книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

в плотные слои атмосферы происходит интенсивное нагревание и испарение теплозащитного покрытия лобовой поверхности. Это явление, как известно,, моделируется течением со вдувом, распределенным вдоль образующей тела. На рис. 8.11 приводится рассчитанная картина течения. С лобовой поверхно­ сти ОЕ обтекаемого торца 0Е1( производился распределенный вдув навстречу набегающему потоку. На левой границе А В рассматриваемой области ABCD задавался равномерный сверхзвуковой поток с ЛГво= 2. Параметры вдуваемого* газа изменялись вдоль поверхности ОЕ следующим образом:

где R — высота тела ОЕ, и0— значение горизонтальной компоненты скорости* на оси симметрии в точке О Для случая, приведенного на рис. 8.11, и0= —0,15^

(Штриховой линией обозначена ударная волна, пунктиром — контактная поверх­ ность.)

В результате столкновения набегающего и выдуваемого потоков в поле те­ чения образуется контактная поверхность LM , формирующая эффективное тело. Поэтому ударная волна NP расположена здесь дальше от тела ОЕКУчем в случае течения без вдува. Вдоль контактной поверхности LM реализуется так называемый висячий пограничный слой *).

На рис. 8.12 приводятся рассчитанные вдоль нормалей QQ, R R , 5 5 к по­ верхности LM (рис. 8.11) профили тангенциальной компоненты скорости. По­ скольку в использованной разностной схеме сквозной счет осуществлялся 3ai счет аппроксимационной вязкости, профили в висячем пограничном слое сле­ дует уточнить. Это можно осуществить двумя способами: вводя в расчет алго­ ритм решения уравнений Навье — Стокса (как это было сделано, например*

IAF Congress, Baku, USSR, 1973.— M.: Институт механики МГУ, 1973.

ведем результаты еще одного численного эксперимента. На рис. 8.18 дана картина сверхзвукового обтекания цилиндрического торца (Л4да= 3,5), вблизи

вязкости *).

На рис. 8.18 изображены линии тока, звуковая линия, ударная волна, изолинии уровня напряжения турбулентного трения ттур, линии уровня коэф­ фициента турбулентной вязкости &тур.

Следует отметить, что характеристики турбулентного движения здесь определялись приближенно по осредненной картине течения. Так, напряжение турбулентного трения

ттур = — р Д и -Д и ,

а коэффициент «динамической» турбулентной вязкости [169] **)

. \д\У

«тур — Ттур/ с/д

Возможно, что эти характеристики нуждаются в уточнении, но тем не менее полученные результаты несут в себе определенную информацию. Видно, на­ пример, что по мере приближения к зоне смешения] величина ттур увеличи­ вается.

*) Коэффициент турбулентной вязкости вводится обычно феноменологически — в без­ граничном пространстве турбулентно движущуюся жидкость можно характеризовать некото­ рой турбулентной вязкостью, отличной от истинной кинематической вязкости. Такое описание свободной турбулентности дает хорошие результаты в теории турбулентных струй [119, 167, 168].

**) Средняя скорость переноса количества движения через плоскость (*, у) в случае те­

чения несжимаемой жидкости (напряжение Рейнольдса) т*, y= p « V . По аналогии с вязким касательным напряжением, вызываемым молекулярной диффузией, эту срезывающую силу можно связать с тензором v// фиктивной кинематической турбулентной вязкости, определяемым следующим {уравнением [122]:

т,у = — ри щ = рV// • diii/дхj.

Сюда входят «вязкость шероховатости» km, «вязкость в зависимости от расстоя­ ния I до тела» kh молекулярная вязкость £мол и т. д. Заметим, что для доста­ точно широкого класса задач &тур^>£МолПоэтому для течений с развитой тур­ булентностью на инерционном интервале движения при больших числах Рей­ нольдса молекулярная вязкость не играет заметной роли при описании осредненного движения (механизм диссипации здесь не молекулярный, а турбулент­ ный). Молекулярная вязкость при этом определяет лишь уровень масштаба*, турбулентности, с которого начинает заметно диссипировать энергия.

При течениях газа вблизи стенки может осуществляться, как известно, два режима: ламинарный и турбулентный. В первом случае жидкость обладает-

Рис. 8.18. Оценка характеристик турбулентного движения при^сверхзвуковом обтека­ нии цилиндрического торца со вдувом звуковой струи. Сплошными линиями обоз­ начены главная ударная волна и линии тока, штриховой — звуковая линия, пункти­ ром — линии постоянства коэффициента турбулентной вязкости АТуР—const, кружка­ ми — изолинии уровня!напряжений турбулентного трения TTyp=const. Стрелки обо­

значают направления потока.

