книги / Метод крупных частиц в газовой динамике
..pdfВВЕДЕНИЕ |
11 |
Основная трудность в широком использовании метода частиц в ячейках заключается в достаточно высоких требованиях, предъявляемых им к объему памяти и быстродействию вычислительных машин *). Кроме того, из-за дискретного представления сплошной среды (конечное число частиц в ячейке) методу присущи вычислительные флуктуации. Следует отметить, что сами чис ленные схемы этого метода обладают, вообще говоря, недостаточной вычисли тельной устойчивостью (особенно в областях застоя, при небольшом числе частиц в ячейке и др.), поэтому приходится вводить в схемы явные диссипатив ные члены с искусственной вязкостью, использовать неявные схемы первого шага, рассматривать частицы различных форм [13] и т. д. Затруднительно так же получение информации для сильно разреженных областей, откуда практи чески уходят все частицы и т. п.
За последние годы подходы, аналогичные методу частиц в ячейках, полу чили достаточно широкое развитие и у нас в стране — это работы В. Ф. Дья
ченко [12], |
Н. Н. Яненко и его учеников |
[13, 14], С. П. Ломнева [15] |
и др. |
5. |
Для газодинамических задач |
обтекания, при наличии |
однородной |
среды кажется более целесообразным использовать не дискретную модель частиц, а рассматривать непрерывные потоки массы через границы эйлеровых ячеек [1, 16—25]. Эти потоки здесь будут находиться уже из закона сохранения массы, записанного в разностной форме для каждой ячейки («крупной части цы»), совпадающей в данный момент времени с эйлеровой ячейкой. При этом естественно сохранить сильные стороны метода Харлоу (эйлерово-лагранжев подход) и сам процесс организации вычислений.
Таким образом, вместо совокупности частиц в ячейках здесь рассматри вается масса всей ячейки в целом (крупная частица — отсюда и название метода) и на основе конечно-разностных представлений законов сохранения, полученных с помощью метода расщепления, изучаются нестационарные (и не прерывные) потоки этих крупных частиц через эйлерову расчетную сетку. В данной работе детально исследуются численные схемы метода крупных частиц, построенные именно по указанным выше принципам [1, 17—23] **).
Основная цель, которая преследуется в данной работе,— это разработка модифицированного метода крупных частиц (численный эксперимент) приме нительно к ЭВМ средней мощности для расчета сложных течений газовой ди намики. Исследуются как нестационарные задачи, так и получаемые с помощью процесса установления стационарные потоки (проводилась отработка устой чивых вариантов схемы и ее этапов, машинная реализация метода; изучались характеристики обтекания тел и аппаратов на конкретных режимах полета ит. п.). В первой главе и в приложении дается весьма полное описание метода Харлоу частиц в ячейках и его модификаций.
При развитии и реализации метода крупных частиц мы старались приме нять разработанный ранее аппарат для решения задач внешней аэродинамики [4], сохранив основные принципы и подходы при аппроксимации уравнений по пространственным переменным: использовалась дивергентная форма запи си исходной системы, аналогичные структуры расчетных сеток и т. п.
В этом подходе на втором этапе вычислений, моделирующем перенос и наиболее ответственном с точки зрения устойчивости, проводилось построение различных разностных схем (в том числе и с помощью метода интегральных соотношений [4, 18, 23, 26]), обеспечивающих устойчивый счет большого класса задач. Исследовались также модификации первого и третьего этапов (рассматривались несимметричные разностные схемы, разного вида искусст венные вязкости, дополнительный пересчет плотности и др.). Кроме того,
*) По мнению Харлоу, метод частиц в ячейках, вероятно, вообще никогда не будет ши роко применяться для решения трехмерных задач [3].
**) Достаточно полное изложение метода крупных частиц содержится также в работе [211]. Дальнейшее развитие указанного подхода проведено 10. М. Давыдовым [213—221].
