книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

б) объемные интегралы, входящие в (1.5), имеют вид

где / — функция от х , a t* может быть равно t либо Тогда

Здесь суммирование проводится по всем «массовым» точкам (частицам), находя­ щимся внутри ячейки Lt*.

Пусть t=n-At. Введем следующие обозначения для /:

/ " (О = /2.» f L. (t + ^ ) = f u ‘

Заменяя уравнения (1.4) (или (1.5)) разностными соотношениями, получим

M nW = M nW n— At J pads,

s4

(1.7)

МпЭ--=~уМ"[(Йг)2—(W )!] + AM B—&t J (pW)„ds.

s4

Величины подынтегральных выражений в поверхностных интегралах выбираются следующим образом: при суммировании уравнений (1.7) по всем ячейкам Lf в области т сумма частных интегралов должна определять общий интеграл по ограничивающей поверхности st . При этом должны уничтожаться интегралы на границах смежных ячеек (даже в том случае, если одна или бо­ лее этих ячеек пусты). Значения подынтегральных выражений, относящихся к поверхности ячейки, определяются из соотношений

где производные д/дп по нормали к поверхности представляются центральными разностями, величина si2 равна расстоянию от центра ячейки до границы.

Таким образом, на эйлеровом этапе из формул (1.7) находятся «промежу­

точные» значения скорости W и внутренней энергии Ь *). В пространствен­ но-двумерном случае при использовании первоначально прямоугольной рав­ номерной сетки x = (i+ 1/2)Дл:, y(j+l/2)Ay получим следующие выражения для

определения составляющих скоростей и (вдоль оси я), v (вдоль оси у) и внутрен­ ней энергии Ь в лагранжевой ячейке L t:

*) Эти значения (они отмечаются тильдой) будут предварительными потому, что на дан­ ном этапе расчета не учитываются эффекты, обусловленные перемещением среды.

моделируется обмен). Следя за расположением массовых частиц, находим те из них, которые пересекли границы эйлеровой ячейки за время At при ука­

Важно отметить, что в лагранжевой трактовке уравнений движения одно из основных положений заключается в том, что любой фиксированный элемент объема жидкости при своем перемещении все время включает в себя одни и те же точки жидкости, хотя его форма и размеры могут изменяться.

Значение Wк, входящее в (1.8), определяется в результате интерполяции скоростей для групп соседних ячеек, при использовании каких-либо из скоро­

стей WE ., WL . либо некоторой их комбинации, например,

/=1

Определив на I этапе изменения скорости и удельной внутренней энергии в лагранжевой ячейке L t за время At, можно теперь найти эти параметры в фик­ сированных (по пространству) эйлеровых ячейках Е ь, которые получаются в результате возвращения лагранжевых ячеек L t в первоначальное положение.

где E t — фиксированный объем, совпадающий c Li(t), SE. — поверхность E t. Интегрируя (1.9) по времени от t до t-\-At, получим

t s . .

возвращение лагранжевых ячеек в исходное состояние £*):

Здесь последнее суммирование проводится по тем соседним ячейкам N, окру­ жающим ячейку Ь и из которых частицы приходят в Е г (входящие частицы обозначены индексом «в», исходящие — индексом «из»).

В частных случаях для значений массы, импульса и энергии соответствую­ щие уравнения будут иметь вид:

М п +.“ • ( м » _ 2 m Л + 2 2 «л

При определении плотности вещества (которая используется на этапе I для нахождения давления р из уравнения состояния) массу всех частиц в ячей­ ке М л+1 следует разделить на объем ячейки т

Таким образом, зная все параметры потока в каждой ячейке в момент времени t> мы с помощью трех этапов вычислений находим их в момент време­ ни t+At. Вычислительный цикл завершен.

Постановка граничных условий будет подробно описана в гл. III при рассмотрении метода крупных частиц.

3. Из-за наличия дискретных частиц численная схема метода частиц в ячейках является весьма сложной, и аналитическое исследование ее устой­ чивости затруднено. Вязкостные эффекты, вопросы аппроксимации и устойчи­ вости будут подробно обсуждены ниже при рассмотрении метода крупных частиц. Приведенные там положения справедливы и для метода частиц в ячей­ ках, поэтому ограничимся здесь лишь изучением некоторых специфических осо­ бенностей именно метода частиц (более подробно об этом см. в работе Н. Н. Ану­ чиной [14]).

Когда среднее число частиц в ячейке невелико (около четырех), флуктуа­ ции, вызванные передвижением частиц через границы ячеек, будут очень большими. Особенно велики они в областях разрежения, откуда практически уходят все частицы. Если в процессе решения указанные флуктуации в какойто степени осредняются, то все равно результаты расчетов по методу частиц в ячейках едва ли можно рассматривать с позиции сплошной среды. Здесь, ви­ димо, интересы вычислителя должны ограничиваться, главным образом, изу­ чением общих функционалов движения.