лишь молекулярной вязкостью, которая не изменяется при переходе от одной; точки к другой. При этом профиль скорости, как следует из уравнений Навье — Стокса, является линейным. Во втором случае при наличии турбулентного об­ мена (с переменным коэффициентом £Тур) У стенки реализуется логарифми­ ческий профиль скорости. Метод крупных частиц, как показали расчеты,, позволяет моделировать именно такую зависимость.

Число примеров расчета, иллюстрирующих возможности метода крупных, частиц, можно было бы значительно увеличить *), однако важнее, на наш*

уравнений Эйлера с некоторым приближенным механизмом диссипации при точном, в принципе, моделировании временного процесса. Напомним, что, по>

*) См., например, [214].

ТЛ . VIII] ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ 217

•существу, определяющими критериями при построении соответствующих разностных схем с диссипацией являются условия аппроксимации исходных не­ стационарных уравнений Эйлера, наличие вычислительной устойчивости, а также существование у разностных уравнений решения, аналогичного по своей структуре скачку уплотнения.

Строго говоря, предельное решение должно быть получено в таком под­ ходе, когда аппроксимационная вязкость е 0. Однако при машинной реали­ зации за предельное решение принимается установившееся (в общем случае нестационарное) численное решение, которое при последовательном дроблении сетки (уменьшении е) в рамках устойчивости вычислений приводит к стабили­ зации основных характеристик потока (протяженности срывной зоны, поло­ жению центра вихря и т. п.— см., например, рис. 7.33—7.36).

Позволим напомнить здесь еще раз вид дифференциального приближения используемых конечно-разностных уравнений, откуда и следует структура диссипативного механизма схемы. В случае двумерного течения при отсутствии явных членов с искусственным давлением первое дифференциальное прибли­ жение по Ах и нулевое по At (для потока массы АМ второго порядка точности) имеет такой вид:

|-+div(pwo=o,

Ж + div (p£W)+ div(p№0=!(pe*4J)

'где e*= у wAx, ey= yi;Aу — аппроксимационная вязкость.

В левой части (8.2) находятся точные выражения исходных дифференци­ альных уравнений, а справа — «сглаживающие» диссипативные члены, воз­ никающие при аппроксимации исходной системы дифференциальных уравне­ ний конечно-разностными и зависящие от внутреннего характера используемых представлений. В двумерном случае, как видим, вязкостное давление имеет вид тензора *).

Таким образом, как следует из приведенных выражений, реализуемые при конкретных вычислениях уравнения, являются диссипативными (хотя в каче­ стве исходных использовались дифференциальные уравнения Эйлера).

Как уже отмечалось ранее, роль коэффициента молекулярной вязкости vмол здесь играет коэффициент схемной (аппроксимационной) вязкости е, за­ висящей от локальной скорости потока и размера разностной сетки h. Задача указанного приближенного механизма диссипации — сгладить мелкомасштаб­ ные пульсации, а также размазать сильные разрывы, что позволяет прово­ дить сквозной счет в рамках идеального газа по единым алгоритмам во всей •области интегрирования. При этом важно отметить, что в методекрупных частиц моделируется, в принципе, точный механизм нестационарности разви­ тия явления.

происходящих процессов). Если турбулентному вихрю (масштаба и движущемуся со скоро- •стыо v\) соотнести крупную частицу (размера Л, со скоростью ул), то выражения для е и vTypx будут совершенно идентичны. Положив в (8.2) е ^ е ^ Г т у р , получим, что дифференциальные приближения при p=const (несжимаемая жидкость) примут вид точных уравнений Навье —

'Стокса, где вместо молекулярной вязкости vMoa будет стоять коэффициент эффективной турбу­ лентной вязкости vTyp.

Приближенный механизм диссипации в схемах метода крупных частиц, порождается естественным образом самой структурой аппроксимации: диффу­ зионные члены второго порядка образуются в разностных уравнениях в ре­ зультате разложения дифференциального оператора по сеточным параметрам. Вид диссипативного механизма (различный для разного рода^аппроксимаций)> определяется здесь по сформулированным выше критериям из;анализа диффе­ ренциальных приближений, причем решающим фактором в его выборе являет­ ся условие устойчивости полученного сглаженного решения системы (8.2) _ Используя систему прямого диалога человека с машиной, проведение ука­ занного анализа можно, в принципе, переложить «на плечи» ЭВМ. При таком подходе машина сама, по существу, участвуете конструировании соответствую­ щей математической модели задачи — формирует «вязкостный» тензор, вы­ бирает значение эффективной вязкости и т. п. Если вспомнить теперь, что

втурбулентном потоке для больших чисел Рейнольдса эффективная вязкость-

^фф^ У мол» то указанный принцип построения численной модели на основе

нестационарных уравнений Эйлера с приближенным механизмом диссипации (при соответствующем выборе уЭфф(А,)), кажется вполне оправданным и дли изучения осредненного движения и крупномасштабной турбулентности.