12 ВВЕДЕНИЕ
путем изменения лишь второго этапа вычислительного цикла отсюда можно получить консервативный метод частиц в ячейках [23, 436], так что алгоритм
расчета |
является достаточно общим. |
6. |
Для течений газовой динамики при наличии больших деформаций, где |
имеется целый ряд различных особенностей, разрывов, их пересечений и вза имодействий, практически бывает очень трудно выделить заранее эти особен ности, с тем чтобы, сформулировав на них соответствующие условия, прово дить вычисления лишь в областях гладкости течения. Предпочтительнее в таких случаях рассматривать единые численные алгоритмы, позволяющие проводить вычисления во всей области интегрирования без предварительного выделения особенностей, т. е. в зонах гладкого течения и на разрывах — ударных волнах, контактных поверхностях и т. п. В этом случае расчетные формулы должны носить единообразный характер в различных точках сетки независимо от наличия и типа особенностей в ее окрестности (однородные схемы сквозного счета) *) [27].
Построение таких алгоритмов исходит из единообразного описания гидро динамического течения. Это возможно сделать, как известно, рассматривая интегральные законы сохранения (следствиями которых являются уравнения газовой динамики и условия совместности на разрывах) или путем введения диссипативных членов в уравнения газовой динамики идеальной жидкости (или разностную схему), в результате чего численная схема будет обладать аппроксимационной вязкостью, которая и приводит к сглаживанию фронта разрыва.
При рассмотрении интегральных законов сохранения численная схема (например, схема распада разрыва С. К. Годунова [28] и др.) аппроксимирует обобщенное решение: в областях гладкости она представляет уравнения газо вой динамики, а на разрывах — условия совместности. Здесь в силу единооб разия расчетных формул течение в гладкой области рассчитывается, как и в окрестности разрыва (схема предполагает наличие разрыва в каждом счетном
интервале), что также приводит |
к появлению аппроксимационной вязкости. |
В схемах крупных частиц мы использовали другой подход (метод исче |
|
зающей вязкости). Следуя [27], |
поясним его. |
Обобщенное решение определяется в этом случае как предел классического решения некоторой системы квазилинейных параболических уравнений с ма лыми параметрами при старших производных. Если
(0. 1)
есть исходная схема уравнений газовой динамики, записанная в виде законов сохранения, то соответствующая параболическая система имеет вид
,0.2)
Здесь и = и (х , t) — вектор-функция, описывающая течение; f ( u ), ср(я) — векторные функции от векторного аргумента и ; В {и) — квадратная матрица; р. — малый параметр **).
Матрица В (и) должна быть подобрана таким образом, чтобы решение и (х , t) параболической системы (0.2) обладало достаточной гладкостью и при \i 0 приближалось в каком-то смысле к решению исходной гиперболической системы (0.1), определяя таким образом обобщенное решение задачи.
*) Однородность схемы^означает, что разностный^оператор определяется одной и той же формулой во всех узлах сетки для любых коэффициентов и правой части уравнения из задан ного функционального класса, а также для произвольной сетки [63].
**) В некоторых схемах с искусственной вязкостью р, является функцией —
д х
ВВЕДЕНИЕ |
13 |
Выстраивая в дальнейшем соответствующую численную схему для решения параболической системы (0.2), получим разностные уравнения с диссипатив ными членами, которые и определяют вязкостные эффекты схемы. Следует заметить, что указанный здесь приближенный механизм диссипации может быть получен либо путем введения явных членов с искусственной вязкостью
в исходные уравнения, либо он определяется аппроксимационной вязкостью, порождаемой, вообще говоря, самой структурой разностной схемы. Последний путь нам кажется более рациональным, особенно для многомерных задач аэро газодинамики, при наличии областей с криволинейными границами и т. п. В этом случае аппроксимационная вязкость имеет единообразный характер как (внутри поля, так и в граничных точках. Она автоматически проявляет себя лишь в зонах больших градиентов (на ударной волне, у поверхности тела), и в то же время в областях гладкого течения ее влияние незначительно [1, 29,
218, |
219, |
221]. |
|
|
|
|
7. |
Приведем здесь краткое |
содержание |
глав данной работы. |
|
|
В |
первой главе — Метод |
частиц в |
ячейках — дается оригинальная |
|
трактовка схемы расщепления и проводится достаточно подробное рассмотрение метода Харлоу частиц в ячейках.
Вторая глава — Метод свободных точек — посвящена описанию схемы В. Ф. Дьяченко, где применяются лагранжевы координаты без фиксированной сетки ячеек. Если в предыдущем подходе используются частицы, имеющие близкие лагранжевы координаты, то в методе свободных точек рассматриваются частицы, расположенные в данный момент времени «близко» в пространстве.
