книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

ная для достижения хорошего предсказания на неконтролируе­ мых площадях, а на втором — изменение сети в непосредствен­ ной окрестности контрольных точек. Полученная сложная по­ верхность по меньшей мере частично удовлетворяет различным поставленным условиям. Однако она имеет специфические чер­ ты в малых окрестностях каждой контрольной точки, которые не встречаются больше нигде на этой карте.

Карта топографических данных, приведенная в табл. 5.11, представлена на рис. 5.58, построенном по программе, которая дает регулярную сеть. В этом примере математическая модель поверхности содержит 63 строки и 63 столбца; каждый узел сети был оценен с помощью проекционного алгоритма, учиты­ вающего примерно 16 контрольных точек. Контрольные точки взвешивались в соответствии с их расстоянием от узлов сети с помощью функций, заданных уравнением (5.68). Сравним эту карту с двумя картами рис. 5.51, полученными по методу треугольников, и картой рис. 5.59, построенной вручную работ­ ником картографической службы. Имеются расхождения меж­ ду двумя картами, построенными ЭВМ, и картой, построенной вручную, которые отражают различия в соответствующих мо­ делях и также тот факт, что человек может учесть информа-

Рис. 5.59. Карта в изолиниях, построенная по топографическим данным вручную.

Отметим увеличение влияния русел на форму изолиний

102

400 г а

!0м

6

Рис. 5.60. Изменчивость содержаний серебра вдоль шт'ольии рудника в Мек­ сике:

сказать, что эта зависимость сортности руды от расстояния характеризуется экспоненциальным законом, а дисперсия яв­ ляется гетероседастичной.

В этом случае данные можно преобразовать, взяв логариф­ мы значений содержаний рудного компонента. Тогда экспонен­ циальная кривая тренда превратится в прямую, а гетероседастичная дисперсия относительно тренда станет постоянной. Логарифмы тех же данных представлены на рис. 5.60, б.

Другая особенность многих рудных месторождений заклю­ чается в том, что среднее содержание полезного компонента в блоке чаще всего не зависит от размера блока, если превы­ шен некоторый минимальный объем. Однако часто оказыва­ лось, что дисперсия содержаний в пробах руды находится в обратной связи с размером блока, уменьшаясь по мере увели­ чения объема пробы. Вероятно, это приводит к задаче оценки запасов, так как объемы проб, на основании которых должны быть получены оценки, во много раз меньше, чем блоки руды, которые затем будут отработаны. (Этот вопрос рассматрива­ ют Кох н Линк [45J.) Поэтому дисперсия содержаний в про-

104

бах может оказаться настолько высокой, что реальную оценку содержаний руды в блоках дать нельзя. Для получения оценок с меньшей дисперсией можно воспользоваться методом сколь­ зящего среднего по выборке в надежде усреднить большую из­ менчивость, связанную с отдельными пробами.

Двумерные методы скользящего среднего являются обоб­ щением процедур сглаживания данных, рассмотренных в гл. 4 (см. книгу 1). В общем случае требуется оценить переменную в ряде точек сети или приписать значения последовательно примыкающим друг к другу квадратам пли прямоугольникам на карте. Данные, на основании которых делаются опенки, разбросаны на площади карты и могут лежать или не лежать в узлах сети. Фигура, аналогичная сглаживающему интервалу в анализе временного тренда, располагается так, чтобы ее центр лежал в точке, в которой должна быть получена оценка. Всем данным точкам, лежащим внутри этой фигуры, например квадрата или круга, приписываются некоторым образом веса, которые затем используются при получении оценки в централь­ ной точке. Простейшая схема метода скользящего среднего состоит в том, что оцениваемой точке приписывается значение, равное среднему арифметическому всех наблюдений, лежащих

будут вычислены оценки для одной строки или столбца сети, переходят к следующей строке или столбцу, и так до тех пор, пока вся площадь карты не будет покрыта полностью.

Общую модель любого метода скользящего среднего можно записать в следующем виде:

П

(5.69)

т. с. оцениваемое значение Уц строится на основании взвешен­ ной суммы Yk соседних наблюдений. Вид весовой функции' из­ меняется от одной схемы скользящего среднего к другой. На­ пример, в программе построения изолиний использовано сколь­ зящее среднее с весами, равными обратным величинам рас­

стояний точек от Yij. Можно использовать столь же простую схему выборочного среднего, как схема сглаживания функций, изложенная в гл. 4. Очевидно, возможны также и другие схемы взвешивания.

