книги / Метод крупных частиц в газовой динамике
..pdf§3] |
НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ |
51! |
На рис. 2.15 изображена эволюция первоначально квазирегулярной ячейки (рис. 2.15, а). Видно, что в процессе счета ячейка деформируется (рис. 2.15, б) и, наконец, искажается столь сильно (рис. 2.15, в), что для расче та центрального угла необходимо привлекать новые соседние точки.
Так как положение плазменного фокуса заранее неизвестно и его размер очень мал, то в процессе решения вводятся новые счетные точки. Они добав ляются по мере формирования фокуса и помогают детализировать вычисления.
Рис. 2.15. Эволюция поведе |
Рис. 2.16. Положение расчетных точек в |
ния квазирегулярной ячейки. |
окрестности плазменного фокуса в после |
|
довательные моменты времени. |
На рис. 2.16 приведены положения расчетных точек в окрестности плазменного» фокуса в последовательные моменты времени. «Жирными» изображены те рас четные точки, которые принимают участие в вычислениях с самого начала. Остальные точки добавлены в процессе расчета.Мы видим, таким образом, чтометод свободных точек позволяет исследовать явления со сложной внутренней структурой.
Г Л А В А III
МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ
Для расчета течений в сложных задачах аэрогазодинамики естественно использовать нестационарные схемы сквозного счета, где вычисления прово дятся без предварительного выделения особенностей, поверхностей разрыва
ит. п. В ряде случаев, как уже говорилось выше, кажется рациональным вве дение в алгоритмы элементов метода Харлоу частиц в ячейках [2, 3], примене ние которого граничит с проведением численного эксперимента.
Впоследние годы в Вычислительном центре АН СССР был осуществлен ряд численных экспериментов по исследованию сложных газодинамических течений. Они были проведены с помощью модифицированного нестационарного метода крупных частиц, толчком к разработке которого послужили работы Харлоу [2, 3], Рича [16] и Херта [25].
Основная цель этих разработок — построение на базе процесса расщепле ния достаточно общего численного алгоритма и исследование с его помощью широкого класса задач современной аэрогазодинамики (от чисто дозвуковых течений до сверхзвуковых режимов, включая трансзвуковые области, зоны срыва
ит. п.).
Полученные схемы используют сравнительно небольшое число расчетных точек (обычно не более 2—3 тысяч), что позволяет проводить их реализацию на машинах средней мощности и применять для серийных расчетов в практике прикладных НИИ и КБ. Возможно, что отдельные локальные свойства решений будут определяться при этом недостаточно точно, но, видимо, лишь только та ким путем можно получить общие характеристики сложных явлений и картину течений в целом.
Описание метода крупных частиц и полученных результатов применитель но к задачам газовой динамики содержится в работах [1, 17—23, 26, 29—39, 210, 211 и др.]. Исследования последних лет, связанные с вопросами математи ческого обоснования и обобщением схем метода крупных частиц, содержатся в работах [203—211, 213—221].
Как отмечалось во введении, метод Харлоу частиц в ячейках сочетает в себе в определенных чертах преимущества лагранжева и эйлерова подходов. Область решения здесь разбивается неподвижной фиксированной в простран стве (эйлеровой) расчетной сеткой; однако сплошная среда трактуется дискрет ной моделью — рассматривается совокупность частиц фиксированной массы (лагранжева сетка частиц), которые движутся через эйлерову сетку ячеек. Частицы служат для определения параметров самой жидкости (массы, энер гии, скорости), в то время как эйлерова сетка используется для определения параметров поля (давления, плотности, температуры).
Метод частиц в ячейках позволяет исследовать сложные явления в дина мике многокомпонентных сред, частицы хорошо «следят» за свободными по верхностями и линиями раздела сред, взаимодействием разрывов и т. п. Однако дискретный метод частиц обладает и рядом недостатков. Главный из них, лежа щий в самой природе метода, состоит в том, что из-за дискретного представле ния сплошной среды конечным числом частиц в ячейке параметры течений так-
ГЛ. III1 |
МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ |
53 |
же определяются дискретным образом — как только частица пересечет грани цу эйлеровой ячейки, то масса, импульс, энергия частицы вычитаются из соот
ветствующих величин прежней ячейки и прибавляются к новым значе ниям.
