книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

тела. При z /D ^ 3,5 происходит выравнивание (по г) потока, и согласие с экс­ периментом вполне удовлетворительное. Это еще раз подтверждает тот факт, что и в вязком слое и вне его на большом расстоянии от среза тела (на + о о по оси z) значения производных др/дг ->- 0. Именно это условие, как уже

Рис. 5.24. Сравнение расчетных данных для коэффициента давления ср с экспериментом Станбрука [84] для звукового обтекания цилиндрического торца.

говорилось, и обеспечивает параллельность потока боковой поверхности цилиндра.

На рис. 5.25 показана головная ударная волна, полученная при сверх­ звуковом обтекании конуса с углом полураствора 75° (Мм= 1,71). Сплошной

крупных частиц, точками — численные данные [16], штриховой линией— результаты эксперимента [16].

линией отмечены результаты расчета методом крупных частиц, точками — численные данные М. Рича [16], штриховой линией — результаты экспери­ мента [16]. На графике приведена также расчетная сетка (вычисления прово­ дились с использованием дробных ячеек [30]). Наблюдается хорошее совпа­ дение расчетных и экспериментальных данных.

6.Итак, рис. 5.5, 5.6, 5.15—5.24 иллюстрируют свойства течений и кар­

тину обтекания цилиндрического торца при 0 ,6 ^ 1 4 ^ 1 4 ,5 . Результаты закритического режима обтекания требуют, возможно, определенных уточ­ нений, однако общие характеристики течения можно получить уже отсюда. Отметим некоторые из них.

б) Из рассмотрения поведения линий тока следует, что при течениях с М „< 2 наблюдается срыв потока за угловой точкой цилиндра. Геометрические размеры срывной зоны при расчете на неизменной пространственной разност­ ной сетке зависят от величины скорости набегающего потока. При малых сверхзвуковых скоростях образуется возвратное течение (рис. 5.22), которое при М ю< 1 принимает форму вихря (рис. 5.21). Следует отметить, что вихрь дозвуковой и его скорость существенно меньше скорости потока в соседних (с вихрем) точках.

в) При закритическом обтекании (OJJ^J W^CI) на боковой поверхности торца образуется местная сверхзвуковая зона (рис. 5.15, 5.16), которая рас­ полагается на вихре (протяженность и интенсивность вихря также указаны на рис. 5.16). При длинах тела 1/R ~ 3-^-4 характеристики и протяженность указанной зоны, а также самого вихря стабилизируются, хотя и не проис­ ходит полного установления — наблюдаются периодические по времени не­ большие колебания (зоны «дышат»). При течениях с Л4оо< 0 ,7 обтекание ста­ новится чисто дозвуковым.

г) Приведенные выше сравнения с экспериментом, точными теоретиче­ скими данными, результатами других расчетов, а также с асимптотикой (§ 2 этой главы) показали хорошее согласие результатов и свидетельствуют о надежности полученных данных и закономерности физических предпосылок при постановке задачи.

§2. Асимптотика звуковых течений

1.Рассмотрим для плоских потоков асимптотику типа Овсянникова — Франкля в случае обтекания клиновидного профиля [77—79]. Аналитические выражения здесь можно получить лишь для одного (звукового) режима из трансзвукового интервала скоростей.

Пусть на клиновидный профиль ОАО набегает равномерный поток газа

сЛ4ое= 1, параллельный оси симметрии тела (рис. 5.26). Точка О носика про­ филя является точкой разветвления линий тока. Скорость потока вдоль об­ разующей ОА (переднего ската) возрастает от нуля (в точке 0) до критического значения (в вершине А). Точка А является звуковой, так как в противном случае непрерывность течения была бы нарушена.

Обозначив угол наклона вектора скорости к оси х через 0, запишем урав­ нения характеристик на плоскости течения в виде

Л. В. Овсянниковым показано [77], что характеристики I семейства, выходящие из любой точки звуковой линии, пересекают линию заднего ската AD только в вершине А. Ниже мы будем рассматривать предельную харак­

теристику I семейства, выходящую из точки А и встречающую звуковую линию в бесконечности.

горизонтальной компоненты скорости и0 вдоль оси симметрии; в) по­ ведение горизонтальной компоненты скорости tiQ вдоль звуковой

линии; г) поведение вертикальной компоненты скорости vc вдоль звуковой линии.

Из [77] также следует, что в области между звуковой линией С и предель­ ной характеристикой 3? происходит поворот потока на угол, равный половине угла наклона переднего ската. Этот поворот невозможен, если угол между передним и задним скатами профиля 0*< 0о/2. Поэтому неравенство

0 * > 0 о/2

является необходимым условием существования непрерывного обтекания со звуковой линией, уходящей в бесконечность (рис. 5.26, а). При этом течение газа в области Q, ограниченной передним скатом профиля ОА и предельной характеристикой 3 , определяется только формой передней части профиля и не зависит от условий, наложенных на сверхзвуковое течение за линией «£\

Перейдем к плоскости канонических переменных 0, ц, где

г\= —

134 ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТОРЦА И ПЛОСКОЙ СТУПЕНЬКИ [ГЛ. V

С. А. Чаплыгин показал [78], что потенциал скорости < и функция токаф на плоскости годографа удовлетворяют системе линейных однородных урав­ нений с частными производными первого порядка, причем коэффициенты в этих уравнениях зависят только от

В нашем случае плоскость канонических переменных аналогична пло­ скости годографа. Переходя в уравнениях Чаплыгина к независимым пере­

Функция ф в области Q должна удовлетворять ряду условий:

ф= 0 на оси симметрии; *Ф(—в, 'П)=—ф(0, т]);

фоо при стремлении ц -> оо вдоль ^ и С;

значения ф и ее первых производных конечны во всех точках и С (кроме бесконечно удаленной точки).

И, наконец, в качестве последнего условия используется «принцип Франк­ ля» [79], согласно которому функция тока, по сравнению со всеми осталь­ ными решениями уравнения (5.3), дает наибыстрейшее убывание скоростей возмущения на бесконечности.

Будем решать поставленную краевую задачу в приближенной постанов­ ке. Функцию £(т|) заменим постоянной В0—В (0). Тогда (5.2) примет вид

<Pt, = 5 0rrt>o,

(5.4)

Фе= — #оФп>

ауравнение (5.3) перейдет в уравнение Дарбу — Трикоми

Формулы перехода на плоскость течения х, у, согласно [77], имеют вид

йу = Ф (г|) sin В d<p+ 4 Cn) cos 0 di|>,

где функции Ф (TJ) и Т (г)) определяются из уравнений

Ф "(г))=2Ф (т,), Y (г|) = В 0Ф' (л),

при

Ф (0 )= 1 , Ф ' (0) = (х + 1 ) - 1/3.

Назовем главным членом решения точной задачи обтекания решение уравнения (5.5), удовлетворяющее перечисленным выше условиям для ф. Ф. И. Франкль [79] нашел главный член в виде

p=p(0, п) = + Y 0+ 4 ^13. 1=1(0, л)= 7 -

вает обтекание конечного тела. Впервые он был найден К. Г. Гудерлеем и С. В. Фальковичем [80, 81]. Подставляя (5.14) в (5.10) и пренебрегая всеми

Решение в случае 0 < £ < 1 /4 было найдено О. С. Рыжовым и Ю. Б. Лифшицем [82] — здесь в асимптотическом ряду (5.14) сохранялся еще один член /©,(£), который «исправляет» решение /Шо(£) для £=1/4. Поэтому в дальнейшем параметры ©0, п и функцию /сй0(£) будем считать заданными, соответствую­ щими задаче обтекания тела конечных размеров.