В третьей главе — Метод крупных частиц — приводится полное и систе матическое описание модифицированного метода крупных частиц и его вариан тов, применительно к ЭВМ средней мощности.
В четвертой главе— Исследование численных схем метода крупных частиц —
проводится последовательное изучение (путем рассмотрения дифференциаль ных приближений разных порядков) основных свойств численных схем данного метода: исследуются вопросы аппроксимации, образования вязкостных эф фектов, вычислительной устойчивости и др.
Пятая глава — Расчет обтекания цилиндрического торца и плоской ступеньки — иллюстрирует в качестве методического примера расчет методом крупных частиц до-, транс- и сверхзвукового обтекания цилиндрического торца и плоской ступеньки. Здесь следует заметить, что расчет стандартными методами обтекания тела указанной формы даже для сверхзвукового режима является весьма затруднительным из-за наличия особой угловой точки, обра зования вторичных ударных волн, очень сильного затупления и большой протяженности («длинного» тела).
В шестой главе — Исследование закритических и околозвуковых режимов течения — приводятся результаты расчетов обтекания плоских и осесим метричных тел различной формы в широком диапазоне изменения скоростей трансзвукового режима (от чисто дозвуковых до сверхзвуковых режимов, включая закритическое обтекание при наличии местных сверхзвуковых зон
ипереход через скорость звука).
Вседьмой главе — Обтекание конечных тел со срывом потока — дается обзор теоретических и экспериментальных исследований срывных течений для данного класса тел при больших числах Рейнольдса и приводятся результа ты расчетов методом крупных частиц возвратно-циркуляционных зон в дон ной области и ближнего следа за конечным телом для предельных режимов течения.
Восьмая глава — Численное моделирование турбулентных течений со вдувом струи — посвящена изучению свойств турбулентных течений в об ластях смешения перед телом, когда имеет место вдув струи в основной поток.
14 |
ВВЕДЕНИЕ |
|
Девятая глава — Расчет |
внутренних и |
гетерогенных течений газа — |
имеет комплексный характер. |
В первой ее |
части проводится рассмотрение |
внутренних течений газа в плоских и осесимметричных каналах с центральным телом. Особый интерес вызывает здесь исследование случаев возникновения в поле течения Я-скачков уплотнения и др. Во второй части описывается раз витие метода крупных частиц для решения задач динамики двухфазных дисперсных сред и приводятся примеры решения некоторых характерных задач.
В десятой главе — Расчет нестационарных задач — описываются резуль таты численного эксперимента при исследовании дифракционных задач, явле
ний взрыва, а |
также |
нестационарных |
движений газа при сосредоточенном |
энерговыделении |
у его |
поверхности. |
с излучением — рассматриваются раз |
В одиннадцатой главе — Течения |
|||
ностные схемы метода крупных частиц для решения задач радиационной газовой динамики и исследуются явления физики плазмы (задачи взаимодейст вия лазерного излучения с веществом).
И, наконец, в двенадцатой главе — Развитие метода крупных частиц —
указанный подход обобщается на класс многопараметрических разностных схем расщепления. Анализ полученного многопараметрического семейства схем проводится на основе рассмотрения матриц аппроксимационной вязкости. Раз работан алгоритм для расчета нестационарных пространственных течений, и исследуется устойчивость нелинейных разностных схем на границах расчетной области. Проводится обобщение расчетных формул метода крупных частиц на случай неравномерной сетки, описывается численный алгоритм метода рас щепления для уравнений Навье — Стокса и изучается задача о развитии трехмерных возмущений при рэлей-тейлоровской неустойчивости.
В Приложении дается краткое описание некоторых эйлерово-лагранжевых подходов, идеологически близких к методу частиц и применяемых для решения задач механики сплошных сред.
Подчеркнем еще раз тот факт, что использование метода крупных частиц позволило рассмотреть весь этот класс сложных течений с единых позиций практически с помощью одного численного подхода [1, 17—23, 30—35, 211, 213—215 и др.].
Для контроля точности полученных результатов, постановки задачи, гра ничных условий и т. п. вычисления по методу крупных частиц проводились на различных расчетных сетках; имела место проверка выполнения законов сохранения; результаты сравнивались с имеющимися расчетами по другим схемам, а также с экспериментальными и аналитическими данными. В этом отношении полезной оказалась асимптотика звукового обтекания (см. гл. VI), построенная для рассматриваемых случаев течения [23]. Практически везде наблюдалось достаточно удовлетворительное согласие [211].
