книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

Для построения карты уровней воды с помощью универ­ сального крайгинга была использована программа построения карты в изолиниях, с помощью которой получались оценки уровней воды в точках, расположенных на равных интервалах вдоль картируемой площади. На карте рис. 5.67 представлено 31X61 = 1891 оценок крайгинга, каждая из которых основана на восьми ближайших контрольных скважинах, выбранных в октанте поиска вокруг оцениваемой точки. Каждая оценка в свою очередь требует решения системы одиннадцати уравне­ ний.

В дополнение к карте уровнен воды крайгинг был также использован для построения карты стандартной ошибки оце­ нок, представленной на рис. 5.68. Стандартная ошибка в каж­ дой из 47 наблюдательных скважин равна нулю, но увеличива­ ется с расстоянием от известных контрольных точек (рис. 5.68). С вероятностью 95% истинная поверхность уровня воды лежит внутри интервала, определенного с точностью плюс пли минус два указанных значения. Например, в точке А уровень воды оценивается примерно в 1480 футов. Так как имеется относи­ тельно немного наблюдательных скважин вблизи от этой точки, то карта стандартной ошибки указывает некоторое значение более 6 футов. Поэтому истинное значение в этой точке долж­ но быть 1480±12 футов, т. е. между 1468 и 1492 футами с до­ верительной вероятностью 95%.

В этом примере мало геологического смысла в отношении самого дрифта, но при необходимости его можно изобразитьпа карте. На рис. 5.69 показан дрифт первого порядка уровней воды. На рис. 5.70 представлена стандартная ошибка дрифта. Остатки от дрифта, найденные вычитанием карты дрифта из карты крайгинга, представлены на рис. 5.71. Площади отрица­ тельных остатков, где уровни воды ниже, чем дрифт, указаны штриховкой.

Оценка значения переменной в точке по точечным наблю­ дениям— это лишь одно из применений крайгинга. Этот метод можно обобщить для построения оценок значений площади по выборкам, состоящим из площадей или же для построения оце­ нок значений по выборкам, соответствующих объемам. Послед­ нее применение особенно важно в горном деле, где оценивае­ мые величины являются содержанием руды в блоке п наблю­ дения представляют собой таблицы содержаний в керне сква­ жины. Процедура оценки по существу такая же, как было описано выше, однако здесь возникают дополнительные слож­ ности пз-за изменчивости в пределах площадей или объемов. Отличное введение в использование крайгинга для оценки ру­ ды приводится в работе И. Кларк [13]. Более подробное изло­ жение, включающее более трудные разделы геостатиетпки, можно найти в книгах Давида [21] н Журнеля и Юбре [41].

132

ПОВЕРХНОСТИ ТРЕНДА

Тренд-анализ — это чисто геологическое название математи­ ческого метода разделения двух компонент: систематической и случайной по эмпирическим данным. Это разделение всегда проводилось геологами интуитивно или с помощью некоторых графических построений. Так, например, геологи-нефтяники обычно противопоставляют понятия «региональный прогиб», или «конфигурация бассейна», термину «локальная структура». Петрографы могут, например, говорить о «региональной зер­

133

Рис. 5.7). Карта, на которой пред­ ставлены остатки от дрифта первого порядка уровня воды в Экус Бедз.

Интервал между изолиниями 10 фу­ тов. Заштрихованы площади отрица­ тельных остатков, па которых уровни волы ниже дрифта

гда наблюдаемый результат является следствием двух взаимо­

кальные отклонения от, региональных закономерностей. Весьма наглядные примеры для иллюстрации этих соотношений можно заимствовать из структурной геологии. Так, третичный бас­ сейн Вайоминга сформировался в результате движений земной коры по разломам глубокого заложения, тогда как складчатые структуры внутри бассейна возникли под действием гравита­ ционного скольжеьия, мелких дизъюнктивных нарушении и т. л. В подобной ситуации форма бассейна характеризует ре­ гиональную структуру, а более мелкие структуры можно рас­ сматривать как локальные отклонения.

Понятия «региональный» и «локальный» весьма субъектив­ ны. Они в значительной степени зависят и от размеров изучае­ мого региона. Так, если мы будем рассматривать всю поверх­

134

ность докембрия в США, то по отношению к ней бассейны и разделяющие их горные хребты Вайоминга будут локальными отклонениями, или аномалиями, как и Блэк-Хилс, купол Озарк, Мичиганский бассейн и др. Внутри же одного бассейна Вайо­ минг понятия «региональный» и «локальный» имеют совершен­ но иной смысл.

