пор, пока дрифт не вычислен. К счастью, структурный анализ позволяет нам сделать априорную оценку дрифта, так как он равен полу­

дрифта, размера окрестности и оценки полуварнограммы, ко­ торые удовлетворительно представят структуру регионализо­ ванной переменной. Выбор некоторой специфической комбина­ ции зависит от степени доступности данных, удобства вычис­ лений и других факторов. Продолжим рассмотрение нашего простого примера, предполагая, что дрифт в данных по уров­ ню воды линеен и что полувариограмма остатков также линей­ на. Из структурного анализа можно заключить, что область

128

дисперсия вне области влияния должна быть около 4X30 или 120 м-\

Г1рп вычислении дрнфта в точке р правая часть матрицы крапгинга имеет следующий вид

120 '

120

120

120

[С]120

1

0

о

При вычислении крайгинга левая часть [А] остается неизмен­ ной, поэтому все, что требуется для оценки дрнфта, — это ум­ ножить обратную к \А~\ матрицу на [С]. Это дает множество из пяти весов Mi, которые используются для вычисления дрифта, плюс три постоянных члена, которые дают вклад в оценку ошибки дисперсии дрнфта. Вектор решения \М\ есть

" 0,1311" 0,3702

0,2202

109,2283

—0,9048

0.4935

Дрпфт (в м) в точке р находится умножением уровнен в на­ блюдательных скважинах на подходящие коэффициенты дрифта а суммированием:

М= 0,1311 (120) + 0,3702 (103) + 0,2202 (142) —

—0,1587 (115) + 0,4372 (148) = 131,6.

го значения дрифта. Например, вероятность того, что лпненньш

имеет никакого физического смысла. Доверительный интервал просто указывает ошибку опробования и дает наиболее веро­ ятное значение для дрпфта регионализованноп переменной в случае, если бы она подвергалась повторно опробованию, и дрифт вычислялся бы повторно.)

Для того, чтобы численные примеры этого параграфа ока­ зались доступными, было сделано много упрощении. Напри­ мер, используемое число наблюдении является наименьшим из

Аналогично, предполагается линейность полувариограммы, так как это простейшая из возможных моделей, имеющая только один параметр. Строго линейная полувариограмма не имеет максимума, а может быть продолжена до бесконечных значе­ ний дисперсии. В действительности же мы имеем линейную полувариограмму вплоть до некоторого значения, н только пос­ ле излома она становится постоянной. Армстронг и Жабин [3] указали, что полувариограммы, обладающие внезапными изменениями наклона, могут приводить к неустойчивым реше­ ниям и отрицательным дисперсиям. Для представления полуварногра.чмы оказывается удобнее использовать непрерывную функцию, такую, как, например, сферическая модель, хотя это несколько усложняет вычисления. Неизвестно, не является ли слишком жестким требование линейности полувариограм­ мы, но так как оно довольно широко используется на прак­ тике, то, очевидно, им можно пренебречь. Неопределенность в правильном определении априорной оценки дисперсии остат­ ков также не слишком обременительна, так как только оценка ошибки дрпфта зависит от этого параметра. Сам дрифт будет Еычнслен правильно, независимо от выбранного в качестве цд значения.

Пример

Вы уже могли заметить, что крангннг, даже в очень упро­ щенном варианте, который мы рассмотрели, требует выполне­ ния множества скучных арифметических действий. Практичес­ кое применение крайгинга к настоящим задачам оказывается возможным лишь при использовании ЭВМ, так как для того чтобы охарактеризовать изменения регионалнзованной пере­ менной па некоторой площади, оценки должны производиться многократно для различных точек. В качестве примера рас­ смотрим карту, изображенную на рис. 5.67 и представляющую

130

• -Сой модификацию соогвс. "[вующеп карты [62J. На ной пред­ ставлены значения уровня воды в Экус Бедз, водопоемого го­ ризонта на юге Центрального Канзаса, Структурный анализ, выполненный на значительно большей площади, показывает, что значения уровня воды могут рассматриваться как нестаци­ онарная регнонализованная переменная, имеющая дрпфт пер- -г го порядка, Область [изменения додуварниграммы остатков о; дрнфта есть 28 миль. В качестве модели полуварпограммы 'ложно выбрать линеГшую функцию с наклоном ПО квадратных Футов на 1 милю.

131