книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

§1] РАСЧЕТ ВНУТРЕННИХ ЗАДАЧ АЭРОДИНАМИКИ 2 2 1

в которых поперечный размер канала, как правило, намного меньше его длины. В приводимых ниже примерах рассматривается довольно широкий и короткий канал, что позволяет, например, моделировать условия на входе

=0,5 Ч- 2,5. На рис. 9.1—9.2, 9.4—9.5 по осям координат отложены размеры расчетной сетки, причем]]контур] сопла совпадает с верхней границей расчет­ ной области. Задача рассчитывалась на сетке 40x58.

На рис. 9.1 приведены линии М = const для случая обтекания кругового цилиндра в плоском канале с М0О= 2,0 на входе (на левой границе области). Видно, что перед телом, как и при внешнем обтекании, образуется головная ударная волна (сгущение линий уровня). По мере удаления от оси симметрии эта волна отклоняется вниз по потоку и в отсутствие верхней стенки пересекла бы ее местоположение под определенным углом. В канале же происходит отра­ жение волны под некоторым углом, отличным от прямого. Этот угол таков, что при наличии взаимодействия волны со стенкой здесь осуществляется нерегу­ лярное отражение с образованием скачков ^-конфигурации. На верхней части рис. 9.1 наблюдается четко обрисованная ножка скачка: здесь линии уровня сильно сгущаются и, начиная с некоторого, достаточно большого расстояния, подходят к стенке по нормали. Наличие именно прямого скачка на ножке ^-конфигурации подтверждается тем, что при переходе через нее скорость по­ тока меняется от сверхзвуковой ( ^ = 2 ,0 ) к дозвуковой (М ~0,5 ч- 0,6), причем Aeo-A i= l, т. е. условие на прямом скачке выполнено. Напомним [327], что под коэффициентом скорости Л понимают обычно

Это вполне отвечает физике явления — торможению дозвукового потока в су­ живающемся канале.

Как следует из рис. 9.1, в районе точки ветвления ^-скачка появляется особенность типа седловой точки. Из-за этой особенности структура потока ста­ новится весьма]сложной. Звуковая линия, идущая от головной ударной вол­ ны, не соединяется со звуковой линией, выходящей с поверхности центрально­ го тела (цилиндра). Обе они, сблизившись в районе седловой точки, затем вновь расходятся и заканчиваются на верхней твердой стенке. Таким образом, дозвуковая подобласть (область эллиптичности) здесь значительно больше по своим размерам, нежели в случае внешнего обтекания аналогичного цилиндра, и простирается от плоскости симметрии до верхней стенки, «запирая» всю пло­ щадь сопла.

За кормовой частью тела наблюдается (рис. 9.1) срывнаязона, где скорости движения весьма малы {М ~ 0,2 ч- 0,3). Над срывной зоной (над слоем смеше­ ния) расположена область повышенных сверхзвуковых скоростей потока, ко­ торая образовалась в результате разворота течения вокруг центрального тела. Качественная структура потока в этих областях такая же, как и в случае внешнего обтекания тел конечных размеров (см. гл. VII). В общих чертах аналогичная картина в срывных зонах и в областях повышенных скоростей наблюдается и на следующих рисунках (рис. 9.2—9.6).

Рис. 9.2 отличается от остальных рисунков, приведенных в данной главе, тем, что здесь указан случай течения в плоском канале с центральным телом

§2] ОБ УРАВНЕНИЯХ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДВУХФАЗНЫХ ДИСПЕРСНЫХ СРЕД 225

при умеренной дозвуковой скорости на входе ( ^ = 0 ,5 ) . Головной ударной

линдра — здесь является сверхкритическим (МЖ>Л41), поэтому над боковой поверхностью центрального тела появляется локальная сверхзвуковая зона. На рис. 9.2 отчетливо виден замыкающий ее скачок уплотнения. Однако эта зона гиперболичности настолько мала, что скачок не достигает верхней стенки и не взаимодействует с ней.

На следующем рис. 9.3 приведены линии постоянных значений вихря rot w =const для прямого осесимметричного сопла со сферой в качестве цент­ рального тела. На входе задана сверхзвуковая скорость потока с Л4в= 1,5. Этот пример интересен тем, что он позволяет достаточно четко определить ка­ чественную структуру потока и местоположение различных особенностей. Известно, например, что на ударной волне поток теряет потенциальность и приобретает вихревой характер. Направление завихренности (ее знак) опреде­ ляется углом наклона ударной волны по отношению к направлению потока. Поэтому следует ожидать, что в точке излома головной ударной волны (в окрест­ ности седловой точки) вихрь скорости будет менять знак. Расчеты, приведен­ ные на рис. 9.3, подтверждают это предположение. Таким образом, наличие ^-конфигурации скачка вблизи верхней стенки подтверждается еще одним при­ мером. Из этой фигуры видно также, что в срывной области за телом локали­ зуются весьма большие значения вихря скорости.

На рис. 9.4 приведены изолинии плотности (p=const) для случая плоского осесимметричного сопла с круговым цилиндром на оси (^„= 1 ,7 ). На рис. 9.5 показаны изобары р/р0О= const для задачи о течении в осесимметричном сопле со сферой на оси (^„= 2 ,5 ). На этих рисунках также отчетливо наблюдаются Л-скачки у верхней стенки канала.

Сравнивая различные режимы течения, можно отметить, что как в плоском (рис. 9.1, 9.4), так и в осесимметричном (рис. 9.3, 9.5) случаях по мере умень­ шения скорости набегающего потока (когда число 1) ^-структура скач­ ка становится все более отчетливой, ножка волны увеличивается по высоте и становится заметнее. Это происходит из-за того, что угол падения головной ударной волны на стенку уменьшается. При возрастании числа т. е. с уве­ личением угла падения волны, ножка Я-скачка становится все меньше, ее ин­ тенсивность слабеет, пока не исчезает вовсе при некотором критическом зна­

чении угла падения (т. е. при определенном критическом числе Маха MJ).

в плоском канале с внутренним телом другой формы — плоским сегменталь­ ным профилем с относительной толщиной 24% (714^=1,5). Здесь также отчет­ ливо видна ^-конфигурация с седловой точкой.

Итак, при взаимодействии скачка уплотнения с верхней стенкой канала на определенных режимах обтекания образуется Я-скачок (рис. 9.1, 9.3—9.6). О наличии такого скачка говорит образование ножки волны (рис. 9.1, 9.4— 9.6), а также то обстоятельство, что значение вихря в окрестности ^-скачка ме­ няет знак (рис. 9.3).

§ 2. Об используемых уравнениях газовой динамики двухфазных дисперсных сред

Рассмотрим движение дисперсных сред на примере двухфазной (двухско­ ростной двухтемпературной) среды, т. е. используем предположение об одина­ ковости частиц взвешенной фазы. Отметим, что даже в этом случае число ин­ тегрируемых дифференциальных уравнений увеличивается в два раза по срав­

При выборе физической модели будем проводить рассуждения, следуя ра­ ботам Р. И. Нигматулина и А. И. Ивандаева [294, 300 и др.] Для конкрети­ зации законов взаимодействия фаз диспергированные частицы взвеси для про­ стоты будем считать сферами диаметра 6. Кроме того, будем предполагать, что интенсивности теплового и силового взаимодействия частицы с окружающим газом не зависят от присутствия соседних частиц в ее ближайшей окрестности. Тогда для задания интенсивности теплообмена можно использовать обычные соотношения:

Здесь p — коэффициент теплоотдачи, Nu и Pr — числа Нуссельта и Прандтля, Re и М — числа Рейнольдса и Маха относительного обтекания частицы. Через и jUi обозначены теплопроводность и динамическая вязкость газа, сРх — теп­ лоемкость газа при постоянном давлении, Ci — локальная скорость звука

в газе.

