Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

22.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ВЯЗКОСТНЫЕ ЭФФЕКТЫ	9 1
аппроксимации, однако максимально возможный порядок	аппроксимации

на решении оценивается, как известно, в предположении достаточной глад кости решения и для асимптотически мелких сеток [328].

Для случая линейных устойчивых схем, как отмечает А. А. Самарский в [63], погрешность схемы непрерывно зависит от погрешности аппрокси мации, так ^что погрешность аппроксимации определяет точность схемы. Для нелинейных уравнений (например, для уравнений газовой динамики) такого типа оценки отсутствуют — до сих пор нет, в частности, доказательства устойчивости какой-либо из нелинейных разностных схем для полной системы уравнений газодинамики. Поэтому здесь критерий аппроксимации играет в значительной степени формальную роль и может давать неправильное пред ставление о точности схемы ввиду наличия сильных разрывов [372].

Сравнение схем по порядку точности имеет смысл проводить лишь при достаточно малых шагах расчетной сетки h и т (при этом более высокая степень шага умножается на максимум производной решения более высокого порядка). Практически же используются достаточно крупные расчетные сетки, на которых асимптотические оценки могут быть не состоятельны. Таким образом, может оказаться, что схема первого порядка точности на реальных сетках точнее схемы второго порядка точности [63] и т. д.

§2. Вязкостные эффекты

1.Как уже отмечалось, в рассматриваемом подходе применяются одно родные разностные схемы, позволяющие проводить по единым алгоритмам устойчивый сквозной счет как в областях гладких течений, так и на разрывах.

Вподходах такого типа в разностных уравнениях обязательно присутствует некий механизм диссипации, обеспечивающий сглаживание (размазывание) разрывов. В нашем случае это достигается путем использования конечно разностных схем с аппроксимационной вязкостью (а. в.). Остановимся коротко на этом вопросе.

Вкачестве исходных уравнений использовались уравнения газовой динамики для невязкого газа, однако нашей разностной схеме присущи и вязкостные эффекты. Они могут быть обусловлены, во-первых, введением в

схему явного члена с искусственной вязкостью (псевдовязкости) q, и, во-вторых, наличием собственно схемной (аппроксимационной) вязкости, порождаемой самой (структурой разностных уравнений.

Прежде чем рассматривать конкретный механизм диссипации наших

схем, коснемся некоторых теоретических аспектов в этой области.

2. Математическое обсуждение общих вопросов, связанных с построением конечно-разностных схем с аппроксимационной вязкостью для одномерных уравнений, проводится, например, в [27, 61, 64—65, 229, 235]. Применительно к схемам метода крупных частиц исследования в этой области содержатся

в работах [216—221, 345—353].

Поясним здесь на модельных примерах некоторые простые свойства и терминологию, связанную с понятием аппроксимационной вязкости. Ограни чимся, следуя [27], рассмотрением гиперболической системы

(4.10)

где А — постоянная действительная матрица с различными вещественными собственными значениями £= £ь *= 1, 2, . . ., п.

Переходя к инвариантам, получим систему

п.

9 2

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ

[ГЛ. IV

Дисперсионное уравнение системы (4.10) имеет вид
(со +	ih k) (со +	il2k) . . . (со +	ilnk) = 0 ,
откуда следует, что гармоники		соответствующие корням 1и		.,
не затухают с течением времени, так как для гиперболической системы
Reco/ (k) = 0 ,	\| pf-1= 1 •	рI = e 0)^,	i = 1, 2, ...» п.
Пусть
Л	« = ( - ^ -	+ Л 1Г 0+ Л 0)ы = 0,		(4.11)

где Т 0 — оператор сдвига, есть разностная схема, соответствующая исходной гиперболической системе (4.10).

