книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

Рис. 5.82. Расположение основных нефтегазоносных полей в центральном Канзасе

только при выполнении определенных условии по отношению к выборочным данным. Если эти предположения сделаны обосно­ ванно, то мы можем рассматривать коэффициенты найденные с помощью метода наименьших квадратов, как оценки истинных значении коэффициентов регрессии р,, и проверить сформулиро­ ванные относительно них гипотезы. Мы должны допустить, что случайная величина, рассматриваемая в качестве функции, рас­ пределена нормально с математическим ожиданием, равным ис­ тинному значению регрессии, и что дисперсия функции не изме­ няется с изменением аргумента. Кроме того, отбор проб из ге­ неральной совокупности должен быть беспристрастным. По­ следнее условие обычно трудно выполнимо, особенно в струк­ турном анализе, базирующемся на данных скважин, так как их положение, как правило, не является случайным. Проверка ста­ тистических гипотез о характере поверхности тренда будет наи­ более простой в случае, когда данные представляют собой ре­ зультаты химического анализа проб, собранных по заданному плану.

Значимость поверхности тренда, или уравнения регрессии, можно проверить с помощью дисперсионного анализа, который основан на разделении общей дисперсии набора наблюдений на компоненты, соответствующие определенным источникам измен­ чивости. Конечно, именно это и делается при разделении общей изменчивости величины Y на тренд (или регрессию) и остаток (или отклонение). Число степеней свободы, соответствующее общей изменчивости в тренд-анализе, равно п — 1, где п — чис­ ло наблюдений. Число степеней свободы, соответствующее урав­ нению регрессии, равно числу членов полинома, используемого для построения этого уравнения. Число степенен свободы, со­ ответствующее отклонениям, равно разности между числами

152

Т а б л и ц а 5.19

Общий ANOVA для проверки значимости полиномиальной регрессии тренд-поверхности к-й степени (п — число наблюдений;

т — число членов полинома, не считая Ь0)

степеней свободы для упомянутых двух типов изменчивости, т. е. \ D = \ T—\'R. Формальная процедура дисперсионного анали­ за показана в табл. 5.19.

Значения средних квадратов вычисляются путем деления со­ ответствующих сумм квадратов на определенное число степенен свободы. Средние квадраты в свою очередь являются оценками дисперсий, и при их сравнении можно воспользоваться С-рас- пределенпем Фишера. Так, MSn — оценка дисперсии, возникаю­ щей как следствие отклонений отдельных наблюдений от по­ верхности регрессии, a A1SR— оценка дисперсии самой поверх­ ности регрессии. Если регрессия играет существенную роль, то дисперсия отклонений от поверхности регрессии будет мала по сравнению с дисперсией самого уравнения регрессии.

При общей проверке предположения о наличии или отсутст­ вии тренда рассматривается частное от деления оценки диспер­ сии уравнения регрессии на оценку дисперсии отклонений. Зна­ чение F дает вероятный ответ на вопрос: можно ли рассматри­ вать две упомянутые оценки, дисперсий как несущественно отли­ чающиеся одна от другой, т. е. регрессия не дает какого-либо эффекта по сравнению со случайными отклонениями. Утвердиicльнып ответ на этот вопрос можно интерпретировать так, что

пригодности уравнения регрессии для описания зависимости ис­ пользуются следующая проверяемая гипотеза (Н0) и соответ­ ствующее ей множество альтернатив (Hi):

153

Т а б л и ц а 5.20

Общая схема проверки эффективности увеличения степени полинома в уравнении регрессии

проверить с помощью вычисления отношения среднего квадрата дЛ/1 уI лвнення с исключенным членом и среднего квадрата для то'о!цел о уравнения регрессии. Д-отношение имеет числа степе­ ней свободы, равные 1 и (п—т—1). В табл. 5.21 приведена схе-

последовательных незначащих коэффициентов считать все сле­ ду ющпе члены незначащими, хотя это не всегда так. В анали­ зе поверхностей тренда после прибавления полного набора чле­ нов более высокого порядка для их исключения требуется инди-

155

с номером к уравнение регрессии содержит т — 1 коэффициентов; число наблюдении равно п

видуальная проверка каждого из них. Сокращенные совокупно­ сти членов высокого порядка нельзя приписать слепо, если на то нет особых оснований. В одном примере из-за ограничении, связанных с машиной, для данных по нефти была построена «гиперповерхность» третьего порядка, уравнение которой не содержало членов третьей степени с разными переменными. Это уравнение сильно отличалось от уравнения, полученного по тем же данным на более мощной ЭВМ с использованием программы построения полного кубического уравнения. Более того, если коэффициенты корреляции членов низкого порядка малы, то добавленные члены имеют тенденцию быть значимыми.

Два вышеприведенных множества данных (см. табл. 5.15 и 5.18) характерны для задач структурного тренд-аналнза. Цель обоих исследований состоит в нахождении площадей, на кото­ рых структурные поверхности можно представить полиномиаль­ ными уравнениями. В этих задачах распределение ошибки та­ ково, что пригодность критериев значимости для коэффициентов

156

Рис. 5.83. (а) Расположение точек анализа в кристалле сфалерита (анализ выполнен под электронным микроскопом); (б) изолинии, характеризующие содержание железа

уравнения регрессии вызывает подозрение. Однако в следую­ щем примере условии сбора данных и проведения эксперимента, ло-вндимому, хорошо согласованы с условиями применимости регрессионных критериев.

