книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

Рис. 5.37. Эквивалентность между полярными и декартовыми представления­ ми координат:

а — контур зерна, представленный в полярных координатах; б — полярные координаты нанесены на график как функция г от аргумента О

Напомним, что в гл. 4 разложение в ряд Фурье записыва­ лось в виде

}=I

И

(5.60)

Эти уравнения можно модифицировать так, чтобы они позво­ ляли получать разложение в ряд Фурье для замкнутых фигур. Если расположить концы п радиусов вдоль всей окружности на одинаковом удалении друг от друга, то угол между каждой парой радиусов будет равен 2п/п. Поэтому угол от исходного радиуса до j-го равен 2лЦп. Обозначая угловое направление /'-го радиуса через 0/, а его длину через г/ и подставляя их в уравнения (5.59) и (5.60), получаем

72

Как и в обычном анализе Фурье, эти выражения можно упрос­ тить: р0 равно нулю, а ао равно среднему радиусу:

П

всех радиусов на средний радиус, тогда ао будет всегда равно единице. По причинам, указанным ранее, коэффициенты пер­ вой гармоники, ai и рь должны равняться нулю в случае, если

аналогично интерпретации обычного спектра Фурье. Амплиту­ ды фазовых углов полярных гармоник можно выразить через коэффициенты Фурье:

(5.64)

(5.65)

Эти соотношения в точности такие же, как соотношения, дан­ ные в предыдущих разделах для спектра дискретного времен­ ного ряда.

Обычно для построения энергетического или дисперсионно­ го спектра приходится комбинировать коэффициенты а и р. Это позволяет прямо оценить вклад каждой гармоники в форму фигуры. Последовательные приближения анализируемой фор­ мы можно построить с помощью подстановки коэффициентов a и р в уравнение Фурье. По мере увеличения числа гармоник исследуемая форма воспроизводится со все большей деталь­ ностью, пока не будет получен исходный оцифрованный образ. Это случается при частоте Найквиста, когда k = n—1. На рис. 5.38 представлена реконструкция песчинки. Нулевые гармони­ ки дают окружность, диаметр которой равен среднему диамет­ ру исходного контура. Здесь первая гармоника отсутствует, так как песчинка соответствующим образом центрирована от­ носительно своего центроида. Вторая гармоника превращает прежнюю реконструированную форму в эллипс, третья гармо­ ника добавляет треугольную компоненту, четвертая — квадра­ тичную компоненту и т. д. (рис. 5.39).

Пропорция вариаций формы, вызываемых последователь­ ными гармониками, дается энергетическим спектром. Обычно малое число низших гармоник учитывается для почти всех вариаций простых форм, таких, как проекции контуров зерен песка (рис. 5.40). Высшие гармоники отражают все более мелкие детали контура и потому используются седиментолога-

73

Рис. 5.41. Примеры форм, которые нельзя анализировать с помощью поляр­ ного метода Фурье из-за наличия двузначных радиусов:

а — береговая линия атолла в центральной части Тихого океана; б — проекция конодоита Ligonodina; в — контур гранитного Плутона в южной части Он­

тарио

Рис. 5.42. Преобразование цифровых координат в угловые отклонения:

а — прямые линии представляют собой аппроксимацию, образованную оциф­

рованной исходной формой в равномерно расположенных точках. Изменения угла между отрезками 1 и 2 (2 и 3) задаются значениями Ф|(Ф2); б — изме­ нение угла между последовательными отрезками. Это — регистрация резуль­ татов анализа методом Фурье

однажды. Следовательно, этот метод не может быть использо­ ван для анализа очень сложных форм (рис. 5.41).

Другие процедуры Фурье позволяют проводить анализ бо­ лее сложных форм, которые могут быть двузначными в поляр­ ных координатах. Один из методов состоит в превращении ис­ ходного контура в ряд угловых отклонений. Сначала равномер­ но распределенные точки размещаются вокруг периметра объ­ екта. Находится направление от первой ко второй точке и за­ тем угловая разность между этим направлением и направлени­ ем от второй к третьей точке (рис. 5.42). Повторяя этот про­ цесс, заменяем исходный ряд координат X, Y, определяющий заданную форму, рядом угловых отклонений последовательных точек. Этот новый ряд можно анализировать с помощью обыч­ ного метода Фурье, хотя спектр может оказаться трудно нн-

76

Рис. 5.43. Контур наконечника кремние­ вой стрелы позднего палеолита:

терпретируемым, так как здесь переменная У не расстояние, а приращение угла. Это и аналогичные преобразования обсуж­ даются в [14].

