книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

регионе в структурных ловушках были найдены нефть и газ, поэтому определение направления складок имеет как экономн-' ческпй, так н научный интерес. Есть основания предположить, что складки меньшей величины расположены к западу от На­ га Хиллс, но они скрыты современными осадками, приносимы­ ми Гангом и его притоками. К сожалению, сейсмические дан­ ные, которые могли бы нам дать информацию о погребенных структурах, очень скудны.

Интерпретация снимков со спутников этого региона указы­ вает на многочисленные штрихи неизвестного происхождения. Вполне возможно, что штрихи отражают погребенные складки, и если так, то они дают ценные сведения о структурной геоло­ гии и возможных месторождениях нефти.

На рис. 5.25 представлена карта Восточного Бангладеш, на которой показаны следы осевых плоскостей наибольших анти-

Рис. 5.26. Круговое представление ориентации по данным Восточного Бангла­ деш. Указана средняя ориентация.

52

клиналей и больших штрихов, замеченных со спутников. Ори­ ентации этих двух множеств показаны на рис. 5.26. Так как эти линии не направленные, то графики являются бимодальны­ ми, и для получения правильного распределения векторов мы должны удвоить наблюденные углы. В табл. 5.8 приведены ориентации обеих осевых плоскостей и линеаментов. Очевидно различие между этими двумя множествами, но является ли это различие статистически значимым или возникает из-за ошибок опробования?

Для проверки гипотезы о том, что средние направления осей антиклинали и штриховки одинаковы, мы можем сначала построить векторы для каждой из двух групп и затем предста­ вить результант их объединения. Так, для 32 удвоенных

0,7, и с помощью табл. 5.6 мы можем оценить фактор концент­ рации.

Так как к больше 2 и меньше 10, то подходящая статистика дается формулой (5.46). Подставляя вычисленные значения,

53

получим

табл. 2.14 (см. кн. 1) методом интерполяции находим критиче­

проверяемое значение значительно превышает критическое, мы можем уверенно заключить, что лннеаменты Ландсата и оси складок нельзя считать извлеченными из общей совокупности. Хотя линеаменты Ландсата и полезны при геологических ис­ следованиях, в этом регионе они не отражают тренда структур­ ных складок.

СФЕРИЧЕСКИЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Статистические критерии для проверки гипотез о направ­ ленных данных в трех измерениях были созданы лишь в по­ следние годы частично потом)', что математические проблемы, относящиеся к этой теории, очень сложны. Однако геологиче­ ские проблемы, содержащие гипотезы о трехмерных векторах, являются общими, и мы не уклоняемся от использования под­ ходящей статистической техники для их интерпретации. Неко­ торые из этих методов требуют использования аппарата мат­ ричной алгебры для матриц невысокого порядка, а также на­ хождения собственных векторов и собственных значений. Гео­ метрическая интерпретация собственных вектров, данная в гл. 3 (см. кн. 1), имеет здесь непосредственное приложение. Соответствующие математические методы тесно связаны с мно­ гомерными процедурами, описанными в главе 6. Здесь мы име­ ем дело с тремя физическими измерениями; позже мы приме­ ним те же операции для анализа многомерных данных, в ко­

Земле; измерения простирания и падения пласта, используе­ мые для структурного анализа; векторные измерения геомаг­ нитного поля; направленная проницаемость, измерения в про­ бах, взятых из пород нефтяных месторождений; измерения ори­ ентации осей в петротектонических исследованиях.

Как и в двумерном случае, введем сначала обозначения. Мы можем считать трехмерные направленные наблюдения век­ торами. Поскольку нас будут интересовать главным образом углы между ними, мы можем предполагать, что они имеют еди­ ничную длину. Если все направленные измерения с некоторой площади имеют общую исходную точку, то концы соответетву-

54

'-1ДП - векторов располагаются на единичной сфере; отсюда ч-рмпп «сферическое распределение».

{некоторые ориентированные изображения нельзя тракто­ вать как направления, их удобнее считать осями. В качестве примеров можно назвать линии пересечения множеств ддоеко-

.си падения пластов, оси вращения и перпендикуляры к плос­ костям. В добавление к этому, иногда удобно игнорировать •аправлення векторов, предпочтительнее считать их осями.

Для описания вектора в трехмерном пространстве принято «.пользовать тройку декартовых координат (рис. 5.27, а). Накравленпе вектора ОР характеризуется косинусами углов меж-

. у вектором и каждой из координатных осей. Координаты точ­ ки Р равны

Х а- f У2 -{- Z 2 = 1.

Используя сферические углы, мы можем определить направ­ ление вектора ОР углом Ф между осью X и проекцией задан­ ного вектора на плоскость XY и углом 0 между данным векто­ ром и осью Z (см. рис. 5.27,6). Действительно, 0 определяет широту вектора, в то время как Ф определяет его долготу. Со­ отношение между этими сферическими полярными координата­ ми и декартовыми координатами имеет вид

в терминах простирания и падения, а не в терминах косинусов углов между направлениями или через декартовы координаты. Кроме того, координатные обозначения, используемые геолога­

п’щвлекпе оси Z соответствующим направлению вертикально ■сиз, то мы получим декартову систему координат, в которой едение выражается положительны ми углами (51].

