книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

При этом полагаем, что вся масса переносится только за счет нормальной к границе составляющей скорости. Например, уравнение неразрывности системы (3.1) в разностной форме можно записать так:

В цилиндрической системе координат разностная форма уравнения нераз­ рывности примет вид

P?.V ( /- 1 /2 ) Дга Дг=р?. / ( /- 1 /2 ) Дга Д г-Д М ?+1/2, у + Д М " _ 1/2>,—

— ДМ",/ +1/г + ДМ "; _1/г,

Знак < > обозначает здесь значения р и и на границе ячейки. Выбор этих ве­ личин имеет важное значение, так как сильно влияет на устойчивость и точ­ ность вычислений. Для всех видов записи АМ п характерен учет направления потока на данной границе, что повышает устойчивость вычислений.

*62 МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [гл. III

В противном случае ДМ"+»/2,/=0.

порядок вычислений: сначала на эйлеровом этапе находятся предварительные

значения скоростей и ио, а потом эти величины используются на лаграижевом этапе для расчета АМ п. Такая последовательность вычислений позволяет про­ водить устойчивый счет в целом лишь при условии устойчивости первого этапа, для чего в (3.4) вместо термодинамического давления р необходимо вве­ сти p+ q: Здесь q — искусственная вязкость, о которой речь шла выше.

Расчеты и аналитический анализ, приведенные в работах [1, 20—23, 29, 211, 218], показали, что формулы**) (3.12) совместно с (3.4) позволяют прово­ дить устойчивый счет и без введения явных членов искусственной вязкости, т. е. при <7=0. Устойчивость вычислений обеспечивается при этом внутренней структурой разностной схемы — наличием аппроксимационной вязкости***). Здесь также возможно без потери устойчивости использовать значения скоро­

стей на предыдущем временном слое tn (применение и и tT лишь несколько ускоряет сходимость), поэтому в данном случае мы можем сначала проводить лагранжев этап, а потом — эйлеров.

Таким образом, наиболее рациональная комбинация эйлерова и лагранжева этапов при реализации метода крупных частиц на электронно-вычислительных машинах средней мощности достигается при рассмотрении уравнения для

*) Аналогичная схема для этапа II используется в FLIC-методе [24].

**) В дальнейшем, для определенности, мы будем обращаться лишь к формулам для плоского случая.

***) Этот факт позволяет провести принципиальное обобщение метода крупных частиц на ^пространственно-трехмерные нестационарные задачи [213] (см. также § 2 гл. XII).

§ 1] ОПИСАНИЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ 6S

полной удельной энергии Е в системе (3.1) и использовании схем первого по­ рядка точности (3.4) и (3.12) *).

Возможна, естественно, комбинация различных подходов. Например, в областях достаточно гладкого изменения функции целесообразно применять формулы второго порядка точности (3.11), а на разрывах, при расчете областей со сложной структурой — первого порядка точности (3.12). Степень гладкости при этом можно определять, анализируя в каждой точке дифференциальные свойства численного решения. Для этого, в частности, достаточно сравнивать в полученном решении конечные разности последовательныхпорядков, на­ пример,

используются формулы второго порядка точности; в противном случае —

AMi±1/2, / = Pf±i, I Мч±1' j Ay At

или определять АМ п без учета направления потока

(ри)?+1/2. У= J (р?, у И"+1,У+ Р?+1.у и" ;;)

И Т. Д.

Однако такие подходы приводят к заметной неустойчивости вычислений всего цикла (например, в случае центральных разностей неустойчивость про­ является на волнах разрежения и т. д.).

г) Если использовать дискретную модель сплошной среды и рассматри­ вать в данной ячейке совокупность частиц фиксированной массы т , то в этом случае АМ п определяется как алгебраическая сумма масс всех (/Q частиц, пе­ ресекших за время At данную границу

АМ» = 2 т /.

К

В этом случае получаем консервативный метод частиц в ячейках, который позволяет изучать движение многокомпонентных сред^(§4 этой главы).