Результирующую силу взаимодействия между фазами / определим с уче­ том нестационарных эффектов при обтекании частицы газом в относительном движении. Для этого приближенно представим ее в виде суммы:

(9.5)

/ А - а д ф . / . - М Ф - Ф )

Здесь Се — коэффициент сопротивления частицы.

Расчеты показывают, что режимы сверхзвукового обтекания частиц газом в относительном движении реализуются лишь в локальных областях течения, например, в окрестности фронтов сильных ударных волн. Учет влияния числа Маха М на параметр Nu и коэффициент сопротивления Сь в этих областях прак­ тически не сказывается на интегральных результатах расчета. В связи с этим для расчета Nu и Са могут быть рекомендованы обычные дозвуковые зависи­ мости.

Заметим, что в силу существенного различия размеров дисперсных частиц и обтекаемого тела число Рейнольдса внешнего обтекания на много порядков больше числа Рейнольдса для взаимодействия частиц с газом. Поэтому для до­ статочно большого класса задач вязкость и теплопроводность можно учитывать только при взаимодействии фаз, считая в газодинамическом смысле газ невяз­ ким и нетеплопроводным.

Если учитывается зависимость силы межфазового взаимодействия (9.4), (9.5) от ускорений фаз, то уравнения импульсов системы (9.1) целесообразно раз­ решить относительно производных dW Jdt, dW Jdt. Выполнение этой процеду­ ры применительно к газовзвесям достаточно малых давлений Pi/p"<^l и концентраций дисперсной фазы а 2<^1 в пренебрежении членами поряд­ ка 0 ( а 2, Pi/p") Дает [294]:

p i ^ = — ( i — 4 “ *) v P— t nh -

(9.6)

X — (1—3/2а2 —р5/2р“).

228 РАСЧЕТ ВНУТРЕННИХ И ГЕТЕРОГЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА [ГЛ. IX

Уравнения движения (9.6) для дальнейшего использования удобно записать в квазидивергентном виде

Здесь p*W i^W u /) — поток вектора импульса t-й фазы через поверхность, пер­ пендикулярную единичному вектору/, (W it I) — скалярное произведение век­ торов Wi и /.

Следует подчеркнуть, что коэффициенты недивергентности при \ р в урав­ нениях (9.6), (9.7) имеют значения 1,5аа и (1—1,5а2), в отличие от ставших традиционными значений а 2 и (1—а 2). Это связано с тем, что в общей силе меж­ фазового взаимодействия/ учтена не только сила Архимеда/А, но и сила при­ соединенной массы/то, имеющая тот же порядок малости (см. (9.5)), что и / А. Учет f m является, таким образом, существенным с методической точки зрения [295].

В целом эффекты недивергентности в (9.6), (9.7) имеют порядок величины объемного газосодержания а 2. Во многих практически важных ситуациях внеш­ него аэродинамического обтекания тел запыленными газами значения объем­ ной концентрации взвешенной фазы невелики а 2< ~ 1 % (хотя массовые со­ держания частиц в смеси в силу малости давлений могут даже превышать мас­ совые содержания газа), поэтому членами порядка а 2 в уравнениях движения фаз далее будем пренебрегать. Соответственно ограничимся случаем умеренных давлений, когда р?/р2<^1.

§ 3. Разностная схема метода крупных частиц для расчета движения гетерогенных сред

Как было указано выше, при построении разностной схемы будем в (9.4) учитывать лишь силу вязкого трения / ц, которая является доминирующей. Эта сила определяется по формуле (9.5), где коэффициент сопротивления части­ цы Сб находится по эмпирической зависимости

Разностная схема для расчета течений гетерогенных сред является разви­ тием разностной схемы для расчета движения однофазного газа, приведенной

Из этих уравнений определяются значения параметров на промежуточном временном слое: и* ft v£ у, Е* у. Все величины здесь относятся к газовой фазе.

S3] РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 229

На л а г р а н ж е в о м этапе вычисляется перенос массы каждой фазы через границы ячеек, а также перенос импульса и энергии. Потоки величин

где cpi=(l, и, v, Е).

Потоки параметров твердой фазы определяются как по аналогичным при­

ток тепла между фазами q. Разностные формулы заключительного этапа имеют вид:

P(i)?./=

(Р8) i.M1)Л/■+р(2)иЩ i.

+ [ 2 А ( М & ) + 2 А (МйЕ ш)У(№ 1 УАх Ау).

Для краткости изложения здесь приведены лишь выражения для газовой фазы. Формулы для нахождения параметров твердой несомой фазы аналогичны при­

веденным выше.

Алгоритмически сначала производится расчет параметров твердой фазы.

Значения / и q вычисляются, исходя из величин р2, £2, w2, р?, £?, nf, 0J. Заметим, что в Институте механики МГУ группой авторов под руковод­

ством Ю. М. Давыдова и Р. И. Нигматулина был решен модифицированным методом крупных частиц ряд задач одномерной нестационарной волновой га­ зодинамики взвесей [300, 305—307]. Однако в этих версиях алгоритма устой­

230 РАСЧЕТ ВНУТРЕННИХ И ГЕТ РОГЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА [ГЛ. IX

чивость счета достигалась введением явных членов искусственной вязкости (307 и др.]. В описанной здесь разностной схеме устойчивость достигается, как и в однофазном случае (гл. Ill, IV), рациональным построением алгоритма за счет аппроксимационной вязкости.

Выскажем некоторые соображения по постановке начальных и граничных условий.

За начальные условия для обеих фаз брались условия невозмущенного плоскопараллельного потока (см. гл. III). Граничные условия для газовой фазы брались аналогичными условиям в однофазном газе на всех границах: внешних границах расчетной области, плоскости симметрии, поверхности об­ текаемого тела. Краевые условия для несомой фазы частиц требуют дополни­ тельного рассмотрения.

В качестве примера возьмем задачу об обтекании затупленного тела одно­ родным невозмущенным гетерогенным потоком. Тогда на внешних границах расчетной области для несомой фазы частиц можно задать условия, аналогич­ ные краевым условиям для несущей газовой фазы: набегания невозмущенного потока и свободного вытекания. На границе же обтекаемого тела следует ста­ вить условия свободного проникновения дисперсных частиц через поверхность, т. е. условия отсоса частиц. В работах X. А. Рахматулина и Н. А. Мамадалиева [303], В. П. Стулова [304] показано .(как для вязкой, так и для идеальной несущей фазы), что контур обтекаемого тела не. может быть одновременно ли­ ниями тока несущей и несомой фаз. Для невязкой несущей фазы этот факт на­ глядно истолковывается в [304]: в общем случае криволинейной обтекаемой поверхности условие непроницаемости для среды частиц не может быть удов­ летворено решением исходной системы уравнений движения гетерогенной среды.

Отметим, что для более сложных задач,, нежели гетерогенное обтекание тела с неизменяемой во времени образующей, могут быть поставлены и другие краевые условия для фазы частиц (см., например, §5 настоящей главы).

В качестве примера рассмотрим некоторые результаты численных расче­ тов, .проведенных по описанной выше методике [301]. На рис. 9.7 приведены

Рис. 9.7. Сверхзвуковое обтекание цилиндра с плоским торцом дисперсной

смесью: р"= 1,29 кг/м3; р"= 2,5• р?• 103; 1^ = 1,7 • 10“ 5нс/ма. Диаметр частиц 6=60 мкм. Сплошной линией обозначены линии тока несущей газовой фазы, штриховой — линии тока несомой гетерогенной фазы, пунктиром — линии тока в аналогичной однофазной задаче.