Будем говорить, что эта схема обладает аппроксимационной вязкостью, если

\|\|р(]<1	при	k=fc0,	(4.12)
\|р \| = 1	при	&=0, р =ей)(т’

где со(т, ft, k) — решение дисперсионного уравнения для схемы (4.11). Таким образом, для схем, обладающих аппроксимационной вязкостью,

амплитуда гармонического решения затухает с течением времени. Известно, что аналогичным свойством обладают решения дифференциальных уравнений параболического типа. Таким образом, разностное уравнение (4.11), аппрок симирующее гиперболическое уравнение (4.10), при выполнении указанных выше неравенств (4.12) обладает диссипативными свойствами.

Например, для уравнений акустики в схеме бегущего счета
			Т0- 1	r h Д,Д_ 1			пч Д1+ Д-1
<	Г"?'	II	т	^ 2	/I2	То-1		2/i	h AJA .J		(4.13)
<	Г"?'	II	Д1+ Д-i			То-1		-С	h AJA .J		(4.13)
имеем				2/i			т	-С	2 /12
имеем						k	0,
			1рх1=! Рг \| <		1»	k	0,		X < 1,
	о		\|Р х \|= \|	Р « \|= 1 .		k = 0 ,			к < 1,
	о		\|р .\|= \|	р2\| =	U	k — любое,			х = 1,
а в схеме крест			\|р .\|= \|	р2\| =	U	k — любое,			х = 1,
а в схеме крест				То-1		а2 А- i		с: ) = ° -
				То-1		а2 А- i
		Л- ( H ) -		о гНIМ <\| Ь»		“	h				(4.14)
		Л- ( H ) -		о гНIМ <\| Ь»		То-1					(4.14)
				h		Т
PI =IP2\| = 1, k — любое, х < 1 , где * = —							; Т — оператор			сдвига,	T(h)u(x)=
= u (x + h ),
		А		A_t = / — Т _ г, А0 = Т 0— /.
Отсюда видим, например, что схема бегущего счета имеет аппроксимаци
онную вязкость		при	х < 1 , в то время			как схемы			крест	при х ^ 1	и бегущего
счета при х = 1 аппроксимационною вязкостью не обладают.
Рассмотрим схему бегущего счета (4.13) более подробно. Можно показать,,
что она эквивалентна схеме
			rm + l _Гт			а	Д _\Ггп	0,
				Т		а	Д _\Ггп	0,
				Т			h				(4.15)
			$1» +1_sm			а	Д^"*	0.1			(4.15)
				т		а	Д^"*	0.1
				т			h

§2] ВЯЗКОСТНЫЕ ЭФФЕКТЫ 93

	Каждое из этих уравнений аппроксимирует соответствующие гиперболи*
ческие уравнения в				инвариантах
			4 г + а 1 7			= 0	или	{&>o + a ® i ) r = O t
			ds		ds	~		(4.1б>
							или	(&)0— ag)i) s = О,
			а? а 1 х = 0
где	г= и —aVj		s=u+av.
ряд	Ограничимся анализом первого разностного уравнения (4.15) и отметим
	его	свойств.
	I.	Разностная схема (4.15) является монотонной, т. е. ее решение обла
дает свойством монотонности (монотонный профиль rm(x) переходит в моно*
тонный		профиль rm+1 (я))			и	асимптотически ведет себя как решение не*
которого параболического					уравнения.
	Например,		разрывные			начальные
данные		(«полочка»)		(рис.	4.1)
			_ П ,	х: < 0 ,

, w	10, * > 0 ,

на m-м шаге «размазываются» и имеют вид кривой r f (х).

Сглаживание разрыва является ре зультатом действия аппроксимационной вязкости. Здесь мы имеем полную анало гию со сглаживанием начального разры

ва в задаче	Коши для параболического
уравнения			/А «„V
dr ,	дг	д2г	/А «„V
1 Ч + а ~дх~~Ь		Т*2 '

-т-1 -т

Рис. 4.1. «Размазывание» начального разрыва при расчете по монотонной схеме..