В отдельных случаях, при изучении вопросов аппроксимации, устойчи вости схем идр., здесь приводятся также некоторые математические обосно вания, проведенные нами и другими авторами для модельных типов урав нений.
Реализация численного эксперимента послужила толчком и к развитию математической технологии, в том числе таких актуальных вопросов, как модульная организация программ, иерархическая структура программных комплексов и др. [36—38]. При этом было осуществлено интерактивное общение человека с машиной, режим диалога математика с ЭВМ 139]. Активное ис пользование дисплейной техники позволило значительно ускорить и автомати
зировать |
процесс обработки полученной информации [36J. |
8. |
Следует отметить, что развиваемый для решения нелинейных задач ме |
тод крупных частиц требует, естественно, дальнейших исследований и обосно ваний. В ряде моментов его построение проводится на интуитивных и эвристи
ВВЕДЕНИЕ |
15 |
ческих соображениях, что скорее характерно для подходов прикладной ме ханики *).
До настоящего времени, как известно, для подавляющего большинства задач газовой динамики не только не доказано никаких математических тео рем существования и единственности, но даже часто нет уверенности в том, что такие теоремы могут быть получены. Сама математическая постановка задачи, как правило, в точном смысле не сформулирована, а дается только фи зическая постановка, что далеко не одно и то же. Математические трудности изучения такого типа проблем связаны с нелинейностью уравнений, а также с большим числом независимых переменных.
Аналогично обстоят дела и с методами решения уравнений газовой дина мики. Исследования, связанные с возможностью реализации алгоритма, его сходимостью к искомому решению, устойчивостью, до сих пор выполнены строго лишь для линейных систем, а в ряде случаев только для уравнений с постоянными коэффициентами. Оказываясь тем не менее перед необходимостью решать задачу, математик-вычислитель вынужден применять уже известные алгоритмы и в еще большей степени разрабатывать новые подходы подчас без строгого их математического обоснования. Не нужно думать, что положе ние такого вычислителя сильно отличается от положения любого исследоватег ля в новой области. В науке, в том числе и в математике, можно найти немало примеров, когда новые идеи и понятия возникали и успешно использовались без строгого их обоснования, которое появилось позже. Понятно, отсюда сов сем не следует, что при разработке новых вычислительных алгоритмов можно действовать вслепую, не заботясь о четкой математической постановке задачи, не вникая глубоко в ее физический смысл. Такой путь неизбежно ведет к много численным ошибкам, потере времени и, главное, накопленный опыт, не будучи теоретически осмысленным, не дает основы для дальнейшего развития метода.
Здесь обращается внимание на этот в общем-то ясный вопрос потому, что до сих пор еще встречается мнение, что главное — это написать дифференци альные уравнения, а все остальное затем сводится к тривиальной замене производных разностями и программированию, которому зачастую придается непропорционально большое значение. В связи с этим целесообразно сформу лировать основные этапы численного решения задач механики или физики на ЭВМ следующим образом:
1)конструирование физической модели и математическая постановка
задачи;
2)разработка вычислительного алгоритма и его теоретическое иссле дование;
3)программирование (ручное или автоматическое) и формальная отладка
программы;
4)методическая отладка алгоритма — проверка его работы на конкрет ных задачах и уточнение постановки задачи; устранение выявившихся недо статков и экспериментальное исследование алгоритма;
5)серийные расчеты, накопление опыта, оценка эффективности и преде лов применимости алгоритма.
На всех этапах математическая теория, физический и численный экспери мент на ЭВМ должны использоваться совместно и согласованно. Как это осу ществляется на каждом этапе, лучше всего иллюстрировать на примере реше ния конкретных задач, что и будет сделано ниже. Поэтому сделаем только несколько общих замечаний.
Основной принцип получения математических результатов состоит в том,
что условия, обеспечивающие решение задачи в более простых и частных
*) Исследования последних лет, связанные с вопросами математического обоснования и обобщением схем метода крупных частиц, содержатся в работах 1213—221].
