книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

$3] ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ 73

Здесь уместно отметить, что однородная разностная схема метода круп­ ных частиц, построенная на базе уравнений Эйлера, вводит в рассмотрение вязкостные (второго порядка) диффузионные члены *). Эти диссипативные члены позволяют получить устойчивое (в целом) решение как в гладких обла­ стях, так и на разрывах. Сглаживающее влияние аппроксимационной вяз­ кости приводит к тому, что на поверхности тела реализуются значения тан­ генциальных скоростей, близкие к нулю [31].

Через открытые границы жидкость может втекать или вытекать из об­ ласти, и здесь должны быть обеспечены некоторые условия непрерывности

В простейшем случае условия на слое / в фиктивной ячейке (N + l, j) должны быть такими же, как и в самой ячейке (N , j) (рис. 3.2). Таким образом, в конце I этапа каждого цикла вычислений полагаем:

и т. д. Возможна и более сложная постановка граничных условий или приме­ нение более точных формул экстраполяции (линейная, квадратичная и др.).

При сверхзвуковом течении характер граничных условий (экстраполя­ ция изнутри) не вносит каких-либо осложнений, так как возмущения, распро­ страняющиеся со скоростью звука, «сносятся» потоком. Сложнее при дозву­ ковом или трансзвуковом течениях — здесь необходимо позаботиться, чтобы влияние границ было небольшим. Естественно, что внешняя граница области интегрирования должна выбираться достаточно далеко от источников воз­ мущения, тогда методы экстраполяции потока за пределы рассчитываемой области возможны. Таким образом, основной принцип постановки краевых условий заключается в том, что через открытые границы, области не должны проникать сколь-нибудь заметные возмущения внутрь расчетной зоны. Ра­ циональные формы постановки граничных условий отрабатывались в процессе различных методических расчетов (гл. V).

§3. Обтекание тел произвольной формы

1.Расчетные формулы метода крупных частиц, приведенные в § 1 настоя­ щей главы, справедливы для целых ячеек, т. е. для ячеек, со всех сторон ок­ руженных жидкостью или прилегающих к твердому телу, контур которого совпадает с их границами (рис. 3.2). При рассмотрении тела более общей формы граница его контура уже будет пересекать расчетную сетку, в резуль­ тате чего образуются дробные ячейки (рис. 3.4). Мы будем аппроксимировать

*) Структура вязкостных эффектов определяется из анализа дифференциальных прибли­ жений (гл. IV).

74 МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. III

образующую тела отрезками прямых, соединяющими точки пересечения кон­ тура с границами эйлеровой сетки. Такая линейная аппроксимация здесь оправдана, так как для вычислений используются в основном схемы первого порядка точности.

При расчете обтекания тел сложной формы конечно-разностными методами можно использовать, вообще говоря, два подхода: проводить расчет в коор­ динатах s, п (где s — дуга вдоль тела, п — нормаль к телу) или вводить в

рассмотрение дробные ячейки. В первом случае затруднительно рассчитывать, например, течения у тел с изломами образующей, с резким изменением кри­ визны контура и др. Во втором подходе наличие и число изломов не вызывает дополнительных затруднений, поэтому целесообразно здесь использовать именно этот прием [23, 30, 57, 58]. Детальные исследования, связанные с введением в

алгоритм дробных ячеек, проведены Ю. М. Давыдовым [216, 220]. Возможность трактовки границы с помощью дробных ячеек обсуждалась

и ранее. Формальное описание конечно-разностных формул расчета дробных ячеек для подходов, близких к методу крупных частиц, приведено в [16, 24] и др. Однако в этих работах не рассматриваются по существу особенности постановки граничных условий для тел произвольной формы, без чего дробные ячейки практически не могут быть рассчитаны.

Далее, устойчивость разностных схем в [16, 24] достигается, как правило, введением явных членов искусственной вязкости (например, типа Ландшоффа). Из-за наличия искусственной вязкости метод FLIC не содержит единого алгоритма для внутренних и граничных ячеек [24], так как способы введения q в целых и дробных ячейках различны *). Использование членов с q нарушает единообразие аппроксимации, затрудняет расчет течений с неизвестной за­ ранее структурой потока.

Вид разностных членов с искусственной вязкостью зависит, вообще говоря, от типа и конфигурации особенностей в поле течения. Так, например, для горизонтальных или вертикальных ударных волн многие авторы исполь­ зуют прямые разности, для наклонных скачков уплотнения — диагональные и т. д.; полуэмпирические коэффициенты в выражениях для q зависят от ин­ тенсивности ударной волны и т. п. Эти особенности в постановке граничных условий, а также неудобства, связанные с использованием искусственной вязкости q, по-видимому, затрудняли машинную реализацию метода дробных ячеек, так как в упомянутых выше работах отсутствуют примеры расчета для тел с криволинейными границами (приводится лишь простейший случай пря­ молинейного контура).