где коэффициент		b2 характеризует	«вяз
кость» (см. (4.18)).
II.	Можно также показать [27], что оператор решения разностного урав
нения (4.15) асимптотически совпадает с оператором решения параболиче
ского дифференциального уравнения (4.17).				(4.15)
Таким	образом, разностное		уравнение
		fin- 1 __ ftn
			- а ^ г —= 0
аппроксимирует		параболическое	уравнение	(4.17)
		д г	д г	av
		d t	д х 2

на решениях и £ С 3 исходного уравнения (4.16)

дг , дг ~

1 Г + а аГ = 0

с точностью до величин порядка та, hа. Поэтому с точностью до величин вто рого порядка малости можно говорить, что разностная схема (4.15) добавляет

кисходному гиперболическому уравнению (4.16) «вязкость» Ь2'д2г/дх2.

III. Следует отметить, что дифференциальное параболическое уравнение* (4.17) может быть формально получено из первого разностного (4.15) путем!

разложения последнего в ряд Тейлора по сеточным параметрам. Действительно, оператор уравнения (4.15)

Тп-1	Д - i	1—ehSb1
		k
т	т

94	ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ				[ГЛ. IV
разлагается в		ряд Тейлора	по т, А с точностью до членов	второго	порядка
■малости
		A	~ай3>2+ 0 ( т 2, ft2).
После этого, выражая @)0 из уравнения (4.16) через ^2>0= —				и подставляя
в разложение,		получим уравнение, аналогичное (4.17):
			S=°-		(418>
где	вязкость	выражается	следующей формулой:
		Ъ2 = ^-аА (1— к), и= ат/А .

Уравнение (4.17) и называется первым дифференциальным приближением разностного уравнения (4.15). Параболичность уравнения (4.17) обусловлена наличием члена с аппроксимационной вязкостью в правой части.

Отмеченные здесь три свойства уравнений с аппроксимационной вязко

стью представляются важными:
—	из с в о й с т в а		I (монотонность решения) вытекает, что указанный
тип схем не нарушает характера поведения решения исходного дифференци
ального уравнения;
—	с в о й с т в о II		показывает, что аппроксимационная вязкость порож
дается самой разностной схемой, причем асимптотически операторы решения
разностного уравнения и соответствующего параболического дифференциаль
ного приближения		совпадают;
—	и, наконец,	из	с в о й с т в а III следует формальный способ полу
чения	соответствующего дифференциального приближения — путем разложе

ния разностного оператора в ряд Тейлора по сеточным параметрам.

3. Выпишем теперь (для простоты в одномерном случае) первое диффе ренциальное приближение нашей разностной схемы, которое и определяет ее вязкостные эффекты. Представим, например, сеточную функцию и?+1 как функцию и (х + Ах, t) с необходимой степенью гладкости и разложим каждый член конечно-разностных уравнений в ряд Тейлора по сеточным параметрам

в окрестности точки (х, t).

Тогда при вычислениях потока массы ДЛ4 по формулам второго порядка точности (3.11) получим в одномерном случае (члены второго порядка малости

-здесь и в следующей формуле опускаем)
	i L + ^ , 0 + l,4<.
^	+ £ ^ _ _ £ + £ ( p . £ ) + W ,,	(4.19)
		(4.19)

¥ + £ [ « < р + р Е >] — - r + i^ D + b * .

а при использовании формул первого порядка точности (3.12) будем иметь

dp	,	д	р	д /	dp \	. t*A/
d t	"И	дх	^	\	дх )	*1	1
Т +					+		,4.20)
¥ + & [« ( , + »£>] — £ + £ ( « $ ? ) + К * .
где е== 2"\и \^ х — коэффициент		аппроксимационной					(«эффективной»)] вяз

кости; l it % (/= 1, 2, 3) — временные члены первого дифференциального при- *ближения.