16 ВВЕДЕНИЕ
случаях, должны выполняться при определенных условиях и для более общих и сложных задач. Параллельно с этим рассмотрение физики явления дает ка чественную картину, с помощью которой проверяется и уточняется постановка задачи. Наконец, окончательная экспериментальная проверка метода позво ляет судить о правильности сделанных предположений и дать оценку алго ритма и полученного решения, в частности, его точности. Здесь следует заме тить, что оценка точности численного решения сформулированной дифферен циальной или разностной задачи должна производиться чисто математически, без привлечения данных физического эксперимента. Последними можно поль зоваться для качественных сравнений, количественное же сопоставление расчета с экспериментом дает информацию о том, насколько принятая физиче ская модель близка к реальным условиям.
Г Л А В А I
МЕТОД ЧАСТИЦ В ЯЧЕЙКАХ
В связи с появлением ЭВМ большой мощности оказалось возможным пе рейти от разностного решения отдельных дифференциальных уравнений к пря мому численному моделированию сложных физических систем. Принципиаль ное отличие возникших при этом вычислительных алгоритмов от ранее исполь зуемых расчетных методик заключается в их ориентации на обширный объем вычислительных работ, требующий использования электронно-вычислитель ных машин не ниже второго-третьего поколений. Практический интерес пред ставляют задачи моделирования гидродинамических явлений с большими де формациями. Здесь, как уже отмечалось, возможны различные численные под ходы.
Данная глава содержит краткий обзор современных методов частиц, раз рабатываемых в Лос-Аламосской лаборатории (США). Это большое и ориги нальное научное направление началось с PIC (Particle-in-Cell) — метода час тиц в ячейках, предложенного Харлоу в 1955 г. [2]. К настоящему времени под руководством Харлоу разработан ряд численных подходов, позволяющих рас считывать сложные гидродинамические течения как в сжимаемых, так и в не сжимаемых средах.
Глава начинается с описания PIC — метода для однокомпонентной среды, следуя первым оригинальным работам в этом направлении [2, 3, 40]. Затем дается изложение многокомпонентной версии метода частиц в ячейках, разви той Амсденом [41]. В конце главы приводятся результаты некоторых характер ных расчетов.
Более узкие направления, получившие развитие за последние годы из метода PIC, можно найти в упомянутых ниже работах и обзорах: FLIC-метод для расчета высокоскоростных течений газа [24]; ICE-метод для исследования потоков сжимаемого газа в широком диапазоне режимов движения [42, 43]; MAC, SMAC, ALE, LINC — методы для расчета течений вязкой и идеальной несжимаемой жидкости [44—50] и др. В приложении к данной книге содержит ся краткое описание этих подходов и некоторых результатов расчетов. Доста точно полное изложение указанных методов дается в цитируемой литературе.
§1. Описание метода частиц|в ячейках для однокомпонентной^среды ^
1.Вначале, следуя работам Харлоу [2, 3], дадим формальное описание метода частиц в ячейках, а также затронем вопросы построения алгоритма, выбора расчетной сетки, организации вычислительного процесса и т. д. В даль нейшем, опираясь на этот подход, мы покажем особенности метода крупных частиц, разработанного для решения задач газовой динамики.
Вметоде частиц в ячейках используется, как отмечалось, дискретная модель сплошной среды, причем занятое жидкостью пространство разбивается сеткой фиксированных ячеек. Внутри этих ячеек сплошная среда представляет ся частицами, каждая из которых несет фиксированную массу жидкости. Та-
18 МЕТОД ЧАСТИЦ В ЯЧЕЙКАХ [ГЛ. I
ким образом, имеем лагранжеву систему координат (частиц), наложенную на неподвижную эйлерову сетку. Рассуждения, приведенные в данном параграфе, подчеркивают роль совместного использования концепций Лагранжа и Эй лера *).
Для простоты предположим, что граница исследуемой области т фикси рована и поток жидкости через нее равен нулю, хотя соответствующие урав нения легко могут быть обобщены и на другие граничные условия. Пусть мы имеем дело с одним веществом, характеризуемым одним уравнением состояния, которое связывает величины плотности р, давления р и удельной внутренней энергии 3.