Такие скачки, весьма характерные для расчетов по методу Харлоу, при водят к большим нефизическим флуктуациям рассчитываемых величин (осо бенно плотности), в решениях появляются автоколебания и т. п. Кроме того, сами численные схемы этого метода обладают, вообще говоря, недостаточной вычислительной устойчивостью (особенно в областях застоя, при небольшом числе частиц в ячейке и др.), поэтому приходится вводить в схемы явные дисси пативные члены с искусственной вязкостью, использовать неявные схемы пер вого шага, рассматривать частицы различных форм [13] и т. д. Затруднительно также получение информации для сильно разреженных областей, откуда прак тически уходят все частицы и т. п. Значительно же увеличить число частиц не позволяют технические возможности современных вычислительных машин. По существу, метод Харлоу, благодаря введению дополнительного параметра (числа частиц в данной ячейке), увеличивает в программном смысле на единицу размерность задачи.
Для газодинамических течений оказалось целесообразным отойти от диск ретной модели частиц и исходить из концепции непрерывности, рассматривая вместо частиц поток массы через границы эйлеровых ячеек. Плотность газа здесь будет уже находиться не путем деления суммарной массы всех частиц в ячейке на ее объем, а из закона сохранения массы, записанного в разностной форме для данной ячейки (крупной частицы). При этом естественно сохранить сильные стороны метода Харлоу — эйлерово-лагранжев подход и сам процесс организации вычислений.
Таким образом, вместо совокупности частиц в ячейках здесь рассматри вается масса всей ячейки в целом — крупная частица — и на основе конечно разностных представлений законов сохранения изучаются нестационарные (и непрерывные) потоки этих крупных частиц через эйлерову сетку. По сущест ву, при таком подходе используются законы сохранения, записанные в форме уравнений баланса для ячейки конечных размеров (как это обычно делается в процессе вывода газодинамических уравнений, но без дальнейшего предель ного перехода от ячейки к точке). Применяя рациональные формы аппроксима ций для различных видов течений, удается резко сократить требования к объему памяти и быстродействию используемых ЭВМ.
Метод, о котором пойдет речь ниже, является в некотором смысле проме жуточным между методом дискретных частиц в ячейках и обычными конечно разностными подходами, так как организация вычислений здесь проводится аналогично подходу Харлоу, но в то же время на всех этапах сохраняется структура конечно-разностных схем. В методах указанного типа используется расщепление исходной системы уравнений по физическим процессам. На каж дом из этапов расчета временного цикла рассматриваются в зависимости от характера исследуемого решения различные виды аппроксимаций (явные или неявные схемы, ориентированные схемы с учетом направления потока, цент ральные разности, метод интегральных соотношений и т. д.).
В данной работе проводится полное изложение и исследование схем моди фицированного метода крупных частиц применительно к трансзвуковым задачам аэродинамики, течениям со вдувом струи в основной поток, изучаются срывные турбулентные зоны и т. п. Такой подход дал возможность изучить сложные картины обтекания плоских и осесимметричных тел различной формы в сжимаемом газе для широкого диапазона изменения скоростей потока. Рас сматриваются также внутренние течения со сложной конфигурацией скачков уплотнения, дифракционные задачи и др. Подчеркнем, что использование метода крупных частиц позволило рассмотреть весь этот класс сложных течений
5 4 МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. Ill
для плоских и осесимметричных задач с единых позиций, с помощью одного численного подхода.
Для оценки точности и надежности полученных результатов, постановки задачи, граничных условий проводились методические вычисления на различ ных расчетных сетках; имела место проверка выполнения законов сохранения; результаты сравнивались с имеющимися расчетами по другим схемам, а также с экспериментальными и аналитическими данными. В этом отношении полез ной оказалась приведенная ниже (см. гл. VI) асимптотика звукового обтека ния, построенная для плоского и осесимметричного случаев [23]. Практически везде наблюдалось достаточно удовлетворительное согласие.