При конкретных расчетах в зависимости от характера рассматриваемого течения использовались различные формы аппроксимации эйлерова и лагран-

Здесь происходит перераспределение массы, импульса и энергии по про­ странству и определяются окончательные поля эйлеровых параметров потока на фиксированной сетке в момент времени tn+l—tn+At.

Как уже отмечалось, уравнения этого этапа представляют собой законы сохранения массы Л4, импульса Р и полной энергии Е> записанные для данной.

*) Во FLIC-методе [24] рассматриваются схемы первого порядка точности и используется выражение для внутренней удельной энергии 3 . Для обеспечения вычислительной устойчи­ вости необходимо введение в разностные уравнения явных членов с искусственной вязкостью. Это значительно усложняет численный алгоритм, особенно при) расчете обтекания тел с криьолинейной образующей, так как способы введения членов с вязкостным давлением для целых и дробных (граничных) ячеек различны. Систематические] расчеты по указанной методике нам. не известны. Достаточно полное изложение* и анализ данного подхода сравнительно с методом, крупных частиц содержатся в § 1 Приложения, а также в работе [218].

Тогда в методе крупных частиц окончательные значения параметров потока

.'р, X (и, о, Е) на новом временном слое tn+1= tn+ k t в декартовой системе коор­

.Вычислительный цикл, таким образом, закончен. Описание алгоритма метода крупных частиц проведено для целых ячеек — внутренних ячеек поля течения (со всех сторон окруженных жидкостью) и граничных ячеек (прилегающих к обтекаемому телу так, что его контур совпадает с границами ячеек). В случае же обтекания тел произвольной формы задача значительно усложняется — контур тела при этом пересекает прямоугольную эйлерову сетку, почему необ­ ходимо вводить в алгоритм дробные ячейки (см. § 3 этой главы). Практические расчеты показали, что использование здесь дробных ячеек дает гораздо боль­ ший эффект, нежели ряд других способов задания криволинейной границы тела (например, расчет в координатах s, /г, где s — длина дуги вдоль контура тела,

цикла, становится ясным, что в качестве исходной системы уравнений можно использовать как (3.1), так и (З.Г). Действительно, расчетные формулы на -лагранжевом (вычисление потоков массы) и заключительном (пересчет) этапах одинаковы в обоих случаях. Относительно эйлерова этапа проведем дополни­ тельные рассуждения.

При использовании дифференциальных уравнений Эйлера в дивергентном виде (3.1) мы делаем предположение, что на эйлеровом этапе поле плотности р заморожено, т. е. dp/dt=*0. При этом из уравнения неразрывности следует, что div(pW )=0. Тогда в уравнениях импульса и энергии р можно вынести из-под знака производных, а члены вида div(cppW), где ср=(1, и, v, Е),— отбросить. Но это и означает отсутствие потоков плотности массы, импульса и энергии через границы ячеек, что является предположением, выдвигаемым на эйлеровом этапе для уравнений движения в интегральной форме (З.Г).

Теперь проведем рассуждения в обратном порядке. Рассмотрим систему <(З.Г) в предположении отсутствия потока массы через границы ячеек. При этом

68 МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. Ill

правая часть уравнения неразрывности в (3.1') равна нулю, откуда следует,, что поскольку т(£) — произвольный объем, то dp/dt= 0. Мы получаем условие «замороженности» поля плотности р, в результате чего в уравнениях импульса и энергии можно вынести р из-под знаков интеграла и производных.

Таким образом, показано, что и на эйлеровом этапе рассмотрение системы (3.1) в предположении «замороженности» поля плотности эквивалентно рассмот­ рению системы (З.Г) в совокупности с предположением об отсутствии потока

где на основании схемы расщепления были получены разностные уравнения. Однако в работе [23] отмечалась возможность трактовки численных схем мето­ дов частиц с помощью локально-лагранжевых координат (метод частиц в ячей­ ках в [23] был описан именно с этой точки зрения). Следует отметить, что подобный подход — решение в локально-лагранжевых координатах — исполь­ зовал В. Ф. Куропатенко при расчете одномерных задач газовой динамики.