Как и в обычной трактовке Лагранжа, отношение изменения положения расчетной точки ко времени равно скорости
|
|
^ |
( 1 Л > |
где х и W рассматриваются как скаляры в одномерном случае или как векторы |
|||
{х*} |
и {W i} — в многомерном. |
|
t) — положение любой дан |
Интегрируя уравнение (1.1), получим х = х (х 0у |
|||
ной |
точки жидкости как функцию |
времени и ее начального положения лг0. |
|
Распределение плотности р (ху t) |
во времени t |
должно удовлетворять за |
|
кону |
сохранения массы, который можно записать в интегральной форме |
||
$ Р (х, t)ch = ^ Р„ (х,) dx„.
X |
Т 0 |
Здесь т — некая фиксированная область (объем) в жидкости, т0 — начальное
положение этой области, |
р0 — начальное распределение |
плотностей, a |
dx и |
|
dx0 — соответствующие элементы |
указанных объемных |
областей. |
|
|
В дифференциальной |
форме |
закон сохранения массы имеет такой |
вид: |
|
. • / ( * ) .
Здесь J — якобиан в многомерном случае.
Дадим теперь определение массы частицы. Предположим, что начальное распределение плотности р0 представлено дельта-функциями (т. е. функциями, отличающимися от нуля только в конечном числе точек х 0к и обращающимися
вбесконечность в каждой из этих точек таким образом, что объемный интеграл от плотности в любой достаточно малой окрестности этих особых точек является постоянной характеристикой точки). Эту константу и назовем массой частицы, связанной с рассматриваемой точкой.
Массы выбираются так, чтобы выполнялся закон сохранения, записанный
вдискретной форме
М = |
[ р (ху t) dx = \ ро (х0) dx0 = 2 |
[ Ро (*о) dx0= 2 тк . |
х |
то |
* = 1 |
Здесь рассматриваемая область т разбивается на п подобластей хк так, что каждая подобласть содержит только одну точку, в которой р0 отлично от нуля. Для любой произвольной области т получим
5 р(х, t)dx = \ Ро(х0)^ то~ У ] т/> |
(1.2) |
||
X |
То |
/ |
|
где сумма берется по тем частицам, которые находятся в области т в момент времени t. В частности, эта область может быть свободна от частиц. В таком
) Этот способ описала также Бромберг в приложении к работе [21.
§ 1] |
МЕТОД ЧАСТИЦ В ЯЧЕЙКАХ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЫ |
19 |
случае соответствующий интеграл равен нулю, однако это не нарушает закона |
||
сохранения |
в целом. |
|
2. |
Установив характеристики функции плотности и определив массу час |
|
тицы, построим теперь с помощью законов сохранения импульса и энергии
вычислительный процесс метода.
Предположим, что область т покрыта эйлеровой расчетной сеткой (рис. 1.1), которая позволяет получать простые выражения для разностных представ лений в любой ячейке С таких функций, как градиент, дивергенция и нормаль ная производная. Соответствующее значение плотности находим из уравне
ния |
(1.2) |
путем |
аппроксимации |
|
|
||||
интеграла |
в левой |
части |
|
|
|
||||
|
|
\ р dx —рстс, |
|
|
|
||||
откуда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|||
|
|
|
рс = ^ 5 > / - |
|
|
|
|||
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
Расчетный цикл (шаг по вре |
|
|
||||||
мени At) при переходе от вре |
|
|
|||||||
менного слоя t к следующему |
|
|
|||||||
слою t+ A t в методах частиц тра |
|
|
|||||||
диционно |
расщепляется по |
фи |
|
|
|||||
зическим |
процессам для каждой |
|
|
||||||
расчетной |
ячейки |
на три этапа: |
|
|
|||||
п е |
— н а 1 э й л е р о в о м э т а - |
|
|
||||||
рассматривается |
изменение |
|
|
||||||
параметров жидкости за |
счет |
|
|
||||||
сил |
давления |
в |
элементарном |
|
|
||||
объеме, |
фиксированном в |
жид |
|
|
|||||
кости |
(лагранжевой |
ячейке) и |
|
|
|||||
совпадающем в |
момент времени |
|
|
||||||
tn с |
эйлеровой |
ячейкой — при |
Рис. 1.1. Расчетная область для метода частиц в |
||||||
этом |
происходит, |
естественно, |
ячейках |
(эйлерова фиксированная сетка и лагран- |
|||||
изменение |
границ |
лагранжевой |
|
жевы частицы). |
|||||
ячейки; |
|
|
|
|
|
|
|
проводится регуляризация расчет |
|
|
— н а П л а г р а н ж е в о м |
э т а п е |
|||||||
ной сетки — лагранжев объем «возвращается» в первоначальное положение и
моделируется движение потока частиц через границы эйлеровых ячеек, учиты вающее обмен массой между ячейками при их перестройке (в результате чего
происходит перераспределение частиц |
по эйлеровой сетке за период Д/); |
— на III з а к л ю ч и т е л ь н о м |
э т а п е происходит соответствую |
щее перераспределение массы, импульса и энергии по пространству на основе законов сохранения (здесь определяется за время At изменение параметров поля течения в элементарной эйлеровой ячейке, полученной возвращением лагранжева объема в прежнее положение).
