книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

Определим Q по формуле

Тогда вероятность пересечения эллиптической цели одной из параллельных прямых равна

P=Q/D. (5.4)

В частном случае круговой цели, когда а и bравнырадиусу, получаем

настолько короткой, что цель становится случайно ориентиро­ ванной линией. Это геометрическое соотношение известно как задача Бюффона. Она состоит в вычислении вероятности того, что игла длиной I, брошенная на множество параллельных пря­ мых, расположенных на расстоянии D одна от другой, пересе­ чет хотя бы одну из этих прямых. Эта вероятность равна

где I — длина цели.

Аналогичное соотношение, известное как проблема Лапла­ са, встречается в теории систематического поиска. Задача со­ стоит в нахождении вероятности того, что игла длиной I, бро­ шенная на поле, покрытое сетью прямоугольников, попадет целиком в один из них. Один из вариантов этой задачи — вы­ числение вероятности того, что монета, брошенная на шахмат­ ную доску, падает целиком в один из квадратов. В разведке представляют интерес также дополнительные вероятности, т.е. вероятности того, что случайно расположенная цель будет пе­ ресечена один или большее число раз множеством линий, как, например, сейсмические разрезы, вложенные в прямоугольную сеть (рис. 5.2),

Общее уравнение имеет вид

кулярным множеством разрезов. В частном случае поисков при квадратной сети равенство упрощается

12

Рис. 5.2. Поиск эллиптического объек­ та с помощью сети, характеризуемой интервалом D\ в одном направлении

иинтервалом D2 в другом:

а— большая полуось; Ь — малая по­

луось

аппроксимациями интегральных уравнений. Сравнивая точные вероятности, найденные численным интегрированием, с вероят­ ностями, полученными приближенными уравнениями, он на­ шел, что значимые различия случаются только для очень уд­ линенных целей, которые велики по сравнению с расстоянием между линиями поисков. Кроме того, уравнения (5.4) и (5.7) сильно завышают вероятности обнаружения.

Вероятности пересечения цели, вычисленные по приближен­ ным уравнениям, удобно представить на графике. Мак-Кеммон [53] представил такие графики для различных наборов вида и размеров по отношению к расстоянию между линиями поиска в очень удобной безразмерной форме. На рис. 5.3 представле­ на вероятность обнаружения эллиптической цели, вид которой изменяется от круга до линии, причем метод поиска — схема параллельных линий. Размер цели выражается как отношение (максимальное направление цели)/(расстояние между линиями поиска). На рис. 5.4 представлен аналогичный график схемы поиска с помощью квадратной сетки линий.

Если вид цели задан, то вероятности пересечения можно нанести на график для различных поисковых схем. На рис. 5.5, например, представлены вероятности пересечения некоторой круговой цели поисковыми схемами, изменяющимися от квад­ ратной сети через прямоугольную сеть до параллельных линий. На рис. 5.6 представлен эквивалентный график для линейной цели. Можно рассмотреть всевозможные промежуточные слу­ чаи всех возможных эллиптических целей и всех возможных поисковых схем вдоль двух перпендикулярных семейств линий.

Из приближенных уравнений мы можем вычислить графики

13

Рис. 5.3. Вероятность обнаруже­ ния объекта с помощью схемы поиска параллельными линиями.

Форма объекта может изменяться от круга до линии; эллиптические объекты с различными осевыми отношениями попадают в заштри­ хованную область. Горизонталь­ ная ось — это отношение наиболь­ шего размера объекта к расстоя­ нию между линиями поиска [53]

Рис. 5.4. Вероятность обнаруже­ ния объекта квадратной сетью поиска.

Форма объекта может изменяться от круга до линии; эллиптические объекты с различными отношения­ ми осей попадают в заштрихован­ ную область. Горизонтальная ось— это отношение наибольшего размера объекта к расстоянию

между линиями поиска [53]

Рис. 5.5. Вероятность обнаруже­ ния кругового объекта с прямо­ угольной схемой поиска, изменяю­ щейся от квадратной схемы до множества параллельных линий.

Прямоугольные схемы с различны­

ми отношениями Z)I/D2, попадаю­ щими в заштрихованную область. Горизонтальная ось — это отноше­ ние наибольшего размера объекта к минимальному расстоянию меж­

ду линиями поиска [53]

которой 1000-акровой эллиптической цели сетью параллель­ ных линий с расстоянием между ними в одну милю. Этот гра­ фик был использован сейсмической службой для оценки воз­ можности обнаружения сейсмической аномалии минимального размера.

