книги / Физика тонких пленок. Современное состояние исследований и технические применения. Т. 6

Интересно отметить, что в случае s-поляризации коэффициенты А2 и В2 при г]2 в числителе и знаменателе одинаковы (Л2 = В2).

Отсюда следует справедливость тождества Уолтера

е2,т)= К 0^ - = У, 4 7 -

Изменение фазы при такой поляризации, помимо e2*Ti, содер­ жит также комбинацию (я2 — е1д.)т1.

В случае р-поляризации интенсивности содержат две ком­ бинации: ъ2ут\ и е2гт|Де2г + е|г). Очевидно, что минимуму Тр от­

вечает максимум 1ш(1/б2), поскольку последний соответствует возникновению плазменных колебаний, которые, будучи продоль­ ными, происходят в направлении г. Изменение фазы содержит комбинации

Это тождество остается справедливым даже при сохранении чле­ нов, квадратичных по тр

VI. ИЗМЕРЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛЕНОК

1.ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

а.Нормальное падение. 1) Измерение R, R' и Т. Фотометри­

ческие измерения при нормальном падении, по-видимому, пред­ ставляют собой наиболее распространенные оптические изме­ рения, проводимые на тонких металлических пленках. По изме­ ренным значениям R, R' и Т можно вычислить три неизвестных параметра пленки (n, k и d). Для этого нужно использовать либо ЭВМ, либо таблицы значений R, R' и Т при различных зна­

чениях п, k и т) = 2лdfk. Последний метод подробно описан

Мале [19]. Линейное приближение обычно оказывается не вполне удовлетворительным, так как интервалы между значениями пе­ ременных недостаточно малы, и потому необходима графическая интерполяция. Точность, которой при этом можно достигнуть, является переменной и зависит от it и d. Практика показывает, что указанные три параметра можно определить таким путем с относительной погрешностью в несколько процентов.

В случае очень тонкой пленки из уже упомянутого соотно­ шения Уолтера следует, что величины R, R' и Т связаны сле­

и указанный выше метод перестает быть справедливым. В не­ давно опубликованной работе Шкляревского и Корнеевой [20] проводились измерения величин R, R' и Т на гранулированных

серебряных пленках в области от 0,4 до 0,6 мкм и было най­ дено, что формула (15) выполняется с погрешностью от 1 до 2% при d < 200 А и с погрешностью от 5 до 10% при d <. 400 А.

Это означает, что метод весьма чувствителен к эксперименталь­ ным ошибкам. Как уже отмечалось, соотношение Уолтера яв­ ляется приближенным. Если в разложения в (2) включить члены третьего порядка по г| = 2лdjX, то это соотношение пере­

стает быть справедливым и в принципе возможно использовать результаты измерений R, R' и Т для определения п и d. Обсуж­

дение этого вопроса можно найти в статье автора [21].

2) Измерение только R и Т. Базин [22] показал, что, исполь­ зуя соотношения Крамерса — Кронига, можно определить п, k и d по результатам измерения R и Т при нормальном падении.

Здесь мы изложим принципиальную основу этого метода, кото­ рый пока не получил широкого распространения, вероятно, от­ того, что его возможности еще не вполне выяснены.

Если энергия падающего фотона Е = йш, то изменение фазы

при отражении бг можно найти по результатам измерения коэф­ фициента отражения, пользуясь следующей точной формулой:

то

Ьг (Ес) = (1/2я) J [d (In R)ldE] In |(E + £,)/(£ - Ee) \dE,

о

где Ec— значение E, для которого вычисляется 6r. Аналогичное выражение можно получить для б<, заменив R на n0Tlns. Если для данного значения Ее известны R, Т, 6Т и 6t, то этого оказы­ вается даже более чем достаточно для вычисления п, k и d.

Главная трудность этого метода состоит в использовании изме­ ренных значений R и Т во всем диапазоне частот от нуля до бес­

конечности, что экспериментально получить невозможно. Эта трудность характерна для дисперсионных соотношений Кра­ мерса — Кронига, которые широко применяются для определе­ ния п и k для массивного материала по результатам измерения одной лишь величины R. В этом случае, если функция R изме­ рена в ограниченном интервале от Ех до Е2, приходится делать

некоторые более или менее произвольные предположения отно­ сительно поведения функции R(E) вне этого интервала.