§1. Описание метода крупных частиц
1.Дадим вначале формальное описание модифицированного метода круп ных частиц. Основная его идея состоит в расщеплении по физическим процессам
исходной нестационарной системы уравнений Эйлера, записанной в форме законов сохранения. Среда здесь моделируется системой из жидких (крупных) частиц, совпадающих в данный момент времени с ячейкой эйлеровой сетки. Стационарное решение задачи, если оно существует, получается в результате установления, поэтому весь процесс вычислений состоит из многократного по вторения шагов по времени. Расчет каждого временного шага (вычислительного цикла) в свою очередь разбивается, как это обычно принято, на три этапа:
I — э й л е р о в э т а п , когда пренебрегаем всеми эффектами, связан ными с перемещением элементарной ячейки (потока массы через границы ячеек нет), и учитываем эффекты ускорения жидкости лишь за счет давления; здесь для крупной частицы определяются промежуточные значения искомых пара
метров потока ср(ы, v, £); |
|
II — л а г р а н ж е в э т а п , |
где при движении жидкости вычисляются |
потоки массы через границы эйлеровых ячеек; |
|
III — з а к л ю ч и т е л ь н ы й |
э т а п — определяются в новый момент |
времени окончательные значения газодинамических параметров потокаф(ц, v, Е , р) на основе законов сохранения массы, импульса и энергии для каждой ячейки и всей системы в целом на фиксированной расчетной сетке.
По существу, на I этапе проводится чисто лагранжев расчет— рассматри вается изменение за время At импульса и энергии лагранжева элементарного объема жидкости (крупнфй частицы)у заключенного внутри данной эйлеровой ячейки (при этом граница объема смещается относительно начального распо ложения); II этап характеризует перемещение расчетных ячеек относительно жидкости — здесь вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку (моделируется дви жение потока массы через границы эйлеровых ячеек и находятся смещения расчетных точек); и, наконец, на III этапе происходит соответствующее пере распределение массы, импульса и энергии по пространству, что позволяет определить новое распределение гидродинамических параметров на «старой» эйлеровой сетке (находятся изменения за время At параметров потока в эле ментарной эйлеровой ячейке, полученной возвращением лагранжева объема в исходное положение). Счет фактически ведется в локальных лагранжевых координатах с последующим пересчетом (интерполяцией) на эйлерову расчет ную сетку *).
Указанный процесс построения разностных схем можно использовать и для других моделей среды. Сформулируем здесь общий принцип расщепления,
с помощью которого последовательно выстраиваются численные схемы для урав нений Эйлера, Навье — Стокса и Больцмана [204—210, 213—215 и др.].
*) См. также уравнения (3.27) — (3.29).
$1] |
ОПИСАНИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ |
55 |
|
— Моделирующая среда заменяется системой из N |
частиц (жидких — |
«крупных» — частиц для сплошной среды и «молекул» для дискретной), кото |
||
рые распределены в начальный момент времени по ячейкам эйлеровой сетки |
||
в |
координатном пространстве в соответствии с начальными данными. |
|
— Эволюция такой системы за время At осуществляется путем следую щего расщепления: вначале изучается изменение внутреннего состояния под систем, находящихся в ячейках, в предположении их замороженности или не подвижности (эйлеров этап для сплошной среды и столкновительная релакса ция для дискретной), а затем рассматривается смещение всех частиц, пропорци онально их скорости и At, без изменения внутреннего состояния подсистем с последующим пересчетом расчетной сетки в исходное положение (лагранжев и заключительный этапы для сплошной среды и свободное движение молекул
для дискретной). |
|
|
|
2. |
Перейдем |
теперь к изложению метода крупных |
частиц. Рассмотрим |
движение идеального сжимаемого газа. В качестве исходных возьмем либо |
|||
дифференциальные уравнения Эйлера в дивергентном виде (уравнения нераз |
|||
рывности, |
импульса, |
энергии) |
|
|
|
+ div (р W ) = 0 , |
|
|
|
^ + d i v ( p « W ) 4 - | = 0, |
|
|
|
^ + div(p„ W ) + | = 0i |
(3.1) |
^div (p£lV )+div (p IV) = 0,
либо систему уравнений газовой динамики, записанную в интегральном виде в форме законов сохранения
т(0 s(t)
У pW dr = — j pnds, |
(Зл ) |
|
x(0 |
stf) |
|
J |
pEdvs= — J (p W ) nds, |
|
T(0 |
sU) |
|
где т (t) ns(t) — соответственно объем и поверхность лагранжевой ячейки. При исследовании сложных структур течений будем использовать однородные раз ностные схемы, позволяющие проводить устойчивый сквозной счет без пред варительного выделения особенностей.