По существу, расчет ведется в локальной лагранжевой системе координат с последующим пересчетом (интерполяцией) на эйлерову сетку.
Первоначальная структура расчетной сетки остается здесь фиксирован ной в том смысле, что она вновь «появляется» в конце каждого расчетного цик ла интегрирования *). Следовательно, этот метод не испытывает трудностей, которые обычно присущи чисто лагранжевым методикам (искажение лагранжевых ячеек и т. п.).
*) В процессе расщепления можно проводить и перестройку ячеек расчетной сетки, как это делается, например, в методе ALE 144] (см. § 3 Приложения).
2 0 МЕТОД ЧАСТИЦ В ЯЧЕЙКАХ [ГЛ.
В дальнейшем мы будем обозначать через L t лагранжеву ячейку, фикси рованную в жидкости, а через E t — эйлерову ячейку, фиксированную в прост
ранстве. |
|
|
|
|
Рассмотрим каждый этап в отдельности. |
|
|||
I. Э й л е р о в |
э т а п . |
|
|
|
Выпишем законы |
сохранения |
импульса и энергии для области |
т: |
|
— ^ pW dx = — J p n -d s , |
|
|||
A J |
PE |
d x = ^ \ p ^ |
+ ^ W ^ d x = - ^ p W ) r ds, |
(1.3) |
T |
|
T |
|
|
где Е — удельная |
полная энергия, |
3 — удельная внутренняя энергия, ds — |
||
элемент поверхности, (pW )n — нормальная компонента p W , п (х , t) — единич ная внешняя нормаль к поверхности, sx — поверхность, ограничивающая объ ем т.
Запишем теперь систему (1.3) для каждой лагранжевой ячейки сетки:
■jg* J рWйт = — ^ рп ds,
ЧsL.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
- |
j |
(PW ^ ds- |
L4) |
|
|
|
L : |
|
|
|
т |
|
|
|
|
S r |
|
|
Заметим, что |
|
объемные |
ячейки L t |
и их |
поверхности SL. здесь являются |
|||||||||
функциями времени, хотя в начале каждого расчетного цикла они совпадают |
||||||||||||||
с фиксированной |
|
эйлеровой |
сеткой. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Интегрируя (1.4) |
от |
t до |
t+ A t, |
получим: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + д t |
|
|
||
|
|
\ |
|
pW dx = |
\ |
pW dT— \ |
|
\ p n d sd tj |
|
|||||
|
7 (/+до |
|
|
ф ) |
|
|
|
t |
SL' (/) |
|
||||
^ |
рЗ dx |
2 |
J |
р Г ! Л |
- |
J |
pW*dx] + |
|
||||||
£;(/+ до |
|
L - i t + M) |
|
|
L. (t) |
|
|
|
J |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/+Д* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
f |
p5 dT |
|
j |
j (pW )nd s d t. |
(1.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/) |
|
|
|
* |
SL;U) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В выборе конкретных формул для приближенного вычисления интегралов |
||||||||||||||
(1.5) |
имеется определенная свобода. В методах частиц обычно это делается сле |
|||||||||||||
дующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
временные интегралы равны |
произведению подынтегральных выраже |
||||||||||||
ний в |
начальный |
|
момент t |
и |
приращения |
времени At: |
|
|||||||
|
|
|
|
t+ M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
J |
|
p n d sd t — At |
^ |
prtds, |
|
||||
|
|
|
|
1 |
S^i (O |
|
|
|
sLt 0) |
|
|
|||
|
|
|
t +Д/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
S |
(pW )„dsdt = At |
$ |
|
(pW )n ds, |
|
|||||
|
|
|
‘ |
s4 |
(0 |
|
|
|
|
SL; (0 |
|
|
||