Большинство методов скользящего среднего так пли иначе использует расстояния от оцениваемой точки до оценивающих точек. В программе построения изолиний измеряется расстоя­ ние до п ближайших точек и каждому приписываются соот­ ветствующие веса. Методы, аналогичные одномерным сглажи­

105

вающим процедурам, требуют, чтобы данные были расположен

ны по сетке. Тогда пространственное соотношение между Уц и каждым значением У внутри скользящего интервала оказыва­ ется известным. В этом случае веса остаются постоянными для эквивалентных точек Yh по мере того, как поверхность сколь­

лах каждого из них усредняются, затем средним по блокам У приписываются веса, которые используются для получения

оценки Yij. Если в каждом блоке содержится много наблюде­ ний, то, совершая лишь незначительную ошибку, можно счи­ тать, что среднее значение соответствует центру блока. Так как центры блоков всегда расположены на фиксированном расстоя­ нии от оцениваемой точки, то можно использовать постоянные весовые функции. Этот метод имеет значительные преимуще­ ства в том случае, если оценки строятся на основании крайне нерегулярной сети контрольных значений. Мы детально оста­ новимся на рассмотрении метода скользящего среднего треть­ его типа, так как это — один из наиболее перспективных мето­ дов, который широко использовался для оценки некоторых крупных рудных месторождений Северной Америки.

Скользящие взвешенные средние, полученные по средним значениям в блоках

Даже в том случае, если минерализированная жила очень мала, в процессе разработки месторождения должен быть вы­ бран блок породы соответствующего размера. Минимальный размер этого блока определяется методом отработки и зави­ сит от размеров оборудования и строения породы. Хотя в про­ цессе отработки блоков содержание полезного компонента уменьшается за счет разубожнвания пустой породой, техноло­ гия разработок делает это неизбежным. Все перечисленные факторы определяют минимальный размер блока, содержание в котором мы хотим оценить. Например, бессмысленно оцени­ вать содержание руды в одной кубической единице объема, если размер блока выработки составляет 100 кубических еди­ ниц. В разработках, в которых используется метод взвешенно­ го усреднения по блокам, наименьшая длина в каждом измере­ нии, используемая на практике, составляет примерно 100 фу­ тов. Эта наименьшая практическая единица, используемая в разработках, меняется от одного месторождения к другому и, вероятно, является наибольшей при разработке тел вкраплен­ ных руд и наименьшей в очень богатых гидротермальных жи­ льных месторождениях.

106

К счастью, крупные блоки менее подвержены большим из­ менениям содержаний, чем малые пробы. Действительно, фун­ даментальное допущение в методе скользящих взвешенных блоков состоит в том, что минимальный размер разработки так велик по сравнению с расстоянием, на котором наблюдается быстрое изменение содержаний, что дисперсия не изменяется при увеличении размера блоков. Поэтому наименьшие практи­ ческие единицы отработки приходится комбинировать в после­ довательном порядке для получения больших блоков. Если из­ менчивость в большинстве единиц оказывается много меньше, чем изменчивость практически наименьшего блока, то эти ма­ лые блоки будут иметь дисперсию, не превосходящую диспер­ сию больших комбинированных блоков. Теоретическая кривая зависимости дисперсии от объема выборки указана на рис. 5.61: она иллюстрирует предположение, что дисперсия устойчи­ ва при превышении минимального критического размера про­ бы.

Чтобы определить скользящее среднее для средних значе­ ний блоков, мы должны сначала определить веса, соответству­ ющие блокам. Необходимо задать также размещение самих блоков, но оно является более или менее произвольным. Пред­ положим, что мы решили воспользоваться планом скользяще­ го среднего, представленным на рис. 5.62. Мы хотим получить

оценку Y содержаний компонента в руде, которая будет добы­ та из блока 1 на основании разведочных проб, взятых в бло­

ках 1—9. (Заметим, что Y — оценка содержания, полученная

107

ляются оценки для Y, мы будем передвигать схему опробова­ ния на неизвестную область, получая при этом оценки содер­ жания в последовательности примыкающих блоков до тех пор, пока не покроем всю площадь.

Уравнение скользящего среднего определяется по значени­ ям содержаний рудного компонента, извлеченного из горной выработки в изучаемом регионе. Предположим, что наш план скользящего среднего нанесен на карту рудного тела, которое уже выработано. Используя полученные пробы и количествен­ ные анализы по каждому из блоков, можно вычислить средние значения для блоков, которым соответствуют наши переменные Уь У2...... Уэ. Записи добычи дают количество полезного ком­ понента, в действительности добытое из интересующего нас блока. Если обозначить его через Y, то можно связать содер­ жание в добываемой руде с количественными анализами раз­

которое, очевидно, является уравнением регрессии }' относи­ тельно Yu ...,Yj. Применяя эту схему последовательно ко мно­ гим блокам, получим множество наблюдений Y. Это даст воз­ можность решить (5.70) с помощью методов наименьших квад­ ратов, почти в точности совпадающих с теми, которые исполь­ зовались для построения поверхностей тренда.