§21	ВЯЗКОСТНЫЕ ЭФФЕКТЫ		9 5
Аналогичным образом	выписывается дифференциальное		приближение-
и для двумерных задач.
На режимах, близких к установлению, члены с		в (4.19) и (4.20) малы,
и мы их здесь не будем учитывать (обычно Д/<^Дх).		Практика	подтверждает

правомочность такого упрощения для данного класса задач, хотя для строгогопостроения первого дифференциального приближения необходимо учитывать все компоненты матриц.

Слева в (4.19) и (4.20) мы получили точные выражения исходных диффе ренциальных уравнений; справа выписаны члены, которые являются след ствием наличия вязкостных эффектов в разностных уравнениях. Члены с q

возникают из-за явного введения искусственной вязкости, а члены с е опреде ляют собственно схемную вязкость, возникающую из самой структуры построе ния численной схемы при замене точных дифференциальных уравнений конечно-

разностными (остаточные члены разложения).

Легко видеть, что при измельчении сетки (Ах -> 0) значение s -> 0, и уравнения дифференциального приближения переходят в точную систему исходных уравнений. При конкретных вычислениях (из-за конечности Д£, А*, .) в разностной схеме такого типа даже при q= 0 неявным образом всегда присутствуют члены, которые содержат е и, в свою очередь, аналогичны диссипативным членам уравнений Навье — Стокса [385 и др.] (диссипативныеразностные схемы). При этом роль коэффициента реальной вязкости v здесь играет коэффициент аппроксимационной вязкости е, зависящий от локальной скорости потока и размера разностной сетки.

Происхождение этих эффектов можно выяснить из рассмотрения схемы расщепления [392] и расчета движения квантов потока жидкости (крупных частиц). Из самого процесса организации вычислений на лагранжевом этапе видно, что когда квант потока пересекает границу ячейки, то он переносит с собой определенные доли массы, количества движения и энергии, которые добавляются к соответствующим величинам в новой ячейке. Последующее вычисление новых удельных величин приводит к изменению массы, импульса и кинетической энергии жидкости в этой новой ячейке и, соответственно, к изменению ее внутренней энергии. Так осуществляется здесь приближенноемоделирование процесса обмена, что и порождает явления переноса (диффузию,

вязкость,	теплопроводность).
В двумерном случае для формул (3.11) дифференциальные приближения!
имеют такой вид (с точностью до порядков О (At, Ах2)):
				g + d iv (p U O = 0 ,
	Ж	+	Шv (РuW) + % = I		( РвS ) + 1 ( Р» \| )					’
	£	+	d v	( p o W	) +	S	J	-	£ (	•	(4.’П
Ж	+ div {pEW) +			diV (PW) = Гх ( P8*		! )	+	\|	( ре» Ту) •

где гх = у | и| Ах, гу = у | v | Ау — коэффициенты аппроксимационной вязкости.

Из уравнений импульса следует, что схемная вязкость (при <7=0) имеетвид тензора

ди ди

•96	ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ	[ГЛ. IV
	Отсюда видно, между прочим, что аппроксимационная вязкость, благо
даря	присутствию векторов Дг и W (ut v), не обладает инвариантностью от

носительно преобразований Галилея. Практически проявляется она лишь в зонах больших градиентов: на ударной волне, у поверхности тела, при срыве потока и т. п. При этом коэффициент схемной вязкости (а следовательно, и ширина получаемой «размазанной» ударной волны) зависит от величины ло кальной скорости потока и размера ячеек. В областях же гладкого течения,

.где градиенты параметров потока сравнительно малы, влияние схемной вяз кости незначительно.

Неинвариантность аппроксимационной вязкости относительно преобра зований поворота может привести, вообще говоря, к большим погрешностям три расчете, например, сферических сходящихся течений [13] и др. В этом проявляется один из недостатков, который имеет место в любой расчетной схеме в представлении Эйлера. Если в результате вычислений происходит искажение реальной картины течения (что, видимо, можно установить путем сравнения с экспериментом), то величину схемной вязкости, как предлагает Харлоу, следует вычитать на эйлеровом этапе [3].