Таким образом, если в уравнения идеального газа или в соответствующую разностную схему введены диссипативные члены, то (как показали исследова­ ния и расчеты) при достаточно общих предположениях относительно характе­ ра диссипации обобщенное решение широкого класса задач для предельных ре­ жимов течения можно получить с определенной точностью путем предельного перехода из уравнений с приближенным механизмом диссипации, а не из урав­

течение **), формирование которого происходит в процессе достаточно боль­ ших временных интервалов независимо, в определенных пределах, от конкрет­ ных начальных данных [159, 167] ***), то можно предположить, что указанный подход будет справедлив (как по постановке задачи, так и по разработанной методике) и для численного исследования осредненных характеристик потока и крупномасштабной турбулентности на инерционном интервале движения. Такие явления имеют место, например, в задачах со свободной неизотропной турбулентностью, когда пульсации течения носят случайный характер, а самые большие вихри значительно меньше размеров области сдвигового течения (тур­ булентные потоки при больших числах Рейнольдса в свободных струях, в зо­ нах следа за телом и т. п.).

Действительно, схемы метода крупных частиц с приближенным механиз­ мом диссипации вводят в поток вихревые («турбулентные») возмущения, а рас­ четы на большие временные интервалы при точном моделировании нестационарности позволяют получить для сформировавшегося течения осредненный по времени турбулентный (по определению) поток. При этом турбулентному вихрю масштаба можно сопоставить крупную частицу размером h. Если теперь для такой ячейки эйлеровой сетки записать уравнения баланса, то это приведет к сглаживанию мелких вихрей.

Приближенный механизм диссипации разностных уравнений позволяет» по существу, определять из условий устойчивости решения в целом эффектив­ ные значения коэффициентов переноса, что и дает возможность феноменоло­ гически ввести турбулентность. Диссипативные (сглаживающие) члены в (8.2)

*) На эти работы при обсуждении указанных здесь вопросов наше внимание обратил Г. Г. Черный.

**))При Re>R eKp появляется устойчивое нестационарное решение, которое и осуществ­ ляется реально в движущейся жидкости [167].

***) При рассмотрении турбулентного движения в течение достаточно больших промежут­ ков времени конкретные начальные условия перестают играть какую-либо, роль [167].

!ГЛ. VIII] ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ

«при соответствующем представлении эффективной вязкости должны прибли­ женно отражать для данного уровня разрешения (k~ti) «вклад» мелкомасштаб­ ной турбулентности с % < . h *).

Построенные таким образом на основе модели Эйлера расчетные схемы дают возможность, вообще говоря, изучать в инерционном интервале осредненные характеристики не только крупномасштабных турбулентных движений, •отвечающие большим числам Рейнольдса, но и турбулентности масштаба 1> (где I — основной масштаб турбулентности порядка величины харак­ теристических длин, определяющих размеры области; %0— внутренний мас­ штаб турбулентности, R e ^ ^ l) **). Локальные же свойства турбулентного те­ чения могут быть описаны, например, из соображений размерности на основе

.концепции Прандтля — Колмогорова всего двумя величинами — кинетиче­ ской энергией пульсационного движения и масштабом турбулентности [172].

*) В. М. Иевлев показал, что при численном моделировании крупномасштабной турбу­ лентности существует принципиальная возможность получения правильных статистических результ ат ов с помощью «сглаженных» уравнений движения ( где «вклад» мелкомасш т абных вих­

эти величины не должны меняться при изменении vMOjIи неизменных остальных условиях, в ко­

торых происходит движение). Расстояние порядка Х0=1/Rea^4 является границей применимости уравнений Эйлера к турбулентному движению. Таким образом, турбулентные движения в инер­ ционном интервале (масштабы вихрей )ф>Хо) могут изучаться, вообще говоря, на основе моде­ лей Эйлера с приближенным механизмом диссипации. Более подробно об этом см.: Б е л о ­ ц е р к о в с к и й О. М. Прямое численное моделирование «переходных» течений газа и задач турбулентности.— В кн.: Механика турбулентных потоков (под ред. В. В. Струминского).— «М.: Наука, 1980., с. 70—109.