Введение искусственной вязкости, вообще говоря, не обеспечивает до­ статочной гладкости решения вдоль образующей тела (FLIC-метод и др.). Поэтому в таких подходах в ряде случаев помимо дробных ячеек использу­ ются дополнительные приемы. Например, в [16] наряду с дробными ячейками вдоль боковой прямолинейной поверхности конуса вводятся несколько рядов •счетных ячеек, параллельных боковой поверхности конуса, и т. д. В работах И. В. Огрощенко, Р. П. Федоренко [317], Магнуса, Иосихары [98] вблизи криволинейной границы тела используется локальная ортогональная система координат, направление осей которой не совпадает с основной прямоугольной координатной системой. Указанная процедура, реализация, которой вызывает трудности для тел сложной конфигурации, значительно усложняет в то же время алгоритм.

2. Опишем здесь подход введения дробных ячеек, развитый в работах [23, 30, 58, 216, 220], применительно к схемам метода крупных частиц.

Размещение твердой границы внутри ячейки вносит в нашу методику две особенности.

) См. § 1 Приложения.

позволило учесть нелинейность). Целые ячейки просчитывались за время At один раз.

Таким образом, параметры во всех ячейках поля (как целых, так и дроб­ ных) в конце цикла относились к одному и тому же моменту времени Т = /+ Д /,

В этом случае геометрические размеры «укрупненной» ячейки были не меньше размеров целой ячейки, т. е. Л,*-*/* /^ 1 , Л*, поэтому вопрос об устойчивости счета дробных ячеек не возникал (укрупненные ячейки считались по своим формулам, но с тем же At, что и целые). Недостатком такого подхода является пониженная точность полученного решения в окрест­ ности тела.

Возможно, также вести расчет-всех ячеек поля- (как целых, так и дробных) по единому алгоритму для дробных ячеек. При этом, естественно, для целых

ft, /пиц^ОЛ) заметного улучшения не дает, так как здесь начинают заметно влиять уже другие эффекты: несовпадение центра масс с геометрическим центром, линейная аппроксимация границы тела и т. д.

Существует 12 типов дробных ячеек, конфигурация которых показана на рис. 3.4 (заштрихованные области представляют собой твердое тело). В пло­ ском случае геометрические характеристики дробных ячеек можно получить

$3] ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ 77

непосредственным измерением; в осесимметричном случае необходимо про­

78 МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [гЛ. lit

Получим теперь из разностных уравнений для полных ячеек (описанных в § 1 этой главы) соответствующие уравнения и для введенных дробных ячеек. Для этого умножим потоки массы АМ п (формулы (3.11) и (3.12)), а также ве­ личины давления, определяющие силы на эйлеровом этапе, на соответствующую часть площади границы ячейки. Плотность в уравнениях (3.4) и (3.25) эйлерова

Чтобы избежать излишнего усложнения алгоритма, давление в уравне­ ниях импульса для дробной ячейки можно считать (аналогично подходам [16, 24]) по эквивалентной ей целой ячейке

Таким образом, окончательные уравнения для расчета дробных ячеек

где суммирование проводится по тем ячейкам i, часть площади st которых попала в ячейку р. Плотность и энергия в ячейке а равны их значениям в ячейке р.

Постановка условий непротекания требует для каждой фиктивной ячейки задания еще одного параметра у — угла наклона радиус-вектора, пересека­ ющего контур тела в точке А . В случае условия прилипания (когда обе компо­ ненты скорости при переходе через поверхность тела меняют знак) задания дополнительного параметра у не требуется. Параметры газа в фиктивной ячейке а при этом определятся наиболее простым образом:

Следует заметить, что граничные условия для тела, контур которого совпадает с границами ячеек (они приводятся в § 2), являются частным случаем

Для величин на эйлеровом этапе (ы, v, Ё) разностные граничные условия кон­ струировались с учетом расщепления. Затем производился расчет: во внут­ ренних точках поля — по формулам для целых ячеек; на поверхности тела (вне зон выдува) — по формулам для дробных ячеек. Сами дробные ячейки, через которые осуществлялся вдув (отсос) струи, также рассчитывались по форму­ лам для целых ячеек.

Из разностной аппроксимации краевых условий (3.37) следует, что на поверхности тела по существу моделировались следующие граничные условия [218 и др.]: