книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

Формулы преобразования элементов матриц а, b к элементам матриц v*, 0*

vl3= p u % - p u x ^ - u p x % - p aux ¥ + ¥ ( - p u * - ^ p ) .

Заметим, что система (4.52) использовалась для записи п. д. п. разност­ ной схемы метода PIC в работе Н. Н. Анучиной [14] и п. д. п. по Дл; и нулевого по At разностной схемы метода FLIC в работе Жентри, Мартина, Дали [24]. Далее будут проведены сравнительные характеристики диссипативных свойств метода крупных частиц и FLIC-метода.

Существуют и другие типы матриц аппроксимационной вязкости. Они обсуждаются в работах [346, 349 и др.]. Там же приводятся формулы перехода этих матриц аппроксимационной вязкости к матрицам а, Ь. Для удобства пользования и простоты записи в [346, 348] вводится матричный вид всех формул преобразования: для этой цели определяются 6-компонентные векторстолбцы матриц аппроксимационной вязкости и матрицы перехода 6-го ранга. Из-за краткости изложения в данной монографии эти вопросы не излагаются.

Таким образом, в настоящем параграфе получены различные виды мат­ рицы аппроксимационной вязкости и даны формулы преобразования, связы­ вающие элементы этих матриц. Для разностной схемы метода крупных частиц с AM первого порядка точности выписаны все элементы матрицы а (4.43), в также диагональные элементы матриц р, (4.47), v (4.51) и v* (4.54). Осталь­ ные элементы матриц здесь не приведены для краткости изложения: их полу­

Матрицы аппроксимационной вязкости характеризуют, как уже отме­ чалось, диссипативный механизм разностной схемы. Как видим, для различ­ ных форм записи исходной системы метод крупных частиц «порождает» раз­ ного рода диссипации, что следует из П-формы дифференциального прибли­ жения (4.42), (4.45), (4.50), (4.53). Это приводит в итоге к различного рода условиям устойчивости численного алгоритма.

Проведенные оценки и расчеты по схемам метода крупных частиц пока­ зали, что наиболее рациональным (с точки зрения устойчивости и экономич­ ности организации вычислительного процесса) оказалось использование в ис­ ходной системе уравнения для полной энергии Е и представление потока АМ п выражениями первого порядка точности.

§5. Структура аппроксимационной вязкости

1.Изучим структуру аппроксимационной вязкости более детально [221]. При анализе диссипативных свойств разностных схем методом дифференци­ альных приближений целесообразно разделить матрицу аппроксимационной вязкости на составляющие элементы. Из рассмотрения многочисленных раз­ ностных схем ([217]) следует, что аппроксимационная вязкость (а. в.) может

вектора-столбца Z определяется конкретным способом постановки граничных условий [437].

2. С помощью рассмотрения а. в. можно оптимизировать разностные схемы по диссипативным свойствам [221]. Рассмотрим, например, оптимиза­ цию по аппроксимационной вязкости переноса ап. В отличие от [225], рассмот­ рим двупараметрический класс разностных схем первого порядка, аппрокси­ мирующих уравнение

ut + (u2/2)x = uxx\(y— 6 + 1 /2 )|M|/I/2 - « 4 /2 } + («V)20 (/I + T)+ 0 (/I2+ T/Z+ T2).

Считая, что (о=тах|«г|т//1=1/2, оптимизируем аПв смысле, близком к

Первое условие дает у—6 ^0 , второе у=6. Таким образом, на классе дву­ параметрических разностных схем выделен однопараметрический класс, у которого ап оптимальна в смысле (4.58).

Если, кроме того, учесть «транспортное» свойство разностных схем [226], которое в данном случае означает 6=0, то получим единственную раз­ ностную схему с 7 = 6 = 0 . Нетрудно видеть, что получаемая при этом разност­ ная аппроксимация выражения (й?/2)х аналогична разностной аппроксимации» конвективных членов в методе крупных частиц, который является оптималь­ ным в указанном выше смысле.

Заметим, что в методе крупных частиц с АМ п первого порядка точности,, как и в разностной схеме (4.57), дисперсионные члены будут более высокого' порядка (второго), чем диссипативные члены, имеющие первый порядок. По­ этому в отличие от работы [225], в которой налагается дополнительное условиена ю для исключения влияния дисперсионных ошибок в области с осцилля­ циями, в настоящем подходе можно обойтись без подобного ограничения и* ввести новый параметр ф £[0, 1/2] так, чтобы со=1/2—ф. Тогда, проделав вы­ кладки, аналогичные приведенным выше, получим оптимальную в смысле* (4.58) разностную схему среди (4.57). В результате определяется однопара­ метрический класс схем с 6—у=ф.

Учет транспортного свойства [226] дает единственную схему с 6=0, у = —ф. Заметим, что такая разностная схема будет устойчива как на ударных волнах, так и на волнах разрежения, в то время как полученная в работе [225] раз­ ностная схема будет устойчива только на волнах сжатия.

Аналогичным образом можно проводить оптимизацию по аппроксима­ ционной вязкости расщепления яр и т. д.

туре аппроксимационной вязкости. Рассмотрим вопрос об оценке коэффициен­ тов диффузии при вторых пространственных производных в дифференциаль­ ных представлениях (Г- или П-формах) разностных схем [219, 221]. Отметим, что под термином.«коэффициенты диффузии» в .Г-,.П-формах дифференциаль­ ного представления или п. д. п. разностной схемы понимаются коэффициенты при вторых производных по пространству соответствующих газодинамических переменных: в уравнениях неразрывности, импульса, энергии при р, и, Е соответственно.

Для линейных уравнений коэффициент диффузии в Г-форме может быть вычислен точно. Получим коэффициент диффузии в дифференциальных пред­ ставлениях нелинейных разностных схем. Это особенно важно знать в зонах с большими градиентами газодинамических величин (окрестностях ударных волн,, контактных разрывов и т. д.), где количественная оценка коэффициен­ тов диффузии в П-форме дифференциального представления может дать весьма существенную информацию о структуре течения (например, о степени разма­ зывания ударных волн).

Некоторые количественные оценки коэффициентов диффузии могут быть сделаны, если их определять в дифференциальной форме, оставляя несколько первых членов и затем аппроксимируя их конечными разностями. Например, для метода крупных частиц имеем такое выражение для аа — коэффициента при рхх в уравнении неразрывности П-формы дифференциального представ­ ления:

коэффициенты диффузии в Г-форме как для линейных, так и нелинейных разностных схем. Например, для уравнения неразрывности метода крупных частиц с АМ п первого порядка точности имеем такое выражение для коэф­ фициента диффузии [221]:

Гораздо сложнее обстоит дело с коэффициентами диффузии в П-форме дифференциального представления разностной схемы. В этом случае можно к коэффициенту диффузии из Г-формы дифференциального представления добавить конечное число членов, появляющихся при замене временных про­ изводных (выше первой) через пространственные. Например, для метода круп­ ных частиц надо к (4.59) добавить член

[— ^-(Рр + иг) ] ” |

при этом в результате получитея'приближенный коэффициент диффузии

Точность выражения (4.60) есть 0(т2//г), так как в членах, пропорцио­ нальных т2 (и получающихся при замене третьей производной по времени),, присутствуют первые производные по пространственным переменным от га­ зодинамических функций, которые в зонах ударных волн пропорциональны. Ш .

Для оценки точности вычисления коэффициентов диффузии положим; т=0,01; Л=0,1 (что имеет место при практических расчетах) и получим x2/h= = 10“3, т. е. с такой точностью могут быть определены коэффициенты диффузии по формуле, подобной (4.60).

Используя дифференциально-разностное представление конкретных схем,, можно определить не только коэффициенты диффузии, являющиеся диаго­ нальными элементами матриц аппроксимационной вязкости, но и все элементы* этой матрицы ацу 1Ф'\.

Более детально указанный материал излагается в работах [221, 4371-

Г Л А В А V

РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТОРЦА И ПЛОСКОЙ СТУПЕНЬКИ

Данная глава посвящена обсуждению результатов методических расче­ тов. В ней исследуется точность предложенного метода, адекватность получен­ ных результатов исходной физической модели, рассматривается постановка различных типов краевых условий и т. п.

В качестве тестов производились расчеты обтекания затупленных тел с изломом образующей на сверхзвуковых и трансзвуковых режимах. Указан­ ная постановка имеет и самостоятельный практический интерес.

К внутренним контрольным тестам относятся расчеты на различных сет­ ках аппроксимации; имела место «склейка» полей течений, расширение внеш­ них границ расчетной области и т. д. Проводились также сравнения с экспе­ риментальными и аналитическими данными, с асимптотиками, а также с ре­ зультатами расчетов по другим вычислительным алгоритмам.

§1. СверхзвукоЕые и трансзвуковые режимы обтекания

1.С помощью метода крупных частиц были проведены методические рас­ четы сверхзвукового, трансзвукового и дозвукового обтекания полубесконеч-

ного осесимметричного цилиндрического торца (v = l) и плоской ступеньки (v= 0), контуры которых совпадают с границами ячеек (рис. 3.2, б и 5.5). В ос­ новном интересы были сосредоточены вокруг рассмотрения трансзвуковых и околозвуковых режимов. Как уже отмечалось, задача ставилась так, что было возможно по е д и н о м у численному алгоритму проводить вычисления для плоских и осесимметричных случаев во всем спектре режимов обтекания.

Вычисления проводились на машине БЭСМ-б. При этом область интегри­ рования разбивалась на 40 (по вертикали) и от 20 до 60 (по горизонтали) рас­ четных ячеек. Предварительного выделения особенностей в расчетах не про­ водилось — такой метод сквозного счета оказался целесообразным из-за наличия различного рода особенностей и линий разрыва (например, ударных волн, вторичных скачков уплотнения) внутри области возмущения. Машинное время расчета каждого варианта не превышало, как правило, одного часа.

Здесь используется аппроксимация полной нестационарной вихревой •системы уравнений (3.1), (З.Г) для сжимаемого газа, позволяющая рассмот­ реть развитие процесса по времени, а также с помощью метода установления определить стационарные характеристики. Поток считался установившимся, 'если во всем поле течения (во всех расчетных ячейках области) выполнялось ■неравенство

где Ф={р, Е , и, v}, а — некоторая малая константа (для большинства расче­ тов принималось значение а = 1 0 “5).

§1] СВЕРХЗВУКОВЫЕ И ТРАНСЗВУКОВЫЕ РЕЖИМЫ ОБТЕКАНИЯ 11 7

Известно, что изучение картины обтекания и свойств течения у длинных сильно затупленных тел с изломом контура образующей представляет и боль­ шой практический интерес. Кроме того, эти данные могут служить определен­ ным эталоном для проверки приближенных аналитических теорий и аналогий, проводимых, например, на основе теории малых возмущений гиперзвукового потока (работы Г. Г. Черного [66],-В. В. Сычева [67], М. Ван-Дайка [68], П. И. Чушкина [69] и др.). Действие сопротивления затупления заменяется здесь действием сосредоточенной силы, приложенной к переднему концу тела.

За последнее время, как известно, широкое распространение получили решения, основанные на аналогии с сильным взрывом. При таком подходе рассмотрение задачи об обтекании затупленной пластины или цилиндра при нулевом угле атаки математически эквивалентно решению задачи о сильном взрыве на плоскости или прямой (Л. И. Седов [70]). Для затупленных тел (с ненулевым наклоном боковой поверхности) соответствующая нестационар­ ная задача наряду с действием сильного взрыва включает также действие поршня, расширяющегося по закону, определяемому формой боковой поверх­ ности тела [71], и т. д.

Следует отметить, что в рассматриваемых задачах имеет место довольно сложная картина течения. В связи с наличием на теле угловой точки, где происходит резкий разворот потока, а также из-за большой протяженности тела и бесконечно большого радиуса затупления возникают значительные трудности в проведении вычислений.

При сверхзвуковых скоростях набегающего потока, когда в точке излома достигается местная скорость звука (звуковой излом), зона разворота потока вокруг угловой точки будет находиться в области смешанного трансзвукового течения, причем сам разворот сопровождается резким изменением скорости как по величине, так и по направлению. Кроме того, в сверхзвуковой области около боковой поверхности тела может возникнуть вторичный скачок уплот­ нения, существенно влияющий на всю картину обтекания.