вокрестности точки U, *о, Уо• Если коэффициенты в (3.26) считать постоянными

иравными соответственно и0, v0, р0 и т. д., то уравнения в (3.26) станут линей­ ными. Введем лагранжевы координаты £, г|

т= t — t0.

Вэтих переменных система (3.26), приведенная к линейному виду, запишется следующим образом:

Легко видеть, что система уравнений газовой динамики в локально-ла­ гранжевых координатах (3.28) представляет собой укороченные уравнения (3.3), используемые на эйлеровом этапе нашего метода.

За время At расчетная точка сместится на

Ах = ы0Д/,

извести интегрирование системы (3.28) еще раз и т. д. Таким образом мы полу­ чим локально-лагранжеву разностную схему. В задачах, имеющих две (а тем более три) пространственные переменные, так проводить длительные вычисле-

крупных частиц по существу численно решается полная система нестационар* ных уравнений газовой динамики, причем каждый вычислительный цикл пред­ ставляет собой законченный процесс расчета данного временного интервала. При этом удовлетворяются все исходные нестационарные уравнения, граничные условия задачи и определяется действительное течение жидкости в соответст­ вующий момент времени.

Таким образом, метод крупных частиц позволяет получить характеристи­ ки нестационарных течений газа, а также — с помощью процесса установле­ ния — их стационарные значения. Использование такого подхода кажется особенно целесообразным в задачах, когда имеет место разнохарактерное раз­ витие по времени физического явления, например, при изучении трансзвуко­ вых потоков газа, расчете обтекания конечных тел и др., где при довольно быст­ ром установлении большей части поля структура течения в местных сверхзву­

и др.) [24, 47, 56], метод крупных частиц, разработка которого проводилась независимо от них с 1965 г., широко используется для систематических расчетов задач обтекания тел сжимаемым газом в широком диапазоне изменения началь­ ных данных (по единому алгоритму рассчитываются, как уже отмечалось, до-, транс- и сверхзвуковые задачи, области срыва, местные сверхзвуковые зоны и т. п.). В этом методе рассматриваются дивергентные формы исходных и раз­ ностных уравнений; используется энергетическое равенство для полной энер­ гии Е ; по-новому трактуются этапы вычислительного цикла, граничные усло­ вия задачи и др. Так, например, для определения потока массы ДМ" здесь применяются разностные представления различных порядков точности; на заключительном этапе вводится дополнительный пересчет плотности (что спо­ собствует устранению флуктуаций и позволяет получить удовлетворительные результаты при сравнительно небольшом числе узлов расчетной сетки); имеет место выполнение законов сохранения массы, импульса и полной энергии и т . и. Все это дает возможность получить в методе крупных частиц, в отличие от упомянутых выше подходов, дивергентно-консервативные и диссипативно­ устойчивые схемы.

Схемы метода крупных частиц позволяют на машинах средней мощности для большого класса газодинамических задач проводить устойчивый счет без введения явных членов с искусственной вязкостью. Это кажется особенно важным для многомерных задач* газовой динамики, пр,и изучении обтекания тел с кри­ волинейной образующей, так как способы введения искусственной вязкости по разным направлениям, а также в целых и дробных ячейках различны. Кроме того, путем изменения лишь второго этапа вычислительного цикла от­ сюда можно получить консервативный метод частиц в ячейках, так что алго­ ритм расчета является достаточно общим.

Отметим в заключёние этого параграфа некоторые физические аспекты метода.

Вводя в рассмотрение время и крупную частицу (лагранжев объем — массу дискретной ячейки), удается придать методу и самому процессу рас­ щепления каждого временного шага определенную физическую наглядность и аналогию с реальным экспериментом при изучении газодинамических те­ чений.

На первом (эйлеровом) этапе временного цикла, где для мгновенно затор­ моженной жидкости пренебрегают эффектами перемещения, мы находим зна­ чения газодинамических параметров самой жидкости. Они будут определять­ ся только силами давления, для чего можно воспользоваться соответствующи­ ми дифференциальными уравнениями идеального газа в локально-лагранже.