книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

же сторон треугольников находят точки, в которых абсолютная

проведению горизонтальных линий через эти наклонные плас­ тинки. Почти каждый студент-геолог или инженер имел дело с ручным эквивалентом этого процесса при выполнении упраж­ нений по картированию или съемке.

Очевидно, что если контрольные точки связаны различным образом, то будут определены различные множества треуголь­ ных пластинок и различные множества контурных линий. В не­ которых ранних программах построения карт в изолиниях про­ стой ввод данных точек в различной последовательности при­ водил к заметному на глаз различию изолиний на карте. Что­ бы избежать этого, были сделаны попытки выбрать единствен­ ное оптимальное множество треугольников для картирования. Обычно это означает, что треугольники выбираются настолько близкими к равносторонним, насколько это возможно, или что треугольники должны иметь наименьшую возможную высоту, или что наибольшая сторона треугольника должна быть на­ столько короткой, насколько это возможно [30]. К сожалению, не известно ни одного алгоритма, который бы обеспечивал по­ строение треугольной сети таким образом, чтобы достигалась оптимальная конфигурация. Это часто приводит к чрезвычайно большому времени выполнения алгоритма, результатом чего оказался полный отказ от метода треугольников. Его место заняли процедуры, которые использовали контрольные точки только для получения оценок поверхности в узлах регулярной сети и затем для проведения изолиний по ее узлам, а не но самим контрольным точкам.

В последние годы наметился возврат к триангуляционным процедурам благодаря созданию алгоритма, который позволяет получить почти оптимальную сеть на первом шаге [39], [55[. Эти сети, называемые триангуляцией Делоне, определены един­ ственным образом для данного множества точек. В дополнение к этому образуемые треугольники настолько близки к равно­ сторонним, насколько это возможно. Это значит, что наиболь­ шие расстояния, на которых должна производиться интерполя­ ция для нахождения уровней изолиний меньше, чем в другой треугольной сети.

Если мы имеем дело с рассеянным множеством точек, то можно себе представить, что каждая точка, лежащая внутри многоугольника, расположена ближе к любой другой точке, содержащейся в нем, чем к точке вне его (рис. 5.45). Наобо­ рот, каждая точка, находящаяся вне заданного многоугольни-

82

ка, ближе к некоторой другой, чем к точке, лежащей внутри этого многоугольника. Это — наиболее компактное подразделе­ ние пространства из всех возможных. Множества многоуголь­ ников с такими свойствами называются многоугольниками Тиссснп, Дирихле, Вороного и возникают во многих областях.

Географы используют многочлены Тиссена для моделиро­

щением многоугольников. Совокупность мыльных пузырей об­ растет легко наблюдаемую сеть многогранников Вороного.

Многоугольники, непосредственно примыкающие к много­ угольнику Тиссена, заключающему заданную точку А, также являются многоугольниками Тиссена, каждый из которых за­ ключает единственную точку. Эти точки называются тиссеновскпми соседями точки А. Если эти точки соединить прямыми линиями, то получится треугольная сеть Делоне (рис. 5.46). Для любого размещения точек как многоугольники Тиссена, так п треугольники Делоне единственны. Процесс триангуля­

дет соседом А. Если некоторая точка внутри круга будет най­ дена, то она заменит точку В. Поиск следующего соседа про­ изводится против часовен стрелки относительно точки А. Круг разлагается указанным образом так, чтобы точки А и В были расположены на его периметре. Затем внутренность круга про­ веряется на наличие каких-либо заключенных в нем точек. Если будет найдена одна точка, то она будет вторым тнссенов-

есть сосед; б — большая окружность с точками А и В иа ией используется для поиска ближайшего соседа в направлении против часовой стрелки. С яв­ ляется соседом, так как угол ВСА превышает угол ВС'А; в — исходя из окружности для хорды АС, находим соседа D; г — окончательный поиск круга приводит снова к точке В

ским соседом. Если будут найдены две или более точки, надо правильно определить вторую окрестность. Это делается с по­ мощью вычисления угла, образованного точкой В, точкой-каи- дидатом и точкой А. Истинный тиссеновский сосед будет обра­ зовывать наибольший угол (рис. 5.47,6).

Поиск третьего тиссеновского соседа проводится с помощью вычерчивания такой окружности, что точка А и точка С, вто­ рой сосед, лежат на ее периметре. Проверяют, нет ли внутри этого круга какой-либо точки, которую можно было считать

-84

Рис. 5.48. Соединяя Тиссеиовских сосе­ дей точки А , получаем треугольную сеть вокруг точки А. Процесс затем повторя­ ют для одной из точек В—F и затем опять повторяют

третьим соседом D (см. рис. 5.47,6). Далее строится круг, ко­ торый на своем периметре содержит точки А и D и внутри ко­ торого производится поиск четвертого тиссеновского соседа. Может случиться, что точка В будет снова объявлена тиссеновским соседом; тогда все соседи А должны быть отождеств­ лены (рис. 5.47,г). Соединив этих соседей, получим треуголь­ ную сеть вокруг А (рис. 5.48).