Теперь у нас есть оценка Y содержания полезного компо­ нента в центральном блоке, которая основана на средних про­ бах, взятых из окружающих блоков. Прогнозирующее уравне­ ние содержит постоянный член н девять весовых коэффициен­ тов. Однако можно определить постоянную (50 как произведе­ ние новой постоянной на среднее по всем полученным пробам для всех блоков:

10 8

Все коэффициенты уравнения регрессии, включая постоян­ ный член, можно теперь считать весовыми функциями. Прирав­

нивая р0 к Р'0У, получим регрессию, не зависящую от какоголибо тренда, который имеется в данных, и уравнение будет применимо к другим площадям, даже несмотря на то, что среднее значение по этим новым площадям будет выше или ни­ же, чем в области, для которой уравнение было построено.

Теперь можно использовать уравнение регрессии в качестве скользящего среднего для неотработанной части месторожде­ ния. Поместив схему на карту разработки, нужно будет только взять пробы в каждом из девяти блоков. Используя значения количественных анализов, можно вычислить значения для каж­ дого блока, которые затем станут У-ами в (5.72) и будут ис­

пользованы для оценки значения У. Затем эта схема применя­ ется последовательно к различным блокам в неразрабатывае­ мой части месторождения, давая оценки содержаний для раз­ ведки и подсчета запасов.

Успех применения метода зависит от двух условий. Во-пер­ вых, уравнение регрессии должно точно выражать содержание полезного компонента в уже освоенной части месторождения. Если качество аппроксимации с помощью линейной регрессион­

ной модели плохое, то скользящее среднее У в применении к неразработанным частям месторождения будет малоэффектив­ ной оценкой для У. Однако благодаря устойчивости дисперсий в пределах больших блоков обыкновенно удается получить хо­ рошую аппроксимацию. Плохой подбор указывает на изменчи­ вость, масштаб которой сравним с размерами самих блоков. Второе важное условие состоит в том, что распределение зна­ чений в отработанной части месторождения очень сильно на­ поминает распределение в неотработанной части, хотя для оценок часто приходится использовать уравнения, построенные по данным совершенно другого рода. Однако оценка месторож­ дений — это динамический процесс, и техника оценки совер­ шенствуется по мере развития науки. Обычно же площадь, по которой строится прогнозное уравнение, выбирается от прогно­ зируемой настолько близко, насколько это возможно.

Как вы, вероятно, догадались, схемы взвешивания скользя­ щих блоков являются «изготовленными по заказу» рецептами для данного месторождения или даже для его части. Выбор схемы скользящего среднего определяется наличием сильного тренда значений, применяемой системой разработки месторож­ дения, а также многими другими факторами. По этой причине мы даже не пытаемся написать программу скользящего сред­ него общего назначения, хотя это относительно простая зада­ ча. Развитие этого метода и примеры его приложения к боль­ шим месторождениям даны Криге [46J.

109

Для упрощения задачи можно допустить, что картируемая переменная статистически стационарна или свободна от дрифта. Значение в точке, не принадлежащей выборке, может быть оценено как взвешенное среднее известных наблюдений, т. е. значение в точке р основано на ограниченном множестве близ­ лежащих контрольных точек:

Yp = lWiYi.

Следует ожидать, что оценка Yp будет отличаться от истинно­ го (но неизвестного) значения Yp на величину, которую можно назвать ошибкой оценки:

ер=(Ур-Ур). (5.73)

Если сумма весов, используемых в оценке, равна единице, то полученная оценка называется несмещенной при условии, что дрифта нет. Это значит, что для большого множества оценок средняя ошибка будет равна нулю, так как положительные и отрицательные отклонения взаимно компенсируют друг друга. Однако даже если средняя ошибка оценки оказывается нуле­ вой, оценки могут быть широко рассеянными относительно истинных значений. Это рассеяние можно охарактеризовать дисперсией ошибки:

зли после извлечения квадратного корня стандартной ошибкой оценки:

Как уже отмечалось в разделе по картированию в изоли­ ниях, интуитивно представляется правдоподобным, что ближай­ шие контрольные точки оказываются наиболее влияющими на щенку значения в точке поверхности, не являющейся точкой опробования, и что более удаленные контрольные точки ока­ зывают меньшее влияние. Мы также вправе ожидать, что ис­ пользуемые веса в процессе оценивания и ошибки оценок не­ которым образом должны быть связаны с полувариограммой

111