14

РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК

Одна из распространенных геологических задач заключает­ ся в изучении способа распределения точек на двумерной по­ верхности или карте. Эти точки могут соответствовать местам взятия проб, получения наблюдений или быть точками проек­ ции. Задача может состоять в изучении однородности распре­ деления точек наблюдения, плотности распределения или в изучении связи точек друг с другом. Все эти вопросы возни­ кают как у географов, так и у геологов, а полевые наблюде­ ния, связанные с анализом положения точек, всегда приводят к этим или сходным задачам. Хотя географы уделяют большое внимание результатам культурной деятельности человека, раз­ работанная ими методология применима непосредственно при изучении природных явлений.

Размер объекта/Расстояние между линиями

Существующие схемы расположения точек на картах удоб­ но разделить на три категории: равномерные, случайные и групповые. Примеры этих трех типов расположения приведены на рис. 5.8. Конечно, для большинства карт характерны схемы распределения точек, занимающих промежуточное положение между перечисленными крайними типами, и обычно задача за­ ключается в классификационном отнесении наблюдаемой схемы к одному из этих типов. Например, большинство читателей отнесли бы распределение точек на рис. 5.9 к случайному ти­ пу, что было бы неверно, так как на карту предварительно на­ несена регулярная сеть, в каждой из ячеек которой затем по­ мещалась наудачу одна точка. Таким образом, это распреде­ ление обладает как случайными, так и регулярными свойст­ вами.

Схема расположения точек на карте называется равномер­ ной, если плотность точек в любой подобласти равна плотнос­ ти точек во всех других подобластях. Схема называется регу­ лярной, если точки образуют какой-либо вид сети. Это значит, что расстояния между точками i и /, лежащими на некотором направлении сети, остаются постоянными для всех пар i и / на карте. Случайная схема возникает в том случае, если лю­ бая подобласть одного размера характеризуется одной и той же вероятностью появления в ней точки, и появление одних то­ чек не влияет на появление других.

Равномерность расположения точек — важное условие, не­ обходимое для применения многих видов анализов, в частно­ сти, анализа поверхностей тренда, который мы рассмотрим не­ сколько позднее. Достоверность карты находится в прямой за­ висимости от плотности и равномерности расположения точек наблюдения. Однако большинство геологов оценивают распре­ деление точек наблюдения лишь с качественных позиций. Да­ же несмотря на то что часто подчеркивается желание получить равномерное распределение точек наблюдения, степень равно­ мерности крайне редко измеряется. Критерии, применяемые для определения равномерности, очень просты, но, к сожале­ нию, многие геологи не подозревают об их существовании и о том, что ими можно пользоваться. Однако эти критерии ши­ роко используются географами, например Кингом [44], Коулом и Кингом [17], Хеггетом [34] и др.

Равномерные схемы

Всю карту можно разделить на множество подобластей равного размера (иногда это бывают квадраты) так, что каж­ дая подобласть будет содержать некоторое множество точек. Если точки наблюдения расположены равномерно, то следует ожидать, что каждая подобласть будет содержать одно и то же

16

Рис. 5.9. Случайное расположение, полученное случайным выбором точ­ ки в пределах регулярной схемы ячеек.

Распределение точек более равномер­ ное. чем при полностью случайном расположении точек

число точек. Эту гипотезу об отсутствии существенных разли­ чий в числе точек для каждой подобласти можно проверить с помощью критерия %2, который теоретически не зависит от формы или ориентировки подобластей. Однако критерий будет наиболее эффективным, если число подобластей сделать по

возможности большим (что приводит к увеличению числа сте­ пеней свободы), при условии, что все подобласти содержат не менее пяти точек. Ожидаемое число точек для каждой подоб­ ласти будет равно

Критерий %2 для проверки гипотезы о равномерном распре­ делении точек будет определен следующим образом:

терию х2 соответствует v — m—2 степеней свободы, где т —'чис­ ло подобластей.

'/ i - l '- .a разделена на 12 -лщег ' :;нге.;ового ~

Т а б л и ц а 5.1

Число скважин по 12 клеткам карты Центрального Канзаса

* Значение критерия несущественно при уровне значимости а=0,05.