Один из тиссеиовских соседей теперь обозначается через новую точку А, вокруг которой снова будет производиться по­ иск, и весь процесс начнется снова. Сеть разрастается, распро­ страняясь, подобно волне, по карте до тех пор, пока каждая точка не будет в нее включена. Для достижения эффективно­ сти вычислений целесообразно предварительно осуществить сортировку координат точек для того, чтобы при поиске снача­ ла рассматривались наиболее вероятные кандидаты на роль соседа. Хотя этот процесс довольно трудно описать, МакКаллах и Росс [55] определяют число необходимых шагов для осуществления триангуляции некоторого множества из га то­ чек и показывают, что оно пропорционально nlogn. Наоборот, число операций, требуемых для построения треугольной сети методом проб н ошибок, пропорционально га3, а число шагов при построении сети пропорционально га2.

Допущение, что треугольники представляют наклоненные плоские пластинки, очевидно, следует из очень грубой аппрок­ симации поверхности. Более точная аппроксимация может быть достигнута, если использовать изогнутые треугольные пластин­ ки, в частности, если удастся соединить их гладко вдоль краев треугольников. Для этой цели использовались различные ме­ тоды. Один из наиболее ранних состоит в нахождении трех ближайших соседей к сторонам треугольника, и затем в пост­ роении полиномиальной тренд-поверхности второй степени по этим точкам и по вершинам треугольника. Поверхность трен­ да второй степени куполоили бассейнообразная, она опреде­

85

ляется шестью коэффициентами. Это означает, что искомая поверхность проходит в точности через все шесть точек. Полу­ ченное уравнение затем может быть использовано для нахож­ дения ряда точек, имеющих данную отметку. Эти точки соеди­ няются, образуя не прямые линии, а искривленные.

Даже несмотря на то, что примыкающие пластинки подби­ раются с помощью использования одних и тех же точек, их поверхности тренда не совпадают точно вдоль линии перекры­ тия. Эго значит, что направления могут меняться скачком, ког­ да изолинии переходят с одной треугольной пластинки на дру­ гую. Один из путей исправления положения — это совмещать изолинии двух поверхностей, усредняя их.

Наиболее элегантная процедура основана на использовании

оконтурпвания [30], [54]. Процедуры, используемые МакКаллахом для моделирования формы поверхности внутри каждой треугольной пластинки, слишком сложны, чтобы здесь описы­ вать их в деталях. Интересующихся можно отослать к его ста­ тье или к полному математическому изложению [8]. Интерпо­ ляционное уравнение называется трикубическим многочленом, и получение оценки каждой точки внутри треугольника в фор­ ме, используемой при проведении изолиний, требует девяти па­ раметров. Первые три из этих параметров — это на самом де­ ле попарные произведения сторон треугольника. Второе мно­ жество трех параметров — это по существу координаты оцени­ ваемой точки, выраженные по отношению к каждой из трех вер­ шин. Последнее множество из трех координат — это первые производные поверхности в каждой вершине. Производная в некоторой вершине оценивается аппроксимацией плоскости к ее тисссновским соседям с помощью метода наименьших квадра­

зом, чтобы дать оценку У в заданной точке. Все оценки внутри треугольника лежат па гладкой искривленной поверхности, ко­ торая изменяется непрерывно с аппроксимирующей поверхно­ стью в примыкающих треугольниках. Непрерывность вдоль сторон двух примыкающих треугольников обеспечивается тем, что опн имеют две общие вершины и разделенные поровну обобщенные наклоны.

При проведении изолиний уравнение оценивания обраща­

ется. Значение У полагается равным заданному уровню изоли­ ний, и для нескольких выбранных координат А] находятся ьо-

86

Рис. 5.49. Изображение контрольных точек для задачи топографического кар­ тирования.

ординаты Х-2 (или наоборот). В результате получается ряд то­

чек, имеющих постоянные значения У. Изолиния может быть проведена простым соединением этих точек.

Набор значений, по которому строится карта в изолиниях, вводится в машину в виде матрицы порядка гаХЗ, в которой

тов измерения абсолютных отметок топографической поверх­ ности. Эти данные получены при мензульной съемке и равно­ мерно распределены на изучаемой площади с учетом заданно­

можно было бы выразить и в любых других единицах, что не повлияло бы на результаты.

87

рый заключает большинство контрольных точек, необходимо разместить вдоль границы карты ряд псевдоточек. В этом при­ мере одна псевдоточка размещается в вершине каждого угла н еще две размещаются вдоль каждой стороны карты.

Окончательная карта, построенная методом треугольников, приведена на рис. 5.51. Она очень напоминает карту (см. рис. 5.58), построенную методом сеток, но имеются различия в деталях. Наиболее очевидные из них — это узкие области, на которых наклон поверхности резко изменяется, как на юго-за­ падном и центральном северном участках карты. Это как раз площади, где треугольники Делоне очень острые. Вдоль полей карты эти черты можно исправить, вставив разумным образом псевдоточки, но они не могут быть изменены внутри поля карты до тех пор, пока большее количество данных не окажет­ ся доступным.