Некоторые замкнутые формы обладают двусторонней сим­ метрией или различительной линией, или складкой, которая позволяет ориентировать их вдоль оси. Такую форму можно расщепить или сложить пополам с обращением знаков одной координаты вдоль оси симметрии для одной половины формы (рис. 5.43). Тогда объект выглядит как синусоидальная фор­ ма, которая может быть исследована методами обычного ана­ лиза Фурье. Эти методы полезны при изучении форм некото­ рых ископаемых беспозвоночных и также для характеристики заостренных форм.

ПОСТРОЕНИЕ КАРТ в изолиниях С ПОМОЩЬЮ ЭВМ

Цель построения карт в изолиниях — представление портре­ та формы па поверхности. Такое построение представляет со­ бой нечто вроде трехмерного графа или диаграммы, изображен­ ных на плоскости, двумерном куске бумаги. — ось, направ­ ленная вдоль страницы, X — ось, направленная вверх или вниз по странице. Оси соответствуют географическим направлениям с востока на запад и с севера на юг. Вертикальное направле­ ние У может также представлять возвышения над уровнем мо­

77

ря, мощность или некоторые другие характеристики, изобража­

переменной. Чтобы сохранить связь с последующим изложени­ ем, мы будем продолжать использовать Y как переменную, ко­ торая является функцией других переменных Xt.) Изолинии, строго говоря, есть линии, характеризующие возвышения, либо кровлю, либо подошву изучаемой формации. Геологи казуисти­ чески относятся к терминологии, однако обычно называют изо­ линию контуром, независимо от того, изображает ли ока абсо­ лютные отметки, мощность, пористость, состав пли какое-либо другое свойство.

Изолинии на карте связывают точки равных значений, и пространство между двумя последовательными изолиниями содержит только точки, значения в которых попадают внутрь

водится серия контрольных измерений в довольно произвольном небольшом множестве точек, таких, как положение скважин, точки сейсмических исследований или положение точек опро­ бования.

Проведение изолиний может осуществляться вручную, как

геолог обычно использует не только контрольные точки, но и свою концепцию и представления о том, как эта поверхность должна выглядеть. Вели эти предварительные догадки окажут­ ся на самом деле корректными, то компетентный геолог ока­ жется в состоянии создать карту, превосходящую по качеству карту, вычерченную ЭВМ, С другой стороны, если догадки ге­ олога окажутся ошибочными, то окончательная карта будет содержать серьезные ошибки.

Была проведена серия экспериментов, состоящих в провер­ ке карт, вычерчиваемых ЭВМ [20J. Ряд опытных нефтяннковгеологов выступили против широко используемых программ автоматического построения карт в изолиниях. Проверяемые данные состояли из структурных абсолютных отметок в набо­ ре скважин, пробуренных вокруг Девонского рифа в Альберте, Информация из небольшого числа действительно доступных

78

скважин была представлена участникам эксперимента, цель которого состояла в оценке сравнительных способностей че­ ловека и машины в создании отвечающей действительности структурной карты в изолиниях.

Все построенные карты были очень похожи вблизи конт­ рольных точек и в корне отличались на неконтролируемых площадях. Некоторые геологи построили структурные карты, качество которых было выше, чем качество карт, построенных по программе для ЭВМ, в том смысле, что их представления оказались более близкими к структурным конфигурациям, со­ ответствующим полному множеству данных. Однако другие геологи допустили серьезные ошибки. Самым интересным ока­ залось то, что карта, построенная ЭВМ, почти точно совпадала

линии через общую среднюю точку, и только некоторые допус­ тили отклонение в ту или другую сторону. Контуры, проведен­ ные ЭВМ, почти в точности проходили через среднюю точку этого пучка линий. В этом примере программа для ЭВМ вела себя как «усредненный геолог».

Однако наиболее сильный аргумент в пользу построения карт в изолиниях с помощью ЭВМ состоит в том, что при этом создается математическая модель картируемой поверхности, которая может быть использована также и для других целей. Например, могут быть выполнены такие операции, как карти­ рование отклонений от поверхности, вычисление объемов ниже поверхности, различные операции между поверхностями (пост­ роение изопахит — вычитание одной поверхности из другой).