Имеющиеся данные также оказывают влияние на характер соанавлпваемого регионального тренда и локальных отклоне­ ний, Так, например, бесполезно искать какой-либо смысл ло- ; альных закономерностей, если области их проявления близки по размерам н участкам опробования. Такие закономерности независимо от того, существуют они или нет, в подобных усло­ виях просто нельзя установить. Меру зависимости между раз­ мерами участков проявления устанавливаемой закономерности и пространственным размещением точек равномерной сети можно вычислить для правильной сети точек [71] , но не для случая нерегулярно расположенных точек, который значитель­ но хуже поддается математической обработке.

Цель геологического исследования также влияет на рас­ сматриваемые нами два понятия пространственных соотноше­ ний. Так, например, для золоторудного месторождения в Юж­ ной Африке представляют интерес только те «отклонения» содержаний золота, которые превышают заданное значение, заранее определенное экономистами. С другой стороны, при повторных поисках нефти в какой-либо области могут предста­ вить интерес небольшие структурные аномалии, так как зара­ нее известно, что более крупные структуры данной области уже изучены. В этих условиях закономерности, выявляемые на та­ ких мелких структурах, следует рассматривать как «региональ­

способами выделить «региональную» и «локальную» компонен­ ты. Допустим, что региональный тренд характеризуется пря­ мой линией, проходящей через совокупность точек наблюдения. Тогда все наши данные можно разделить на линейный тренд п три локальные большие аномалии, что и показано на рис. 5.72,6. Однако может оказаться, что для описания тренда параболическая функция будет более представительна, чем уравнение прямой линии. На рис. 5.72, в показано такое раз­ деление на компоненту параболического тренда п локальные отклонения, что значительно отличается от ситуации, изобра­ женной на рис. 5.72, б. Молено принять и более сложную функ­ цию для описания тренда, например кубическую, которая при­ ведет к еще меньшей величине аномалий (рис. 5.72, г). Воз­ можна н такая ситуация, когда результаты опробования и кри­ вая тренда будут совпадать, так что остаток будет отсугство-

135

Рис. 5.72. Двумерная иллюстрация понятия тренда:

а — множество данных точек и линия, на которой они расположены; б — пря­ мая линия, подобранная к наблюдениям; в — параболический тренд; г — куби­ ческий тренд. Заштрихованная область соответствует отрицательному и поло­ жительному отклонениям от линии тренда

вать. Конечно, в этом случае нельзя провести разделение на «региональную» и «локальную» компоненты и такое исследова­ ние потеряет смысл.

После всего того, что было сказано, вполне естественен во­ прос: можно ли по результатам наблюдения получить объек­ тивное выделение двух компонент, если само определение этих компонент в значительно» степени субъективно? Ответ на этот вопрос будет положительным, если вместо геологического определения тренда и отклонения воспользоваться операцион­ ным определением, которое фиксирует способ обработки дан­ ных. Например, тренд можно определить как линейную функ­ цию географических координат, построенную по набору наблю­ дений так, что сумма квадратов отклонений их от тренда

136

минимальна. Рассмотрим более подробно три части этого оп­ ределения.

1. Определение основано на понятии географических коор­ динат. Это значит, что результат наблюдения (абсолютная от­ метка местности, содержание золота в жиле и др.) рассматри­ вается как функция положения наблюдения в пространстве.

2. Тренд рассматривается как линейная функция. Это зна­

3. Требование минимизации суммы квадратов отклонений от тренда подробно описано в гл. 2 (см. кн. 1) применительно к дисперсии. Дело в том, что сумма квадратов отклонений ре­ зультатов наблюдений от среднего характеризует выборочную дисперсию. Если вместо среднего подставить уравнение пря­ мой линии пли плоскости, то тогда, рассматривая это уравне­ ние как функцию дисперсии, можно выбрать такой его вари­ ант, который бы минимизировал сумму квадратов отклоне­ ний. Необходимо отметить, что определение уравнения линей­ ной регрессии весьма сходно с только что приведенным опре­ делением. Вообще тренд-анализ можно рассматривать как один из вариантов статистического метода множественной регрессии, и поэтому все приемы обработки! данных взяты непосредствен­ но из регрессионного анализа. В некоторых случаях при ре­ шении геологических задач будут проверяться гипотезы, свя­ занные с множественной регрессией.