88

Построение карт в изолиниях методом сетей

Построение методом сетей — это процесс определения зна­ чений поверхности в некотором множестве точек, которые раз­ мещены по регулярной схеме, обычно квадратной, которая пол­ ностью покрывает картируемую площадь. В общем случае значения поверхности в этих равномерно расположенных в пространстве точках неизвестны, и задача состоит в их оценке по известным значениям поверхности в неправильно располо­ женном множестве контрольных точек. Точки, в которых про­ изводится оценка, называются узлами сети.

В этом методе сначала строится математическая модель поверхности, которая имеет форму наклонной квадратной'пластинки. В простом алгоритме эти пластинки плоские. В более сложных алгоритмах они искривлены и каждая гладко пере­ ходит в примыкающие пластинки. Математическая модель строится для чисто практических целей. Много легче провести изолинии через сеть регулярно расположенных точек, чем про­ водить их через иррегулярную сеть исходных точек. Все воз­ можные способы, которыми изолиния входит в квадрат и поки­ дает его и которые определены четырьмя равномерно распо­ ложенными узлами сети, известны. Легко написать алгоритм

Ряс. 5.50. Треугольная сеть Делоне для контрольных точек, изображенных иа рис. 5.49. Добавлены ложные точки по краю карты

89

Рис. 5.51. Топографическая карта в изолиниях, полученная по программе, в которой в качестве математической модели поверхности использована тре­ угольная сеть. Интервал между изолиниями — 25 футов (0,3 м)

вычерчивания линий с учетом всех этих возможностей. Изоли­ ния может быть проведена просто вычерчиванием пути при ее переходе из одного квадрата сети в следующий. Определить путь изолинии через иррегулярную схему контрольных точек, как это делается в алгоритме метода треугольников, намного труднее. Отдельные точки не могут быть связаны так, чтобы образовать регулярную сеть, поэтому возможные пути изоли­ нии заранее неизвестны. Значит, явные координаты Хх и Х2 всех промежуточных точек, содержащихся в вычислениях пути изолиний, должны сохраняться в памяти ЭВМ. В регулярной

быть оценены значения поверхности, обычно располагаются в квадратную схему, в которой расстояния между узлами в од­ ном направлении такие же, как и в перпендикулярном к нему. В большинстве программ построения карт в изолиниях эти расстояния находятся под контролем пользователя и их вели­ чина является одним из многих параметров, который должен

90

быть выбран прежде, чем поверхность будет покрыта сетью и картирована. Площадь, заключенная между четырьмя верши­ нами, называется ячейкой сети; если ячейка сети выбрана большой, полученная карта будет иметь низкую разрешающую способность и грубый вид, зато может быть быстро построена. Наоборот, если ячейки сети малы, то карта будет иметь больше деталей, однако потребует больше усилий для ее построения.

Так как алгоритм построения сети позволяет оценить толь­ ко одно значение по набору близких контрольных точек, то процедура оценки должна быть повторно применена в преде­ лах всего поля карты до тех пор, пока вся карта не покроется регулярной сетью оцененных значений. Как только регулярная сеть опенок построена, изолинии могут быть проведены.

В некоторых пакетах программ начальный шаг построения оценок узлов сети дополняется одним или более дополнитель­ ными шагами, в которых оценки узлов сети уточняются. Обыч­ но \лдк сети непосредственной окрестности каждой контроль­ ной ючкп вычисляются повторно, при этом используются как псходныо контрольные точки, так и первоначальные оценки в окрестности узлов сети. Это позволяет получить карту поверх­ ности, которая находится ближе к контрольным точкам, чем на псе гыдущем шаге.

Построение сети или вычисление регулярной схемы оценен­ ных значений содержит три существенных шага. Первый: конт­ рольные точки должны быть рассортированы в соответствии с их географическими координатами. Второй; контрольные точ­ ки, окружающие оцениваемый узел сети, должны быть выбра­ ны ns рассортированных файлов. Третий: алгоритм должен дать оценку значения в этом узле сети через некоторую мате­ матическую функцию значений в соседних точках. Сортировка значительно влияет на скорость выполнения операций и, сле­

не будем рассматривать ее далее. Как выбор программы поис­ ка, га.-: п выбор математической функции имеет значительное влияние на окончательную форму карты.

Большинство известных функции, которые позволяют оце­ пить значение поверхности в заданной точке карты, это просто вычисление среднего известных значений поверхности по близ­ ким контрольным точкам. Действительно, оно сводится к гори­ зонтальному проектированию всех этих окружающих извест­ ных значений на оцениваемое положение (рис. 5.52). Затем проводится сложная оценка с помощью усреднения этих точек, обычно взвешенных с большим весом для самых близких то­ чек, чем для более удаленных. Если это сделано на регуляр­ ной сети по всему полю карты, полученная карта будет иметь определенные характеристики. Наибольшие и наименьшие пло-

91