Не меньший интерес представляет также изучение свойств околозвуковых течений газа, например, при обтекании затупленных тел при малых сверх­ звуковых скоростях. С уменьшением числа Маха набегающего потока резко увеличивается область влияния смешанного течения, и при рассмотрении такой задачи необходимо учитывать трансзвуковой характер потока в зоне между звуковой линией и граничной характеристикой, выделяющей мини­ мальную область влияния. Возмущения в трансзвуковой области влияют на форму звуковой линии, и, следовательно, на все течение в смешанной зоне; решение краевой задачи становится более чувствительным к изменению на­ чальных данных, возрастают ошибки округления и появляется неустойчи­

вость в счете.

При рассмотрении таких задач с помощью стационарных подходов (на­ пример, метода интегральных соотношений [4] и т. п.) в окрестности точки излома приходилось использовать специальную численную схему в полярной системе координат (с полюсом в угловой точке) или асимптотическое разло­ жение Вальо — Лаурина — Шугаева [4], которое затем «склеивалось» с общим

численным решением [4, 72].

Дозвуковые, трансзвуковые и особенно закритические режимы обтекания для таких тел вообще не рассматривались, так как в этих случаях область распространения возмущений становится бесконечно большой, возникает возвратное течение за угловой точкой, образуются местные сверхзвуковые зоны и т. п., что еще больше усложняет картину течения.

Таким образом, помимо чисто научного интереса к исследованию таких задач здесь уделялось большое внимание и отработке методики вычислений, особенно для трансзвуковых скоростей набегающего потока. Детально ис­ следовались вопросы постановки и влияния краевых условий на границах

118 ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТОРЦА И ПЛОСКОЙ СТУПЕНЬКИ [ГЛ. \Г

рассматриваемой области; определялись оптимальные размеры расчетных ячеек (крупных частиц) и всей области интегрирования; использовались раз­ личные варианты метода крупных частиц (варьировались численные схемы на этапах вычислений; рассматривались различные механизмы диссипации,, обеспечивающие размазывание сильных разрывов для возможности прове­ дения сквозного счета) и т. п. Производилось также сравнение полученных результатов с данными других численных расчетов, асимптотикой и экспери­ ментом.

На основе таких методических исследований были выработаны различные способы внутреннего контроля вычислений методом крупных частиц (тесты задачи): продолжение поля течения, «вдвигание» тела в расчетную область* вычисление на различных сетках аппроксимации, «склейка» с асимптотикой и т. д. Указанные тесты вводились в программу вычислений и использовались при расчете контрольных вариантов. Описание этих тестов и некоторые ре­ зультаты методических расчетов будут приведены ниже.

Вопросы устойчивости решались здесь способами, отмеченными ранее. Большая часть расчетов проводилась по формулам для ДМ" первого порядка точности (3.12), так как схемы второго порядка точности для ДМ" (3.11) требуют для обеспечения вычислительной устойчивости введения явных членов искусственной вязкости q. Проиллюстрируем это на примерах.

На рис. 5.1 схематично сравниваются решения задачи о движении одно­ мерной ударной волны, полученные с использованием искусственной вязкости q (штриховая линия) и без нее (<7=0, сплошная линия). При этом для ДМ" применялись формулы второго порядка точности (3.11).

Рис. 5.1. Сравнение решений для задачи о движении одномер­ ной ударной волны.

На рис. 5.2 приведены профили плотности р вдоль оси симметрии при обтекании цилиндрического торца, полученные по аналогичным формулам для ДМ". Сглаживающее влияние искусственной вязкости в этих примерах очевидно: схема второго порядка точности (3.1 Г) при q= О неустойчива.

Большое значение для устойчивости вычислений имеет также выбор оптимального размера расчетной сетки и осреднение параметров потока при использовании (3.11), (3.1 Г) на каждом временном слое («пики» неустойчи­ вости по мере дробления шага сетки периодически появляются в противофазе). Сглаживающее влияние этого осреднения (среднее арифметическое) демон­ стрируется на рис. 5.3.

Следует отметить, что в методе крупных частиц при достаточно малых скоростях потока может возникнуть неустойчивость счета. Это видно, напри­ мер, при рассмотрении порядков членов для оценки устойчивости (условие неполной параболичности) во втором дифференциальном приближении (4.34). Когда скорость потока падает примерно на порядок, т. е. при ы=0(Дл;), коэф­ фициенты диффузии а* при вторых производных от р, и и Е по пространственной