Как будет показано ниже, в одних случаях (использование для вычисления АМ п формул первого порядка точности (3.12)) схемная вязкость обеспечивает устойчивый счет без введения явного члена с псевдовязкостью q; при исполь зовании же формул второго порядка точности (3.11) в областях, где значение местной скорости мало по сравнению со скоростью звука, для получения устойчивого решения требуется введение члена с q.

Отметим, что схемы метода крупных частиц и FLIC-метода [24] имеют „различные дифференциальные приближения. Для сравнения выпишем анало гичным образом, например, первое дифференциальное приближение по Ах и нулевое по At FLIC-метода

(4.20')

Сравнивая (4.19) и (4.20) с (4.20'), можно видеть, что вследствие различия дифференциальных приближений методов крупных частиц и FLIC свойства их разностных схем, вязкостные эффекты, а следовательно, и структура устой чивости будут различны.

4. Наличие аппроксимационной вязкости в конечно-разностной схеме 'придает, как уже отмечалось, получаемому решению диссипативные свой ства, что и позволяет проводить по единым алгоритмам устойчивый сквозной счет без выделения особенностей. Вязкостные эффекты приводят к размазы ванию ударных волн (даже при <7= 0) на несколько счетных ячеек, у тела об разуется сравнительно широкий пограничный слой, за угловой точкой при определенных режимах обтекания наблюдается срыв потока, образуется вих ревая зона и т. п. При правильной постановке задачи на границах области размыва должны выполняться соответствующие условия разрыва (например, условия Гюгонио для ударных волн), причем при е -> Озона размыва

.должна асимптотически переходить в поверхность разрыва.

На рис. 4.2 приведены профили плотности р за ударной волной на линиях *г=const перед цилиндрическим торцом (М00= 2). Сплошные линии соответст вуют решениям по разностным схемам со вторым порядком точности для ДМ'1,

§3]

УСТОЙЧИВОСТЬ СХЕМ

дифференциальные приближения которых имеют вид (4.19), пунктирные — решениям с первым порядком точности для ЛМп (здесь дифференциальные приближения имеют вид (4.20)). Видно, например, что для (4.19) сразу за ударной волной возникает существенная неустойчивость (устойчивость вы числений достигается здесь путем введения в схему явного члена вязкостного

руют решение, а введение q лишь способствует большему размытию ударной волны.

В § 4 этой главы мы более подробно изучим структуру матриц аппрокси мационной вязкости.

§3. Устойчивость схем

1.Рассмотрим теперь вопросы устойчивости приведенных схем. Естест венно, что возможны различные формы записи разностных уравнений на этапах расщепления временного цикла. Однако в ряде случаев возникает сильная неустойчивость вычислений — появляются быстрорастущие и ос циллирующие решения, которые уже не отражают поведения решений исход ных дифференциальных уравнений. Для устойчивости вычислительного про

цесса необходимо, чтобы возникающие при расчете малые возмущения затухали бы с течением времени.

Приведенные выше разностные схемы являются многослойными, а раз ностные уравнения — существенно нелинейными с переменными коэффициен тами. Это делает практически невозможным использование для анализа устой чивости всей схемы в целом метода Фурье, применяемого, как известно, для исследования линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Фурье по существу предполагает линеаризацию уравнений в окрестности течения с постоянными параметрами и не учитывает нелинейных эффектов (влияние градиентов течения), которые в ряде случаев являются истинными источниками неустойчивости.

Здесь используется поэтому эвристический подход анализа устойчивости разностных схем, основанный на рассмотрении параболической формы их

98 ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV

дифференциальных приближений и пригодный для нелинейных уравнений [25„ 62]. В этом подходе оценивается знак коэффициентов <xt (коэффициентов диф фузии) у диссипативных членов дифференциального приближения, содержа щих частные производные второго порядка по пространственным переменным. Можно показать на линейном уравнении, например, что при отрицательном значении этого коэффициента уравнение дифференциального приближения допускает экспоненциально возрастающее по времени (неустойчивое) решение.