Необходимо отметить, что описанный метод, будучи применен к тонким пленкам, дает более точные результаты без произволь­ ных допущений и, сверх того, позволяет точно определить тол­ щину металлических пленок. В случае применения дисперсион­ ных соотношений к тонким пленкам имеется возможность внут­ реннего самосогласования, которая отсутствует в случае

массивных материалов: толщина, вычисленная при различных значениях частоты, должна быть одной и той же. Кроме того, толщина, полученная из результатов измерения R,T и бг, должна совпадать с толщиной, найденной по результатам измерения R, Т и 6<.

Один из простейших методов состоит в следующем. Предпо­ ложив, что в интервале энергий Е\ <. Е < Е2 измерены вели­ чины R и Т, обсудим сначала расчет дг(Ес). Можно написать

Величину V можно вычислить по измеренным значениям R, и,

таким образом, ее можно считать известной. Расчет величины U не слишком сложен, если энергия Е\ относится к инфракрас­

ночный параметр. Аналогичным методом можно вычислять бг. Были предложены и другие способы определения U и W. Ока­

залось, например, что для ограниченной области частот можно

показывающий возможности описанного метода. Изучалась зо­

оказалась равной d— 338 А. Анализ значений R и Т привел к ве­ личине d = 339 А. Применению этого метода в дальней ультра­

фиолетовой области посвящена статья Фруассара [23].

б. Наклонное падение. В этом случае величины п и d оказы­

ваются переопределенными и можно даже проверить справед­ ливость математического описания оптических свойств тонкой металлической пленки.

1) Фиксированный угол падения. При заданной толщине пленки целесообразно пользоваться значениями Rs, RP и Тр для данного угла падения фо [24]. Причиной является то, что Ts

из результатов измерений в последние приходится вводить бо­ лее или менее неопределенные поправки. В математическом от­ ношении проблема сводится к решению системы трех неалгеб­ раических уравнений с тремя неизвестными п, k и d, которое

обычно проводится с помощью ЭВМ. Было обнаружено сле­ дующее: а) точность возрастает при увеличении угла падения Фо. Одной из причин этого факта является небольшое разли­ чие между величинами Rs и RP при малых углах падения. Это

означает, что максимальная точность будет достигнута при том значении ф0, для которого величина Rp минимальна, т. е. когда

фо есть главный угол падения для изучаемой пленки; б) точ­ ность убывает с ростом толщины пленки.

2) Переменный угол падения. Если имеется возможность провести измерения Rs, RP и Тр при различных углах падения, точность можно увеличить, выбирая те значения Я и d, которые

минимизируют сумму квадратов разностей экспериментальных и расчетных значений этих величин (метод наименьших квад­ ратов). Обсуждение этого метода можно найти в вышеупомяну­ той статье Бушара [24]. Там показано, что удобнее всего пользо­ ваться значениями Rs, RP и Тр, измеренными для трех углов фо, один из которых соответствует падению, близкому к нормаль­

ному (10, 15 или 20°), другой близок к значению, обеспечиваю­ щему минимум Rp (65, 70 или 75°), а третий находится между

ними. Выяснилось, что указанным методом можно с хорошей

полезным для обнаружения очень тонкой пленки окисла на ис­ следуемой металлической пленке.

2. ПОЛЯРИМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Плоскополяризованный параллельный световой пучок после отражения от металлической пленки или прохождения через нее будет превращаться в эллиптически поляризованный пучок, если только падающий пучок не имел s- или /7-поляризации. Обычно измерения проводятся в отраженном свете, поскольку на прохождение света могут влиять неоднородности и деформации подложки, которые очень трудно устранить.

Анализ эллиптически поляризованного света, следуя предло­ жению Ротена [25], обычно называют эллипсометрией. В настоя­ щее время можно проводить эллипсометрические измерения с высокой точностью; в последние годы был описан целый ряд предназначенных для этого приборов.

Здесь мы приведем некоторые неопубликованные результаты, касающиеся возможностей эллипсометрических измерений. Прежде всего нужно отметить, что пока не предпринималось сколько-нибудь серьезных попыток одновременно определить п, k и d из таких измерений. В принципе математические методы,

изложенные в предыдущем разделе (VI, I, б), можно применить и здесь. Надо полагать, что ошибки в определении ¥ и Д не пре­ вышают 0,02°, величина фо известна с точностью ±0,05°, а не­

и сильно отражающих металлов. Оказалось удобным проводить измерения при ф0 = 60ч-70° Ошибки в определении VF и Д при­ водят к следующим относительным погрешностям для п и k:

при этом погрешности оказываются одного порядка при толщине пленки от 100 до 300 А. Следует отметить, что использование главного угла падения, для которого Д = 90°, не дает особых преимуществ. Угол падения должен быть точно установлен. Для хрома ошибки в определении фо оказываются более важными, чем ошибки в f и Д, Для пленки хрома толщиной d = 100 А относительные погрешности для п и k, обусловленные ошибкой

в 0,05° при определении фо, составляют 0,5 и 0,3%, тогда как погрешности, обусловленные неопределенностью в значениях Д и \F,— лишь 0,04 и 0,1%. Для серебра ситуация аналогична, но ошибки при определении фо по мере увеличения толщины иг­ рают все меньшую роль. Наконец, наиболее важным источником

ошибок в п и k являются погрешности в измерении толщины. Для пленок толщиной 300 ± 5 А dn/n равно 0,5% для Сг и 8% для Ag, a dk/k равно 0,8% для Сг и 0,5% для Ag.

Если привлечение ЭВМ связано с трудностями, то удобно воспользоваться методом Фёрстерлинга [26] и производить из­ мерения отражения и пропускания при фо = arctg (ns/n0) (т. е.

когда угол падения равен углу Брюстера для подложки). Этот метод, позволяет одновременно определить п, k и d по четырем эллипсометрическим отсчетам (4я и А при отражении и пропу­

скании) и позволяет проверить справедливость исходного допу­ щения, согласно которому пленка представляет собой плоско­ параллельную, однородную и изотропную пластину.

3.ИНТЕРФЕРОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Впринципе для определения Я и d достаточно измерить фа­ зовые сдвиги sr, &'ги et при нормальном падении. Необходимые

формулы можно найти в разд. III,2. На практике этот метод, на­ сколько нам известно, никогда не применяли и не пытались применять, и мы не будем описывать его здесь. Причина недо­ статочного интереса к этому методу, возможно, состоит в том, что измерение фазовых сдвигов в различных областях спектра более сложно и, по-видимому, менее наделено, чем фотометри­ ческие измерения.

4.КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ

а.Фотометрические и интерферометрические измерения. Шоппер [27] для определения Я и d проводил одновременное изме­ рение шести величин — трех интенсивностей (R,R',T) и трех

фазовых сдвигов (ег, ВгИеОПреимущество этого метода со­ стоит в том, что он связан со сравнительно простыми числен­ ными расчетами. Можно показать, что

Толщину пленки можно найти, пользуясь одним из следующих соотношений:

e l\nn,dft, — R 4teier ” s (fl ~ Я°) —

каждое из которых эквивалентно двум соотношениям. Можно проверить, что р, = р2 = 1 и 0i = ©2; это обеспечивает справед­

из наиболее употребительных методов состоит в измерении сна­ чала толщины пленки, а затем R и Т в выбранной области

спектра. Необходимо, конечно, чтобы толщина была известна достаточно точно, и это порождает вполне реальные проблемы. Насколько нам известно, наиболее точные измерения d для тон­

ких металлических пленок можно провести, используя рентге­ новские лучи. В случае поликристаллических пленок можно ис­ пользовать интерференционные полосы, получаемые при отра­ жении рентгеновских лучей при почти скользящем падении. Этот метод был описан Киссигом [28] и совсем недавно Умратом [29]. Им можно пользоваться только в случае относительно тонких пленок (например, пленок золота с Я <600 А), но зато он мо­ жет дать точность в 1%. Этот метод нечувствителен к кристал­ лической структуре пленок, но зависит от качества поверхности и от изменения толщины пленки вдоль ее длины.

Другой метод основан на дифракции рентгеновских лучей. Если металлическая пленка является кристаллической и хорошо ориентирована, то вокруг дифракционного пятна, соответствую­ щего плоскостям, параллельным подложке, появляется сис­ тема полос с очень малой интенсивностью, меняющейся как (sin JC/JC)2 [30,31]. Этот метод очень чувствителен к ориентации и размеру кристаллитов и к вариациям толщины, поэтому им можно пользоваться только в случае высококачественных пле­ нок. Чтобы дать представление о возможной точности, сошлемся на результат Тейе [32]: толщина золотой пленки, определенная двумя рентгеновскими методами, оказалась равной 267 ± 1 А. Мы привели этот результат, чтобы было ясно, что тщательно приготовленная металлическая пленка действительно представ­ ляет собой плоскопараллельную пластинку и ее толщина яв­ ляется физически реальной величиной.