Как уже отмечалось во введении, условия однородности схемы и устойчи вости вычислительного процесса требуют наличия некого диссипативного ме ханизма в разностной схеме, что и приводит к сглаживанию фронта разрывов. Вязкостные члены могут явно вводиться в уравнения (псевдовязкость) либо возникают в результате аппроксимации и зависят от внутренней структуры раз ностной схемы (аппроксимационная вязкость). Представляя недиссипативные члены уравнений, такая разностная схема должна вносить малые погрешности, а на-разрывах — большие добавки, которые и должны, в принципе, стабили зировать вычисления. Хорошая разностная схема, представляющая законы сохранения, должна вносить положительную «вязкость»> которую затем стре мятся «минимизировать» [27].
^Характерной чертой прямой аппроксимации уравнений газовой динамики, записанных в виде законов сохранения, является свойство консервативности или дивергентности получающихся при этом разностных схем. Использова
§1] |
ОПИСАНИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ |
57 |
||
|
||||
где производные по времени |
определяются так: |
|
||
|
_ |
/ I. / li,I. |
f = (и, v, Е). |
|
|
|
At |
|
|
|
|
|
|
|
В результате получим для (3.3) явные конечно-разностные уравнения пер вого порядка точности по времени и второго порядка по пространству
|
Т , П . _ „ П |
p i + l / 2 . j |
P i —1/2, / |
A t |
|
|
|
|
|
4 , - 4 i - |
n |
|
|
’ |
|
|
|
|
V? . = I)" f--- |
P?. / + Х/2 |
P ? ./- l/2 |
M |
|
|
(3.4) |
|
|
*•' |
Ло |
|
|
D« . ’ |
|
|
|
|
|
АУ |
|
|
p"; |
|
|
|
fjn __ j?n |
Г P‘+ i/2 . ;'“ ?+ i/2. i ~ P i - 1/2, /“? - 1/ 2, / |
, |
|
|
|
|
||
|
^ ----------------------r |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Я |
_.Я |
Я |
Я |
т |
|
|
|
Pt, j + l / 2 Vi, |
/+ 1/2 |
|
j - l / 2 Vi, j — 1/2 |
А/ |
||
J p“ /
Величины с дробными индексами, относящиеся к границам ячеек, нахо дятся, например, так:
|
ы„ |
«?■/+ "?+!./ |
дп |
_ Р"/ + Р?+1./ |
|
||
|
u i + i / 2 , j — |
2 |
’ |
1/2./ |
2 |
|
|
•и Т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично и в цилиндрической системе координат (/*, г): |
|
||||||
|
|
Z r i + i - t j n |
|
P i + 1 / 2 , / P j - 1 / 2 , j _ A t |
|
||
|
|
|
|
|
AZ |
pl , ' |
|
|
|
|
__ P j , i + i / 2 |
P i , ; - 1 /2 А/ |
(3.4') |
||
|
|
v i - i - Ui-i |
|
*Ar |
p" . |
||
|
|
|
|
||||
С-Я . — pi |
!• P i , |
j + i / 2 Vi, j + 1/2 |
|
P i , |
f - l / 2 v i, j - 1 / |
|
|
11. I ~ ~ ~ t. j |
['— |
(j— 1/2) Af |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
P1 + 1/2, |
j Ui + l / 2 , j P i - 1 / 2 , j Ui - l / 2 , j A t |
|
|
|
|
|
|
|
A z |
Pl |
|
|
|
|
|
|
|
|
В приведенных схемах и, v, Ё — промежуточные значения параметров потока на слое /П+А^, полученные в предположении заторможенности поля плотности без учета эффектов перемещения среды.