Таким образом, в качестве оценки критериев устойчивости нелинейных схем (хорошо подтвержденных на практике) здесь используется условие поло жительности коэффициентов диффузии у диссипативных членов соответст вующего дифференциального приближения *). Для широкого класса линейных разностных схем результаты анализа устойчивости с помощью дифференци

ального приближения и метода Фурье полностью совпадают.			устойчивости на
2.	Продемонстрируем вначале технику исследования
простом линейном уравнении, где можно сравнить результаты анализа, полу
ченного методом Фурье и с помощью дифференциального приближения [25].
Рассмотрим уравнение, описывающее процесс конвекции			и диффузии
для функции и(х, t).
	ди , ди	д2и	/>1 o i\
	dt + c Tx = v W>'		<4 -21>

где скорость конвекции с и коэффициент диффузии v предполагаются постоянными. Простейшая разностная схема для (4.21) имеет вид

" 2 Д ^ ( ^ ? + 1

W7 - l ) " Ь Д д ;2 ( W/ + l

2 U y “ [ - W y _ 1) .

(4.22)

Заметим, что в разностном уравнении (4.22) возмущения распространя ются в области, ограниченной линиями

	dx _			Ах		(4.23>
	dt ”		±	At	*

Используя метод Фурье,	представим				uf в виде
	и*} = r nexp (ikjAx)
и, подставив в (4.22), получим выражение для г. Отсюда видим,						что \|г\|< 1
для всех k (условие устойчивости),		если
^	< 1	,	v	>	I C‘A/.	(4.24).

Обратимся теперь к методу дифференциального приближения. Для этого представим каждый член разностной схемы (4.22) как непрерывную функцию х и t (например, и?+1= и (х+ А х, t) и т. д.) и разложим ее в ряд Тейлора отно сительно точки (лг, t) [62]

ди . ди	д2и . 1 д J д2и	. с . . 1ЧЬ/	с \1 dku
m + cirx-	vw > + T Atw = Е - т г п	Lv+T + (- 1>*(v “	T )la3 r-
	k —3
		— yb -l ^ f l	(4.25)
		W ’	Ьх-

Члены нулевого порядка в (4.25) (нулевое дифференциальное приближе ние) представляют исходное уравнение (4.21), причем (4.25) переходит в (4.21), когда At и Ах стремятся к нулю.

*) Условие положительности диагональных элементов матрицы аппроксимационной вяз

кости используется во многих подходах в качестве критерия устойчивости (обзов оабот содер жится в 1217]). ' н и

§ з]	УСТОЙЧИВОСТЬ	СХЕМ	99
Разложение	с точностью до первого	ненулевого члена	—

.выражение слева в (4.25) — является здесь первым дифференциальным при ближением исследуемого разностного оператора, а соответствующее уравнение

Дt д2и . ди . ди	д2и	0	(4.26)
"2- ■ W + J t + CK	- V d? =

— первым дифференциальным приближением разностного уравнения (4.22). Член с A t в (4.26) делает это уравнение гиперболическим, поэтому (4.26)

в называется гиперболической формой первого дифференциального приближения

{Г-формой п. д. п.) [27].

Заменяя ^ на А ^		путем		использования			исходного уравнения (4.21)
	■dftt	о д2и	0	дйи	,	9 д*и .	^ / . л
	dt2	с* №	2vt Ш		v	дх* +	О (А/),
получим	параболическую	форму		первого		дифференциального приближения
{П-форму	п. д. п.)

где в А входят члены первого порядка по сеточным параметрам, не содержащие

д 2и/дх2.