лось путем решения системы нормальных уравнений:

относительно неизвестных коэффициентов Ьь. Ь,. Суммирование в этих и последующих уравнениях проводится от i= I до п. Для простоты запись пределов суммирования опущена. Эту систему уравнений легко приспособить, если имеется два ар­ гумента, например такие, как географические координаты, в результате чего получим уравнение линейной поверхности тренда:

В данном случае результат геологического наблюдения рас­ сматривается как линейная функция двух координат Л', н Х2 с коэффициентами Ь0, Ьи Ь2, оценить которые можно с помо­

137

щью системы следующих уравнении:

Сходство между матричным уравнением (5.85) и уравнени­ ем (4.33) очевидно. Оба эти уравнения можно рассматривать как приближенные характеристики функции двух аргументов, которые в данном случае являются географическими коорди­ натами А', и Х2. При подборе кривой второго порядка в рас-

100

-<>-437

80 -

<>-455

<>-354

У - 5 4 4

?|-

< -535

10 Н

Рис. 5.73. Карта расположения скважин и абсолютных отметок подошвы мело­ вых отложений в Северо-Восточной Африке. По данным нефтяной компании Англо-Баррен Ойл Кампани.

Отметки даны в метрах ниже уровня моря. За единицу выбран километр; от­ счет координат ведется от юго-западного угла карты

13S

смотренном выше примере также рассматривались две пере­ менные X и Х-, и задача была сведена к решению системы ли­ нейных уравнений. Таким образом, между этими двумя про­ цедурами нет принципиальной разницы. В качестве примера построения линейной поверхности тренда рассмотрим следую­ щую задачу.

Одна английская нефтяная компания приобрела концессию в весьма удаленной части Северо-Восточной Африки. Террито­ рия была крайне необжитой, труднодоступной н почти пол­ ностью геологически неизученной. По условиям концессии ком­ пания должна была пробурить в течение года десять скважин пли в случае невыполнения этого условия потерять своп пра­ ва. Руководство компании приняло решение бурить серию да­ леко расположенных друг от друга разведочных скважин, предназначенных для создания геологической основы, необхо­ димой для продолжения поисков. На рис. 5.73 показано рас­ положение этих скважин на территории концессии, общая площадь которой составляла 100 кмТ Координаты скважин, от­ считываемые в километрах от юго-западного угла территории, и абсолютные отметки подошвы меловых отложении, зафикси­ рованные в скважинах, приведены в табл. 5.15. Задача в дан­ ном случае заключается в построении линейной поверхности тренда и выявлении областей положительных отклонений от нее, которые можно рассматривать как заслуживающие внима­ ния для проведения дополнительных исследований.

Для построения поверхности тренда мы должны сначала подсчитать суммы значений X,. Х2 н Y, суммы квадратов A'j и X., а также суммы соответствующих смешанных произведе­

139

нйн, т, е, числа, требуемые формулой (5.84):

Решить это матричное уравнение можно методом, описан­ ным в гл. 3 (ем. кн. 1). Решение будет следующим:

Кроме того, можно охарактеризовать качество приближе­ ния поверхности тренда к наблюдаемым результатам, исполь­

149

Для того чтобы получить аналогичную характеристику для

}' в табл. 5.16, мы должны вычислить сумму квадратов, воз­ никающую из уравнения регрессии

S S /?^ v y 2 — - ~ (vy y; г= 193861,4.

Разность между этими величинами будет характеризовать изменчивость отклонений от поверхности тренда:

SSD=SSr — SS« = 21 463,5.

Таким образом, поверхность тренда учитывает следующий про­ цент общей изменчивости:

100% • R'2= (5Sя)/ (SSг) = 90,0 %.

Коэффициент множественной корреляции в данном случае

составит Д = )/?2 = 0,95.

Из полученных крайне высоких значений можно сделать вывод о том, что подошва меловых отложений изучаемой тер­ ритории является почти ровной и описывается постепенно по­ гружающейся плоскостью. Как видно из табл. 5.16, отклонения от теоретической плоскости весьма малы. Все это наглядно представлено на рис. 5.74, где приведена карта подошвы ме­ ловых отложений.

Хотя этот простейший вид анализа является удовлетвори­ тельным в данном примере, вполне возможны ситуации, когда плоскости будет недостаточно для описания геологического тренда, который может быть весьма сложным. Более того, мы очень редко располагаем априорными сведениями о форме функции, описывающей тренд. Физики, например, могут зара­ нее сказать, что брошенный камень полетит по параболе, так как они располагают некоторыми сведениями о факторах, кон-

Рис. 5.74 Карта поверхности тренда по скважинам рис. 5.73.

И н т е р в а л м е ж д у и зо ли н ия м и равен

50 м

141