В указанном методе для простоты вычислений часто используют недо­ статочно устойчивый (или просто неустойчивый) эйлеров этап, построенный на аппроксимациях центральными разностями. Однако в целом вычисления про­ водятся устойчивым образом, так как на последующих этапах происходит «компенсация» указанной неустойчивости. Это объясняется тем, что численная схема обладает некоторой вязкостью. Вид схемной вязкости можно получить из дифференциальных приближений путем разложения разностных уравнений по сеточным параметрам на всех трех этапах в ряды Тейлора относительно цен­ тра ячейки *). В результате получаются исходные дифференциальные уравне-

) Более подробно об этом см. в гл. IV.

ния и дополнительные члены, пропорциональные Ах, Ay, At и локальной ско­ рости движения среды. Некоторые из этих членов по своему виду похожи на члены, описывающие реальную вязкость и теплопроводность, другие же из них не связаны с какими-либо известными физическими свойствами жидко­ сти. В областях, где схемная вязкость достаточно велика (например, на удар­ ной волне), неустойчивость демпфируется; там же, где вязкостные эффекты ма­ лы (в застойных областях и т. д.), неустойчивость начинает прогрессировать вплоть до появления отрицательных величин энергии и давления. Для устра­ нения этой неустойчивости в разностную схему метода частиц в ячейках не­ обходимо вводить явные члены с искусственной вязкостью q.

Происхождение эффектов схемной вязкости можно уяснить, проводя расчет движения самих частиц [3]. Когда частица пересекает границу ячейки, она несет определенные количества импульса и энергии, которые добавляются к соответствующим величинам в новой ячейке. Последующее вычисление новых удельных величин приводит к уменьшению кинетической энергии жидкости в этой ячейке и увеличению ее внутренней энергии и энтропии.

§ 2. Метод частиц в ячейках для многокомпонентных сред

Опишем теперь способ развития метода частиц в ячейках на случай рас­ чета многокомпонентных сред. Следуя Амсдену [41], введем в рассмотрение двухкомпонентную жидкость, одну из компонент которой будем обозначать

p ( - | - + W . v ) [> + i - («*+*,*)] =

= - V - ( p W ) . (1.18)

Здесь, как и в однокомпонентном слу­ чае, процесс вычислений состоит из трех этапов. Однако в связи с усложнением фи­ зической модели эйлеров этап разбивается,

всвою очередь, на три шага. Вычисляются:

1)величины давления для всех ячеек

системы; 2) новые (промежуточные) значения

обеих компонент скорости для всех ячеек; 3) новые (промежуточные) значения удельной внутренней энергии во

всей системе.

Рассмотрим коротко все элементы вычислительного алгоритма.

На п е р в о м шаге эйлерова этапа вычисляется давление в ячейке. Для этого необходимо найти плотность р{ каждой компоненты, которая определяет­ ся как сумма масс всех частиц в данной ячейке

k Ь

где /., /х — соответствующие функции для материалов, обозначенных точками и крестами.

Если уравнение состояния таково, что давление прямо пропорционально

ная вязкость q, которая добавляется к давлению р так, что в уравнения входит величина p + q .

Распишем уравнения (1.17), (1.18) более подробно для цилиндрической системы координат:

нами, получим следующую укороченную систему уравнений эйлерова этапа:

Здесь в качестве давлений на границах ячейки берутся^полусуммы давлений в соседних ячейках, например, Р { .1/2 = у (р[^+ р[) и т. д. Если соседняя ячейка пустая, то согласно [41] давление на границе полагается равным

Пусть в момент времени £=0 слева направо начинает двигаться ударная волна (скорость газа за волной и=1,0). Около тела газ покоится и не нагрет; плотность тела в четыре раза выше плотности газа. Скорость движения скачка wc= l,3 3 , плотность газа за скачком рс=4,0.

На рис. 1.4 приведена при £=35 типичная картина взаимодействия скачка с деформируемым телом удлиненной формы. На рис. 1.5 показан аналогичный результат для случая короткого обтекаемого тела (размером 10x20). Помимо

Рис. 1.4. Взаимодействие ударной волны с удлиненным деформи* руемым препятствием (/=35).

Рис. 1.5. Взаимодействие ударной волны с коротким обтекае­ мым телом (/=35).

характерных линий, приведенных на рис. 1.4, здесь также^изображены линии тока, которые в момент £=0 являлись горизонтальными. *

3. На рис. 1.6 показаны для течения азота результаты расчета очень сложной задачи о движении скачка уплотнения по каналу с изменяющимся се­ чением [40]. В начальный момент времени поток однороден, затем в окрестно­ сти угловой точки О осуществляется его разворот и реализуется течение Прандтля — Майера *).

*) См. также работу [185] и гл. X.