В качестве примера применения этого критерия рассмотрим данные, приведенные на рис. 5.10, которые показывают распо­ ложение 123 нефтяных скважин в Центральном Канзасе. Этиданными мы воспользуемся несколько позднее при построе­ нии поверхности тренда для кровли ордовикских отложений лого региона. На рис. 5.10 вся площадь карты разделена на 12 равных участков и число точек для каждого участка равно приблизительно 10. В табл. 5,1 приведены наблюдаемые значе­ ния числа точек в каждом участке, а также показана процеду­ ра вычисления критерия %2. Так как в данном случае число

.ил-пеней свободы v=10, то критическое значение у2, соответст­ вующее 5%-ному уровню значимости, равно 18,3. Вычисленное значение критерия, равное 15,23, не превышает 38,3, что дает основание сделать вывод о несущественном отклонении распре­ деления точек от равномерного. Заметим, что этот вывод каса­ ется только однородности распределения точек по участкам определенного размера. Вполне возможно, что существует та­ кой вариант размера квадрата (особенно если он меньше, чем выбранный), при котором гипотеза о равномерности будет от­ клонена.

Случайные схемы

Установление факта равномерности расположения точек на карте ни в коей мере не определяет природу равномерности, и в данном случае можно ожидать как регулярный, так и слу­

чайный типы однородности. Однако для большинства задач та­ кое выявление равномерности распределения достаточно. Если же нам потребуются дополнительные сведения об изучаемой схеме расположения точек, то для их получения придется обра­ титься к другому критерию. Если точки равномерно распреде­ лены по карте, не следует ожидать, что их число, приходящее­ ся на каждый участок, будет одинаковым для всех участков. Скорее всего мы увидим, что имеется число, наблюдаемое ча­ ще других, тогда как отклонения от него в ту или иную сто­ рону наблюдаются реже. Это отчетливо видно из только что рассмотренного примера. Несмотря на то что ожидаемое зна­ чение числа точек в одном участке равно 10, в действительнос­ ти мы наблюдаем отклонения от этого числа в ту или иную сторону.

Напомним, что распределение Пуассона является предель­ ным случаем биномиального распределения, когда р (вероят­ ность успеха) очень мала и 1—р приближается к 1,0. Пуассо­ новское распределение может использоваться как модель встречаемости редких, случайно происходящих во времени со­ бытий, как это показывалось в гл. 4, или же оно может ис­ пользоваться для моделирования случайного размещения точек в пространстве. Хотя в определении пуассоновского распреде­ ления, как и в определении биномиального распределения, при вычислении вероятностей используется одинаковая терминоло­ гия (число успехов, неудач и испытаний), его можно предста­ вить в таком виде, что ни число неудач, ни общее число испы­ таний не требуются. В нем используется число точек в квадра­ те и плотность точек на всей площади для предсказания того, как много квадратов должно содержать заданное число точек. Это предсказанное или ожидаемое число квадратов может быть использовано в критерии %2 для определения того, явля­ ется ли распределение точек внутри заданной площади слу­ чайным.

В качестве приложения рассмотрим задачу, состоящую в проверке того, случайно ли открытие продуктивных нефтяных скважин в некотором бассейне или они распределены иначе. Интуитивно не очевидно, что пуассоновское распределение при­ годно для решения этой задачи, поэтому мы рассмотрим ее подробнее.

Предположим, что некоторый бассейн имеет площадь а, и в нем случайным образом расположено т разведочных сква­

лентен термину «квадрат»). В свою очередь каждый участок можно разделить на п крайне малых равных площадок, кото­ рые можно рассматривать как потенциальные места бурения.

20

Вероятность того, что какая-либо из этих крайне малых пло­ щадок содержит скважину, стремится к нулю, так как п ста­ новится бесконечно большим:

а вероятность того, что она не содержит скважины, равна

Надо найти вероятность того, что г из п «возможных мест бу­ рения» внутри участка содержит скважины, а п—г таких мест скважин не содержат. Вероятность появления конкретной ком­ бинации точек со скважинами и без них внутри участка равна

Однако имеется у J комбинаций п «буровых точек», из кото­

рых г содержат продуктивные скважины в пределах участка, и все варианты равновероятны. Вероятность того, что некото­

Переставляя и сокращая члены, получаем

я< г)= (1 -Д -)(1

При неограниченном возрастании п все дроби в скобках, кото­ рые содержат п в знаменателе, бесконечно малы и стремятся к нулю, так как все члены в скобках становятся просто рав­ ными 1. Члены внутри скобок упрощаются и принимают вид

Заметим, что число «потенциальных мест бурения» п равно нулю для уравнения, имеющего только плотность скважин X, число скважин г и площадь участка А. Это как раз выражение распределения Пуассона, как и положено для вероятности ред­

21