Для улучшения устойчивости счета первого этапа в уравнениях (3.3) и {3.4) вместо р используются обычно p+q. Здесь q — искусственное вязкостное давление (псевдовязкость)
д и |
д и |
— д и |
9 |
|
Ts' |
где р, — коэффициент вязкости, s — массовая лагранжева координата. Обычно
58 |
МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ |
[ГЛ. Ill |
|||
используется |
вязкость с линейным коэффициентом [27 и др.], |
причем |
|||
|
( |
г и ди |
при |
ди |
|
|
Q= |
|
* < ° - |
(3.5) |
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где С — массовая скорость звука, h — размер ячейки в направлении s, а ве личина р0 подбирается так, чтобы эффективная ширина ударного слоя для ха рактерных условий была бы приемлемой (практически Z=(5-=-10)/i).
Таким образом введенная вязкость проявляется лишь на волнах сжатия, скачках уплотнения и отсутствует в волнах разрежения (где коэффициент вязкости равен нулю), что, вообще говоря, повышает точность вычислений *). При <7=0 схема первого этапа неустойчива, однако, как будет показано ниже, при рациональных формах записи последующих этапов это практически не влияет на устойчивость вычислений всего временного шага.
При вычислениях можно рассматривать также и другие формы искусст венной вязкости. Так, Нейман и Рихтмайер [53] предложили вводить вязкость с нелинейным коэффициентом
”го IдиI
Ширина ударного слоя для такой вязкости в лагранжевых координатах не зависит от интенсивности ударной волны и имеет порядок 0(h); в областях гладкого течения псевдовязкость q дает погрешность О (к2) и, следовательно, не влияет сильно на точность расчета. Вязкость Неймана — Рихтмайера хоро шо сглаживает разрывы, однако, как отмечается в [27], такой тип вязкости обладает и существенным недостатком — примыкание переходного профиля к асимптотическим значениям происходит не аналитически, как в случае ли нейной вязкости. Точки сопряжения, где вторая производная терпит разрыв, являются постоянными источниками возмущений, так как на ударной волне велики градиенты газодинамических функций. В результате этого в окрестно сти фронта возникают нежелательные осцилляции гидродинамических величин.
Особенно затруднительно вводить явные члены с искусственной вяз костью в многомерных задачах газовой динамики, при рассмотрении тел с кри волинейной образующей и т. п. Поэтому далее мы будем стремиться получить диссипативно-устойчивые разностные схемы без явных членов с искусственной
вязкостью |
(?=0). |
б) |
На эйлеровом этапе использовались также схемы более высокого по |
рядка точности. Улучшения устойчивости эйлерова этапа можно достигнуть* например, путем введения в него элементов метода интегральных соотношений [4], где аппроксимации подынтегральных функций проводились «сквозным»* образом по N лучам (N = 3,4,5) [37] **). Производились расчеты и по неконсер вативным схемам, с использованием уравнения для внутренней энергии 3 и т. д.
Приведем численные схемы первого этапа с применением метода интеграль ных соотношений. Указанный подход используется здесь для получения
консервативных дифференциально-разностных схем и обладает, как известно* большой вычислительной устойчивостью. Целесообразно использовать схему Г Белоцерковского [4], причем в задачах обтекания затупленных тел с осевой симметрией аппроксимации интегральных законов сохранения будем проводить
*) Указанный подход рассматривался А. А. Самарским и В. Я. Арсениным в 1S61 г. **) См. также [26].
ОПИСАНИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ |
59 |
вдоль нормали к лобовой поверхности тела, поскольку именно в этом на правлении особенно заметна неустойчивость вычислений.
Так как исходная система уравнений (3.1') записана в интегральной форме, то сразу будем проводить аппроксимацию интегралов (не вынося из-под знака интеграла плотность р), так как известно, что плотность импульса и плотность энергии являются в численном расчете более консервативными (слабоизменяющимися) функциями, чем значения импульса и энергии.
Обозначим
т |
т |
т |
Приведем в качестве примера введения элементов метода интегральных соот ношений в эйлеров этап метода крупных частиц аппроксимацию уравнения импульса в проекции на ось х (плоский случай)
И Т. П. |
(3.6) |
Запишем сразу N-e приближение метода интегральных соотношений в матричном виде *). Аппроксимационные полиномы здесь имеют такой вид:
N |
(3.7) |
/ w ; = s |
л= 0
—некоторые известные коэффициенты разложения.