Эти обозначения проиллюстрированы на рис. 5.28 для век­ тора ОР, определенного простиранием и падением заключав­ шей его плоскости. Линия ON есть азимут, пли проекция ОР на горизонтальную плоскость XY\ она перпендикулярна к ли­ нии простирания. Угол А есть угол простирания, измеренный в

5э

Формулы становятся более сложными, если простирание из­ меряется в квадранте, тогда требуется более точно задать на­ правление падения. См. пояснения в статье Ватсона [78J.

Если сферические измерения представлены в виде коорди­ нат X, Y и Z конца вектора, то очень просто вычислить сред­ нее направление и сферическую дисперсию. Это делается ана­ логично вычислению циклического среднего и дисперсии. Сред­ нее направление дается в виде единичного вектора R. Его дли­ на есть

В нормализованной форме R = R/n.

56

Направление R по отношению к трети координатным осям дается косинусами углов между R н этими осями:

Если наблюдения плотно расположены вокруг общего направ­ ления, то R будет большим числом, стремящимся к п. Если наблюдения рассеяны, R будет мало. Как и в случае цикличе­ ского распределения, R можно использовать как меру концен­ трации, и она может быть представлена как сферическая дис­ персия

Эти методы определения среднего направления и сфериче­ ской дисперсии пригодны тогда, когда векторы не очень силь­ но разбросаны. При некоторых условиях, однако, среднее на­ правление может оказаться ложным. Предположим, что были измерены падения полого падающих слоев; одни из них полого падают на запад, другие— на несколько градусов на восток. Так как падение считается вектором, конец которого лежит на нижней полусфере, то вектор R восточного и западного паде­ ний будет направлен вертикально вниз! Конечно, длина R бу­ дет близка к нулю, так что сферическая дисперсия будет боль­

верхнюю и нижнюю полусферы; очевидно, что линии, представ­ ляющие восточное и западное падения, тесно связаны. Сред­ няя ось, вычисленная с помощью методов теории собственных векторов, изложенной ниже, будет горизонтальной и будет проходить через пучок осей падения.

Матричное представление векторов

В гл. 3 (см. кн. 1) уже отмечалось, что строки матрицы графически могут быть представлены векторами. Обратно уг­ ловые характеристики векторов можно представить в матрич­ ной форме. Собственные значения и собственные векторы та­ кой матрицы дают информацию о размещении векторов в про­ странстве. Однако прежде чем охарактеризовать представление множества векторов в матричной форме, приведем обзор по­ ложений геометрии, начиная с двумерного случая.

Геометрическое соотношение, дающее величину проекции одного вектора на направление другого, — это скалярное про­ изведение двух векторов (ркс. 5.29). Если предположить, что оба вектора единичные, то декартовы координаты их концевых

£7

На рис. 5.29 видно, что вектор а, b есть гипотенуза прямо­ угольного треугольника, стороны которого есть проекция I на вектор и, v н перпендикуляр d. По теореме Пифагора получа­

Любое число векторов можно спроектировать на линию и, v с помощью уравнения (5.51), п квадраты пх расстояний от ли­ нии и, и определяются уравнением (5.52;. Сумма квадратов расстояний будет

Пп

ее можно рассматривать как момент инерции конечных точек векторов относительно линии v, v. Это уравнение можно обоб­ щить на трехмерный случай с помош.ыо введения третьей про­ странственной координаты

и

v W

58

Рис. 5.30. Проекция двух диаметраль­ но противоположных векторов на собственный вектор Ъ\.

Расстояния d i и rf2 идентичны и име­ ют одинаковый вращательный момент

ние собственного вектора. Это значит, что направление векто­ ров теряет смысл; они неотличимы от осей. По этой причине методы теории собственных векторов предпочтительнее при исследовании данных, распределенных на сфере, в тех случаях, где неоднозначность соответствует различию между векторами с концами в верхней н нижней полусферах.

Собственные векторы обеспечивают прямую информацию о распределении этих векторов. Мардиа [51] различает четыре случая.

1. Ад велико, в то время как Аг и Аз малы. Это значит, что сумма квадратов перпендикуляров между концевыми точками векторов и осью, соответствующей первому собственному век­

собственных векторов должно быть очень большим, а расстоя­ ние до третьего собственного вектора должно быть малым. Наблюдения собираются в пучок вокруг конца третьего собст­ венного вектора (см. рис. 5.31,6, в). Как бимодальное, так и унимодальное распределения да^т одинаковый результат; они могут различаться значением R, которое для унимодального случая будет большим.

3. Два собственных значения совпадают. Это на самом де­ ле некоторый частный случай случая 1. Наблюдения образуют симметрический пояс вокруг осп, соответствующей единствен­ ному собственному значению (см. рис. 5.31, г).

4. Все три собственных значения одинаковы. Распределе­ ние равномерное, так как перпендикулярные направления для

60