Необходимо отметить, что большинство процедур построе­ ния карт в изолиниях с помощью ЭВМ являются неожиданны­ ми; в их основе лежит слабая теоретическая проработка свя­ зей различных используемых в них методологий. Скорее они основаны на допущениях здравого смысла и свойствах поверх­ ности, вытекающих из практического опыта.

Некоторые допущения должны быть заложены в любой вычислительный алгоритм, используемый для создания мате­ матической модели, для которой строится карта в изолиниях. Законченная карта отражает эти допущения; модель оправда­ на и карта является соответствующим действительности пред­ ставлением поверхности только при условии, если эти допуще­ ния обоснованы. В общем случае программа предназначена для картирования поверхности, которая: а) однозначна во вся­ кой точке; б) непрерывна всюду в пределах картируемой пло­ щади; в) автокоррелпрована на некотором расстоянии, боль­ шем, чем типичное расстояние между контрольными точками.

79

Если имеется только одно возможное значение, которое картируемое свойство может иметь в некоторой заданной ге­

абсолютную отметку стратиграфического горизонта, которая используется при построении структурных карт в изолиниях. Предполагается, что нет других причин неопределенности из­ мерений кроме тех, которые возникают из-за несовершенства инструментов. Только при очень редких геологических ситуа­ циях (например, перевернутая складка) в стратиграфической единице можно предположить наличие более одной абсолют­ ной отметки в одной точке.

Совсем не очевидна однозначность некоторых геологичес­ ких переменных. Например, измерения пористости или хими­

могут привести к некоторой последовательности значений. Это обусловлено как ошибками измерений, так и случайными изме­ нениями в небольших образцах анализируемых пород. Боль­ шинство автоматических программ построения карт в изолини­ ях не приспособлено к таким повторяющимся данным, хотя множественные наблюдения могут быть приведены к единст­ венному представительному значению, такому, как среднее или математическое ожидание, которые затем можно нанести на карту.

Автоматические процедуры построения карт в изолиниях со­ держат интерполяцию между контрольными точками и экстра­ поляцию вне их пределов. Как следует из используемых мате­ матических методов, все значения, полученные в результате интерполяции, лежат на непрерывной наклонной поверхности между контрольными точками. Если вещественная поверхность содержит разрывные нарушения, то они не будут выявлены программой, а будут закартированы просто как области очень крутого наклона. Для представления разломов или других ди зъю н к ти в н ы х нарушений, о которых имеется предваритель­ ная информация, выбираются специальные процедуры, в ре­ зультате применения которых на карте появляются границы. ЭВМ по программе картирования вычертит поверхности на противоположных сторонах от границ так, как если бы они были совершенно отдельными картами. Соответствующая ма­ тематическая модель будет иметь разрыв в численных значе­ ниях вдоль границ. Однако невозможно создать программу по­ строения карты в изолиниях, которая автоматически распозна­ ет разрывные нарушения.

Программа построения карт в изолиниях основана на допу­ щении, что значения поверхности в одной точке тесно связаны со значениями в соседних точках и менее тесно связаны со зна­

80

чениями в более отдаленных точках. Допущение о том, что картируемая переменная положительно автокоррелирована по меньшей мере на малых расстояниях, в алгоритме соответству­ ет выбору вблизи оцениваемой точки всех близлежащих конт­ рольных точек, после чего оценка поверхности в точке осуще­ ствляется с помощью некоторого способа усреднения. Если по­ верхность высоко автокоррелирована, то все эти соседние кон­

точках. Наоборот, если поверхность слабо автокоррелирована,

предположение о природе этой поверхности между контроль­ ными точками оказывается невозможным.

Триангуляция как метод построения карт в изолиниях

Первая программа построения карт в изолиниях с помощью ЭВМ была простым применением методов, использовавшихся для построения карт топографами вручную [39].

прямыми линиями. Таким образом получается сеть треуголь­

в

Рис. 5.44. Оценка положения изоли­ ний методом триангуляции [39]:

а — данные, неравномерно располо­ женные в пространстве; б — треуголь­ ники картируемой площади с верши­ нами в заданных точках; в — изоли­ нии, проведенные через стороны тре­ угольников, причем конкретные значе­ ния отметок в заданных точках были найдены методом линейной интерпо­

ляции