Установив возможность измерения толщины тонкой металли­ ческой пленки неразрушающими методами, кратко обсудим рас­ чет п и k по измеренным значениям R и Т. Если имеются таб­ лицы зависимости R и Т от п и k для различных г] = 2зтd/X при фиксированном значении ns> можно прибегнуть к графической

интерполяции. Пока, однако, этот метод вычисления Я по раз­ ным причинам оказывается недостаточно удовлетворительным

учесть дисперсию показателя преломления п».

Другой, полностью численный метод был описан в работах

значения. Эта математическая задача оказывается не очень слож­ ной, хотя уравнения, как правило, являются трансцендентными и неалгебраическими. Важно отметить, что измеренным значе­ ниям /?эксп и 7эк0п может соответствовать до четырех значений (п, £), если установить пределы 0 < п < 1 2 , 0 < £ < 1 2 . При

выборе правильных значений руководствуются физическими со­ ображениями. Возможность этого иллюстрируется следующим

ния. Это связано с тем фактом, что очень малые ошибки при определении RaKCn и Гансп могут весьма сильно влиять на значе­ ния п и k. Этот вопрос обсуждался в работах [36—39].

VII. СПЕЦИФИЧЕСКИЕ ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТОНКИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛЕНОК

1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

При исследовании оптических свойств металлов пленки часто предпочитают массивным образцам. Чтобы быть пригодными для этой цели, пленки должны подходить под определение идеальной пленки, под которой понимается однородная среда, ограничен­ ная двумя параллельными плоскостями. Помимо этого, их кри­ сталлическая структура должна быть такой же, как и в объеме соответствующего вещества. Такие пленки обычно получают ва­ куумным напылением на аморфные или кристаллические под­ ложки с последующим контролируемым отжигом.

В большинстве экспериментов пленки оказываются доста­ точно толстыми (несколько тысяч ангстрем) и непрозрачными. Поэтому они оптически эквиваленты массивным образцам, и для них возможны лишь измерения в отраженном свете при нор­ мальном или наклонном падении. Таким путем были получены наилучшие результаты, относящиеся к оптическим постоянным металлов, особенно в ультрафиолетовой области.

Могут быть использованы также полупрозрачные металли­ ческие пленки, позволяющие проводить измерения в проходя­ щем свете. Соответствующие методы определения оптических констант менее чувствительны к характеристикам поверхности и могут обеспечить большую точность. Например, было показано [32], что при определенных условиях вполне возможно получить очень тонкие (до 100 А) металлические пленки, которые, будучи

поликристаллическими, тем не менее не содержат разрывов, имеют очень ровную и гладкую свободную поверхность и обла­ дают оптическими свойствами, весьма близкими к свойствам массивного вещества (благородного металла, индия и др.).

Подобные пленки могут, однако, обладать некоторыми осо­ быми свойствами, которые начинают проявляться, когда их тол­ щина становится сравнимой с характерной длиной свободного пробега электрона в металле. Следующие разделы посвящены таким размерным эффектам, связанным с поведением электро­ нов проводимости в тонких металлических пленках, — аномаль­ ному скин-эффекту (разд. VII, 2) и плазменным резонансам в тонких пленках (разд. VII, 3).

Следует подчеркнуть, что эти эффекты определяются не де­ фектами пленок, а специфическими сройствами исследуемого металла. Их удобно использовать для раздельного изучения по­ верхностных и объемных свойств металлов.

Очень тонкие пленки содержат разрывы. С этим связано возникновение некоторых аномальных оптических свойств. В по­ следнем разделе (VII, 4) мы обсудим ряд исследований, отно­ сящихся к таким пленкам.

2. АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ

Рассмотрим только оптические свойства, связанные с внутризонными переходами электронов проводимости, когда энергия фотона мала для возникновения межзонных переходов. В этом случае задача сводится к изучению явлений переноса в высоко­ частотном поле.

Согласно классической теории почти свободных электронов, комплексная диэлектрическая проницаемость металла опреде­ ляется соотношениями Друде [I]

№ = Оф& т) {1/[1 + (я дт)2]},

где характерные длины Яо и Кх связаны соответственно с опти­ ческой массой то и временем релаксации т электронов проводи­

мости, как указано в разд. II.

В основе этих уравнений лежит допущение, что плотность тока / в каждой точке внутри металла пропорциональна напря­ женности электрического поля Е в той же точке: 1 = дЕ, где а— комплексная проводимость. Другими словами, это означает,

что функция распределения электронов проводимости зависит только от их скорости.

В ближней инфракрасной области такое допущение для ме­ таллов перестает быть справедливым. Электромагнитная волна,