На рис. 5.83 изображена плоская проекция одного кристалла сфалерита, найденного в шахте на севере Мексики. Исследова­ теля интересовало содержание железа в кристалле. Кристалл Гыл осторожно расколот по центру, а поверхность отполирова­ на. С помощью электронного микроаналнзатора определялось содержание железа на участках размером в 1 нм в поперечнике через интервал в 1 мм. Сеть точек анализа изображена на рис. 5.83, а\ изолиния полученных значений представлены на рис. 5.83, б; соответствующие данные приведены в табл. 5.22. Хотя использование данных о содержании железа в сфалерите в ка­ честве температурного индикатора и подвергалось критике из-за возможного существования неравновесных условий во время кристаллизации, вес же многие исследователи считают, что рас­ тущая грань кристалла все время находится в равновесии с ру­ лообразующим раствором. Поэтому средний состав кристалла может лишь неадекватно служить температурным указателем, но состав последовательных срезов кристалла позволяет опре­ делить кривую температурного изменения. Простейшая модель распределения железа в кристалле отражает постепенное сим­ метричное изменение (увеличение или уменьшение) его содер­ жания при удалении от центра. Построение квадратичной по­ линомиальной регрессии значений содержания железа по ко­ ординатам точек опробования является хорошим методом про­ верки этой модели. Используя данные табл. 5.22, постройте ряд поверхностей тренда для содержания железа. Вычислив необ­ ходимые суммы квадратов, примените аналогичную приведен­ ной в табл. 5.20 схему ANOVA для проверки значимости урав­ нении полиномиальной регрессии.

157

Две модели поверх*-. -.стен тренда

Читатель, вероятно, отметил, что выше было рассмотрено цва в корне различных типа геологических задач, решаемых с использованием методов тренд-анализа, С одной стороны, целью построения поверхностей тренда по структурным данным явля­ ется выявление «локальных структур». Эмпирически было дока­ зано, что в бассейне осадконакопления эти отклонения от по­ верхности тренда могут быть структурно или гидродинамически ассоциированы с нефтяными ловушками. С другой стороны, рег­ рессионные поверхности использовались для определения регио­ нального тренда по петрологическим и геохимическим данным. В этих двух приложениях различны как задачи, так и основные допущения, но метод по-прежнему остается общим.

Поверхности тренда, подбираемые к структурным данным, можно представить уравнением

158

Рис. 5.84. Распределение случайной компоненты относительно линии регрессии в полиномиальной модели.

Наблюдения, указанные пунктиром, предполагаются лежащими внутри обла­ сти отклонений относительно линии регрессии

Рис. 5.85. Распределение случайной компоненты относительно наблюдаемой поверхности, соответствующей структурной модели поверхности тренда.

Отклонения в повторениях точек концентрируются около средних значений, - а не около линии, определенной полиномиальной моделью

ют внутрь интервала значений отклонений относительно рег­ рессии.

При подборе поверхностей тренда к структурным данным наблюдения (обычно это абсолютная отметка кровли пласта) не повторяются. Действительно, если пробурена одна скважина, то обычно вблизи нее нецелесообразно бурить другую, так как последняя даст те же результаты. Повторные измерения в сква­ жине могут колебаться в зависимости от глубины и общей про­ тяженности скважины, но этот источник экспериментальной ошибки будет на один (или более) порядок меньше, чем откло­ нения в анализе поверхностей тренда. Отсутствие повторных наблюдений означает, что локальную изменчивость нельзя учесть. Однако необходимо отметить, что этот источник ошибки будет также немаловажен, так как бурение скважины нельзя считать выборкой из совокупности поверхностей. Существует тоаько одна поверхность кровли, слоя, и возникает только одна дисперсия, связанная со столь малыми значениями ошибки, что сю можно пренебречь. Таким образом, дисперсию остатка в анализе поверхностей тренда можно объяснить недостаточным приближением.

160

В терминах нашей модели эквивалентное высказывание за­ ключается в том, что Ег пренебрежнмо мало по сравнению с Хотя случайная компонента е( имеет нулевое среднее значение

данного размера по АТ и Х2, над которыми член (^Н-ег) корре­ лирован. На рис. 5.85 указано теоретическое распределение ве­ личии Ei относительно структурной поверхности. В большинстве случаев отклонение поверхности от полиномиальной модели от­ ражает не величину ошибки, а поведение локальной компонен­ ты У;.

Различие между этими двумя уравнениями для поверхностей тренда отражено в методе, с помощью которого изучается авто­ корреляция между остатками. В полиномиальном регрессион­ ном анализе автокорреляция рассматривается как усиление ограничений, принятых в модели, и вводится для обоснования (н,тн серьезного ослабления) выводов, полученных в результате анализа. Такое положение характерно для петрографических и геохимических данных, так как повторения приводят к тому, что ошибки распределены нормально при сравнительно простом уравнении регрессии. Хотя отсутствие согласования заставляет предположить наличие более сложных уравнений регрессии, все же ошибка достаточно велика для того, чтобы можно было счи­ тать, что все отклонения учтены.

В противоположность этому геологи, используя тренд-анализ структурных данных, находят области автокоррелированных остатков. Как было установлено выше, почти все структурные отклонения можно охарактеризовать отсутствиедг согласования, а наличие автокоррелированных остатков указывает на некото­ рую область, более широкую, чем интервал опробования, в ко­ тором поверхность отклоняется от полиномиальной модели в требуемом направлении. Как большие площади автокоррелнровапных остатков, так и одиночные точки со значительными от­ клонениями представляют интерес при разведке нефти, потому что указывают области, где локальные структуры (71) имеют большое влияние. Отклонения не являются случайными вели­

Особенности тренд-анализа

Теперь представляется целесообразным указать факторы, коюрые могут значительно испортить результаты тренд-анали­ за, т. е. любой тип анализа карт [ 10J.