книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

о

W

Н

гя

*

>

Д

Д

И

*

о

д

m

Л

д

Е

X

н

w

й

0 Q

Е

ш

1

д

о

н

о

*

>

рактер.

В реальных потоках всегда присутствуют достаточно сильные физические возмущения (неоднородность набегающего потока, разная степень шерохова­ тости различных сторон обтекаемого тела и т. д.), которые приводят к ярко

весьма мала. Эти теоретические рассуждения подтверждаются расчетами.

фили плотности вдоль нулевой линии тока для тех же значений хг и т2. Уста­ новление в каждом случае достигалось с точностью до 0,3%. Видно, что вблизи поверхности тела данные практически совпадают. Максимальное различие,

*) Расчет обтекания кругового цилиндра при дозвуковых’скоростях показал, что наличие несимметричного возмущения приводит к образованию устойчивого нестационарного периоди­ ческого режима течения аа кормой тела (типа «дорожки Кармана»).

наблюдаемое на ударной волне («пик» плотности), составляет менее одной счет­ ной ячейки сетки. Примечательно, что достаточно точно описывается и течение

вследе за телом.

4.Для определения вязких структур разрывов и зон смешения расчетные характеристики срывных зон могут быть уточнены. Для этого полученные данные используются в качестве исходных для алгоритмов, построенных на базе уравнений Навье — Стокса. В этом отношении заслуживают внимания построенные Ю. М. Давыдовым с помощью метода крупных частиц разностные схемы для уравнений Навье — Стокса с механизмом диссипации, определяе-

го обтекания конечного цилиндра (v = l) с различными шагами по временит (Д/ и Дх

+ |( В - з + » - ) ] } .

£=5+y(«a+H2).

Рис. 7.39. Профили плотности вдоль нулевой линии тока при расчете сверхзвукового обтекания конечного цилиндра (Моо=2,0, v = l) с раз­ личными шагами по времени т (Д? и Дх безразмерны).

Как следует из анализа дифференциальных приближений, целесообразно в уравнении энергии использовать только что полученные на эйлеровом этапе

196 ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ СО СРЫВОМ ПОТОКА 1гл. VII

Таким образом, возможно проводить следующий численный эксперимент: после того как было получено решение для уравнений Эйлера по схемам с ап­ проксимационной вязкостью и течение сформировалось, «включалась» схема с молекулярной диссипацией (полученная для уравнений Навье — Стокса) и счет продолжался до нового установления. Как и следовало ожидать, реше­ ние в гладких областях практически не изменялось, но в то же время происхо­ дило уточнение структур отмеченных выше особых зон больших градиентов (ударной волны, слоя смешения и т. д.). Указанный подход кажется оправдан­ ным и при исследовании затухания (вырождения) турбулентности на вязком (диссипативном) интервале движения.

Некоторые результаты такого численного эксперимента по расчету тече­ ний с молекулярной вязкостью приведены на рис. 7.40—7.42, где показаны профили плотности р и числа Маха М при обтекании вязким сжимаемым газом затупленного тела. Сплошные линии соответствуют течению без молекулярной вязкости, пунктирные — с ее учетом. Параметры вязкого потока задавались следующими: Моо=2,0, v=0, р=0,01, Л = —0,67, £=2,15. Им соответствует число Рейнольдса Re=100. Направления, по которым приведены газодинами­ ческие профили, показаны на рис. 7.40 штриховыми линиями, проведенными через центры соответствующих расчетных ячеек.

На рис. 7.41 изображены графики изменения плотности р (рис. 7.41, а) и числа Маха М (рис. 7.41, б) вдоль линии M N (/=1, i= 1 -f- 30) — оси сим­ метрии. Здесь i обозначает номер ячейки вдоль оси x, j — вдоль оси у; расчеты

сжимаемым газом.

проводились на сетке 40x58. На последующих фигурах приводятся профили плотности р: а) по горизонталям: PQ (i= l -г- 58, /=15) — непосредственно над обтекаемым телом, рис. 7.42, а\ RS ( i= 1 -г- 58, /=30) — внутри расчетной области, рис. 7.42, б; TF ( i= 1 -^58, /=40) — на верхней границе рассчиты­ ваемого поля, рис. 7.42, в\ б) по вертикалям: NG (i= 30, /= 1 -т- 40) — передтелом, рис. 7.42, г; FQ (i=58, /= 15 -т- 40) — на правой границе расчетной об­ ласти, рис. 7.42, д.

Следует отметить, что по предложенной разностной схеме метода крупных частиц для уравнений Навье — Стокса можно проводить счет от достаточно произвольных начальных данных, в том числе и от первоначального невозму­ щенного плоскопараллельного потока. Однако при этом время счета будет больше, чем в описанном выше варианте численного экспериментирования.

5. Итак, мы видим, что наш численный эксперимент (при ^ > 1 ) , постро­ енный на основе нестационарной модели Эйлера с приближенным механизмом диссипации, отчетливо указывает на образование за «плохообтекаемыми» те­ лами стационарных циркуляционных срывных зон «турбулентного» типа

Рис. 7.41. Профили плотности и числа Маха в окрестности оси симметрии, ^„,= 2 ,0 , р=0,01 (пунктир) и |А=0 (сплошная линия).

(рис. 7.17—7.36). Эти зоны в сжимаемом случае являются замкнутыми, локали­ зуются за кормой тела и ограничены от внешнего течения линией «непротекания» — контактной поверхностью. Далее вниз по потоку наблюдается обра­ зование спутного следа. Как уже отмечалось, поток внутри зоны существенно дозвуковой и достаточно разрежен.

Во всех рассматриваемых задачах происходило устойчивое формирование течения в целом (наблюдалось устойчивое нестационарное движение); при этом размеры и общие характеристики срывных зон как в сжимаемом, так и в не­ сжимаемом случаях хорошо согласуются с экспериментом и качественной тео­ рией (рис. 7.4, 7.9) *); на границах — контактных поверхностях — удовлетво­ рялись краевые условия задачи (равенство давлений) для срывных зон в пре­ дельных течениях (когда Re оо); отрыв потока на теле (сфере, круговом ци­ линдре) во всех рассматриваемых вариантах происходил при ср~110—120° (угол ф отсчитывался от передней критической точки); при расчетах на раз­ личных сетках аппроксимации с большим запасом вычислительной устойчиво­ сти размеры и параметры этих зон изменялись незначительно (имела место сла­ бая зависимость положения точки отрыва, центра и размера вихревой зоны от величины аппроксимационной вязкости и т. п.— рис. 7.27—7.28 и 7.33—7.36); наблюдалась слабая зависимость результатов от величины шага по времени (рис. 7.38, 7.39); процесс расчета — численный эксперимент — хорошо отра­ жал нестационарную специфику явления (наблюдались плавные колебания — «дыхания» — зон) и т. п.

*) Расчеты течений сжимаемого газа в донной области отчетливо указали на реализацию схемы типа Чэпмена (рис* 7.9) с образованием замкнутой зоны возвратно-циркуляционного дви­ жения.

$2l РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ СО СРЫВОМ ПОТОКА 199

ц Приведем здесь также некоторые оценки самого физического явления в дон­ ной области, что позволит более отчетливо представить себе характер рассмат­ риваемого движения и соответствующую модель для предельного режима. Из экспериментальных и теоретических исследований [110—112, 1601 известно, что положение точки отрыва на поверхности тела слабо зависит от числа Рейнольдса (для кругового цилиндра или сферы, например, из упомянутых вы­ ше экспериментальных исследований в несжимаемой жидкости [112] следует, что для сверхкритических режимов обтекания при Red> 1 0 5—2-105 величина угла отрыва фОтр~110°) *).

Как отмечает Бэтчелор ([111], стр. 411), из теории пограничного слоя следу­ ет, что при неизменном распределении скоростей внешнего потока положение точки нулевого трения на стенке не зависит от числа Рейнольдса; следова­ тельно, обращение в нуль напряжения трения в некоторой точке и предположи­ тельно связанное с ним явление отрыва пограничного слоя существуют и в преде­ ле, когда vM0JI -> 0.

Полезно вспомнить здесь и аналитические оценки из [109] (формулы (7.6), (7.7) этой главы), утверждающие, что при достаточно больших значениях чисел Рейнольдса силы вязкости в области возвратно-циркуляционного течения малы по сравнению с силами инерции, и движение в области отрыва можно считать невязким **) (их отношение порядка О [(p^/iiJRe-’H где \ic и \ie — значения коэффициентов динамической вязкости в зоне срыва и на границе пограничного слоя, соответственно). Кроме того, как отмечалось ранее в гл. IV, оператор решения разностных уравнений с аппроксимационной вязкостью (4.15) асимп­ тотически совпадает с оператором решения соответствующего дифференци­ ального приближения (4.18) [27].

Отмеченные выше положения и факт слабой зависимости решения в об­ ласти отрыва от начальных данных и величины аппроксимационной вязкости е говорят о том, что рассматриваемые здесь режимы соответствуют течениям с большими («турбулентными») числами Рейнольдса (по аналогии с ReM0JI можно ввести значение расчетного числа Рейнольдса Renc~vLlE~vL/\u\h [205, 214, 352]). Эти решения близки, видимо, по своей структуре к пре­ дельному (невязкому или слабовязкому) режиму обтекания.

Свойства самого течения, а также аналитические оценки величин сил вяз­ кости при больших значениях чисел Рейнольдса в зоне отрыва отчетливо ука­ зывают на целесообразность построения численных алгоритмов на основе не­ стационарных уравнений Эйлера. Внутренние структуры ударных волн, узких слоев смешения и т. п. при этом не рассматриваются.

6. Построение дивергентно-консервативных и диссипативно-устойчивых

разностных схем метода крупных частиц для рассматриваемых предельных ре­ жимов проводится на основе нестационарных уравнений Эйлера с приближен­ ным («эффективным») механизмом диссипации. Дело в том, что при расчетах течений при больших числах Рейнольдса для устойчивости вычислительной процедуры необходимо, чтобы эффективная вязкость была достаточно большой

и подавляла флуктуации, которые в противном случае будут увеличиваться

врезультате действия конвективных членов. Для течений при! малых числах Рейнольдса это может достигаться различными путями. Наиболее желатель­ ным является использование для этих целей, естественно, достоверных значе­

*) В сжимаемом газе при сверхзвуковом обтекании кругового цилиндра фОТр~110о— 120° (рис. 7.9,6) для широкого диапазона изменения чисел Рейнольдса [136, 137].

**) В работе В. В. Сычева и Вик. В. Сычева «Отурбулентном отрыве» (Ж-вычисл. матем. и матем. физ., 1980, 20, № 6, с. 32—48), где исследуется явление отрыва турбулентного погранич­ ного слоя несжимаемой жидкости от гладкой поверхности твердого тела, показано (без привле­ чения каких-либо гипотез для замыкания уравнений Рейнольдса), что отрыв является самоиндуцированны м и происходит под действием большого локального градиент а давления. В глав­ ных членах он определяется процессом взаимодействия, обусловленным влиянием нелинейной части пограничного слоя, гд^дей ст ви е сил т рения несущественно.