\ N f /
Значения функции
|
в точках |
Xf + kA x |
(&=0, |
1, 2, |
N) |
|
|
определяются из равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ . = т * / |
или |
* / = ш-1/ . , |
|
|
(3.8) |
|
причем ш — матрица |
с постоянными |
коэффициентами. |
|
в интег |
|||
Подставим теперь |
аппроксимирующее выражение |
(3.7) д л я /(х ) |
|||||
ральное соотношение (3.6) и проинтегрируем соответственно обе части N раз |
|||||||
от Xi до x t+1, A-i+ o, |
, x i+N. Учитывая (3.8), получим |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.9) |
где В — матрица с постоянными |
коэффициентами. |
|
исходной |
системы |
|||
Аналогично преобразуются |
и остальные |
уравнения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.9') |
*) Более подробно |
об этом см. |
Б е л о ц е р к о в с к и й О. М., Б у л е к б а е в А.. |
Г р у д н и ц к и й В. Г. |
Алгоритмы |
численных схем метода интегральных соотношении для |
расчета смешанных течений газа.— Ж- вычисл. матем. и матем. фнз,, 1966, 6, № 6, с. 1064—1081.
60 |
МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ |
[ГЛ. Ill |
|||
Здесь матрицы |
|
|
|
|
|
(Р?+1/2, j—Pi-i/г. j)bxby |
|
(р" /+1/2 |
Pi. /- 1/2) Y |
||
Ф =1 (P?+s/2. j - P l -цг. i) Ах ЬУ |
0 = |
(Pi+i, /+1/2 |
P?+1, / - 1/2) 2 Дл;2 |
||
(Р?+ъ/2. j-Pi-1/г, i)AxA!f |
|||||
|
(P?+2,/ + l/3 |
P?+2, /- !/» ) Y |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
. |
|
|
/[ ( P “)"+l/2. , - ( P U).'-l/2, /]А*ДР |
|
||||
^ = ( |
[(P“)"+3/2, ,— |
(Р“) " - 1/2, / ] A* AP |
|
||
\ |
[(P“)"+«/«. / - ( Р “)" -1 /2 ./]ЛжД^ |
|
|||
|
I X /+ 1/2 - |
X |
/ - i/з] у A*a |
|
|
L |
IX + 1, /+ 1/2 |
X + 1. / - 1/2] 2A*2 |
|||
IX+2. /+ 1/3-(Р°)?+2, / - 1/2] Y A*S |
|||||
|
|||||
1. |
|
|
|
• > |
|
Итак, мы получили систему (3.9), (3.9'), состоящую из 3N уравнений. После разрешения этой системы можно определить значения
|
± f |
W 0- |
S i* ' |
(« = Ь |
2, |
N). |
|
dt 1«» |
|||||
причем величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
о CD |
е Р"- |
|
находятся из |
краевых |
условий. |
|
|
|
|
Определив |
таким |
образом |
|
|
|
|
dt |
~dt |
т |
(n== |
АО. |
получим векторы |
|
|
|
|
|
|
аг/*» |
а70*» |
|
а, следовательно, и значения и> v, Ё для всего поля течения. Как правило, счет осуществлялся «тройками», т. е. для N = 3.
Обычно в схемах указанного типа ради упрощения алгоритма рассматри ваются простейшие конечно-разностные аппроксимации, однако возможность их использования зависит от представления последующих этапов расщепле ния. Так в схемах Рича [16] и FLIC-метода [24] устойчивость вычислений дости гается лишь путем введения на эйлеровом этапе псевдовязкости q. Схемы метода крупных частиц позволяют получить и при использовании (3.4)—(3.4') устой чивое представление решения за счет схемной аппроксимационной вязкости (при q=0), что кажется предпочтительнее.
Как уже отмечалось ранее, на эйлеровом этапе рассматривается изменение за время At импульса и энергии лагранжева элементарного объема жидкости (крупной частицы), заключенного внутри данной эйлеровой ячейки. При этом граница лагранжева объема под действием сил давления смещается относитель но начального расположения.
II. Л а г р а н ж е в э т а п .
На данном этапе вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку *). Здесь
*) См. также формулы (3.29). В процессе расчета возможно проводить пересчет на раз личные конфигурации эйлеровых расчетных сеток.