Напомним, что в (4.22) возмущения распространяются вдоль линий (4.23). Наклон же характеристик (4.26) имеет такой вид:

d x _ ,	/2 v \ 1/2
d t ~ —	\A i )

Если разностное уравнение (4.22) имеет решение, аппроксимируемое решением п. д. п. (4.26), то область влияния последнего должна содержаться в таковой для (4.22), т. е.


2v	/А х\ 2
A t ^ \ A t )
-что совпадает с первым усло
вием устойчивости (4.24).
Необходимое для устойчиво
сти численного		решения		взаим
ное расположение областей влия
ния (4.21), (4.22) и (4.26)				пока
зано на рис. 4.3, а. При измене
нии этого расположения				устой
чивость нарушается (рис. 4.3, б).
Пунктирная	линия здесь			соот	Рис, 4.3. Взаимное расположение областей влияния
ветствует разностному			уравне		для устойчивого (а)		и неустойчивого (б) решений.
нию, штриховая—первому диф					..........	разностное	уравнение, --------------- первое
ференциальному		приближению.				дифференциальное приближение.
Таким образом,		первое	условие		как	условие расположения соответствую
устойчивости	находится			из (4.26)	как	условие расположения соответствую

щих областей влияния точек в решении.

Второе условие (4.24) получается из рассмотрения параболической формы первого дифференциального приближения (4.27), где появился добавочный диффузионный член. Когда коэффициент диффузии при д2и!дх2 отрицателен, решение (4.27) возрастает экспоненциально во времени. Для устойчивого

1 0 0

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ

[ГЛ. IV

решения необходимо иметь положительное значение коэффициента диффузии» уравнения (4.27), т. е.

у б '2дг,

что и представляет собой второе условие устойчивости (4.24). Физическийсмысл этого неравенства' заключается в согласии численного решения, соот ветствующего исследуемому процессу, со вторым началом термодинамики.

Итак, условия устойчивости (4.24) для схемы (4.22) получены путем рас смотрения параболической формы первого дифференциального приближения^ (4.27) разностного уравнения и характера зависимости областей влияния. Нарушение этих условий немедленно приводит к неустойчивым (экспонен циально возрастающим и осциллирующим) решениям.

3. Как уже отмечалось, исследование устойчивости с помощью первогодифференциального приближения для гиперболических систем уравнений проводили Н. Н. Яненко, Ю. И. Шокин и др. [13,27, 59—61, 64—65, 235]. Приведем здесь ряд теоретических результатов Н. Н. Яненко и Ю. И. Шо хина, следуя работам [13, 61, 235].

В случае разностной схемы
ып+1 W = 2 B a U ',(JC+TXa)>	(4-28)
a

аппроксимирующей гиперболическую систему дифференциальных уравнений в частных производных

(4.29)

к = \

гиперболическая и параболическая формы первого дифференциального при ближения уже выписывались и имеют, соответственно, вид:

(Г-форма	п.д.п.):	J	=	£	Pj k ^ r k+ N ,		(4.30>
				/.*= 1
(П-форма	п.д.п.):	\|	=	£	CJh(x, 0	+ £	Лу (*, t)§ ~ , (4.31>
где				У\А=1		/= 1	1
где

				* ~	4 ( - g + i
	a				\	j= \	J /
	DA X,		t)	+
	CJkix,
A k (x, 0» £ a (*» 0 — вещественные m X m					матрицы, x£ 3L si t=nr;			(A^,
. .	, Д4) — векторы смещения,			u (x, t) — вектор-функция			с m	компонентами.
При	этом предполагается,		что	разностная		схема имеет первый порядок точ
ности и, следовательно,		выполнены следующие условия совместности:
	2 В а =	Л	% К В а = А к			(А = 1........ S),
	а		а

где / — единичная матрица.

Систему уравнений (4.31) назовем неполной параболической в точке (х°г t°)y если при всех вещественных шь ., со^ (сумма квадратов которых равна)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги