книги / Физика тонких пленок. Современное состояние исследований и технические применения. Т. 6

тах получили Скоув и Стилвелл, которые обнаружили сильное увеличение удельного сопротивления нитевидных кристаллов и лент в результате химического травления их поверхностей.

Размерные эффекты в сопротивлении галлиевых проволок изучали Фредеркинд и Рейман [181], Вейсберг и Джозефе [142] и Кохрэн и Якуб [182—184]. Галлий обладает орторомбической кристаллической структурой и является сильно анизотропным, с различным удельным сопротивлением вдоль каждой из трех главных осей. Кохрэн и Якуб выращивали монокристаллические проволоки квадратного сечения со стороной от 0,1 до 1 мм и с осями вдоль кристаллографических осей а, b [184] и с [183].

Поскольку галлий был очень чистым, с длиной свободного про­ бега электронов около 1 см при 0 К, результаты измерения раз­ мерной зависимости удельного сопротивления при низких тем­ пературах можно сравнивать с формулой Макдональда и Саргинсона для чисто диффузного рассеяния при малых k [см.

формулу (20)]]). Получаемые при этом значения ро/ для 0К составляли 23; 8,17 и 81,1 • 1042 Ом-см соответственно для тока, направленного вдоль осей а, Ь и с. Все эти значения превышали

значение ро/ = 4,4-10~12 Ом-см2, полученное в предположении, что на атом приходится по 3 свободных электрона; это озна­ чает, что в проводимость вносит вклад лишь часть поверхности Ферми. Объемное удельное сопротивление для галлия при 273 К вдоль осей а, Ь и с составляет соответственно 16, 7,5 и

50,3 мкОм-см [185].

Поскольку отношения сопротивлений не очень сильно зави­ сят от ориентации, можно сравнить отношения рос/роа и роь/роа с соответствующими отношениями величин р0/. Это сравнение показывает, что анизотропия проволок несколько больше анизо­ тропии массивных кристаллов, но разница меньше той, которую наблюдал Александров в оловянных и цинковых проволоках

удельного сопротивления поликристаллических таллиевых про­

рицкого [187]. Это значение ро/ оказывается больше, чем в слу­ чае других трехвалентных металлов — алюминия, галлия и индия, — и соответствует всего 0,15 электрона проводимости на атом. При повышении температуры от 0 до 5 К ро/ возрастает на 18%.

4) Однако использование формул разд. 11,3 для анализа данных, полу­ ченных на монокристаллах, не оправдано; в этом случае предпочтительнее анализ Бейта и др. [71] и Александрова г Каганова [72] (ср. разд. 11,5,6).

4. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

До сих пор основное внимание уделялось размерной зависи­ мости удельного сопротивления тонких пленок и проволок. В этом разделе мы рассмотрим температурную зависимость сопротивления тонких образцов, особенно в области низких температур, где наблюдаются отклонения от теории Фукса для пленок и теории Дингла для проволок. Согласно расчетам Фукса, сопротивление тонкой пленки не выражается в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит, а другое не зависит от температуры [см. (1)]. Это отклонение от пра­ вила Маттиссена делает затруднительным анализ зависящих от размеров отклонений от теории Фукса. Теория Дингла, на­ оборот, предсказывает относительно малое отклонение от пра­ вила Маттиссена, так что размерные отклонения от теории Дингла обычно отождествляют с размерными отклонениями от правила Маттиссена. Это, однако, не вполне оправдано, по­ скольку из теории Дингла следует отклонение от правила Мат­ тиссена [187а].

а. Тонкие пленки. Размерные отклонения от правила Маттис­ сена были впервые обнаружены Эндрю в ртутных проволоках и оловянных фольгах [96]. В области температур 1—4,2 К зави­ сящая от температуры часть сопротивления при уменьшении толщины проволоки или фольги возрастала быстрее. Такого рода размерные отклонения от правила Маттиссена наблюда­ лись затем в фольгах, проволоках и пленках многих металлов. Сообщалось об отклонениях от правила Маттиссена, наблюдав­ шихся в пленках серебра [188, 189], золота [189, 190] и алюми­ ния [141], в алюминиевых фольгах [82, 139], алюминиевых пластинах [191], индиевых фольгах [148] и индиевых пластинах [85].

Таннер и Ларсон [188] измеряли удельное сопротивление серебряных пленок как функцию от температуры в области от 4,2 до 295 К. Пленки эпитаксиально выращивались на нагретых подложках из каменной соли и слюды и имели толщину от 1700 до 28 000 А. Для выделения размерных эффектов в том же тем­ пературном интервале измерялось удельное сопротивление мас­ сивного серебряного образца. Отношение удельных сопротивле­ ний Р295/Р4.2 изменялось от 12 до 175 для пленок и составляло

250 для массивного образца.

График температурной зависимости удельного сопротивле­ ния серебряных пленок приведен на фиг. 24. На фиг. 25 по­ казана температурно-зависимая часть удельного сопротивления (полное удельное сопротивление минус остаточное удельное со­ противление) как функция от температуры. Ниже 40 К сопро­ тивление массивного образца, как и следовало ожидать, про-

Т, К

Фиг. 24. Полные удельные сопротивления р серебряных пленок в зави­ симости от температуры [188].

порционально Р . Сопротивление пленок изменяется с темпера­ турой медленнее и для наиболее тонких пленок пропорцио­ нально Р . Выше 50 К все кривые совпадают и в области ком­ натных температур температурная зависимость сопротивления становится приблизительно линейной. Если сопротивления, обусловленные рассеянием электронов фононами и поверх­ ностью, аддитивны, то должно выполняться правило Маттиссена и все кривые на фиг. 25 будут совпадать при всех темпе­ ратурах. Из экспериментальных данных следует, что правило Маттиесена нарушается; отклонения от него представлены на фиг. 26.

Из приведенных здесь данных видна разница между темпе­ ратурно-зависимыми частями удельного сопротивления тонких пленок и массивного образца. Эта разница исчезает при высо­ ких и низких температурах и достигает максимума при 25 К для всех пленок. В облцети от 10 до 40 К температурно-зависимая

Ф иг. 25. Температурно-зависимая часть удельного сопротивления серебря­ ных проволок как функция температуры [188].

часть удельного сопротивления пленки толщиной 1700 А весьма заметно отличается от аналогичной величины для массивного образца. В этой области разность составляет 7% от полного удельного сопротивления, или, что более важно, 50% от его температурно-зависимой части. У более толстых образцов отклонение температурно-зависимой части удельного сопротив­ ления от объемного значения этой величины заметно в более узком температурном интервале, а величина этого отклонения примерно вдвое меньше.

Согласно теории Олсена, наиболее важную роль играет рассеяние на малые углы, которое приводит к столкновениям с поверхностью. Если пренебречь процессами переброса, угол рассеяния электрона на фононе приблизительно равен T/Q, где

0 — дебаевская температура. При низких температурах отно­ шение Т/0 становится очень малым и размерный эффект должен исчезнуть. При относительно высоких температурах, когда дли­

на свободного пробега электрона становится меньше толщины, размерный эффект также исчезает.

В промежуточной области температур размерный эффект должен наблюдаться, когда величина Г/0 сравнима с d/l, где d — толщина пленки, а I— длина свободного пробега электрона

для комбинированного рассеяния электронов на дефектах и фононах, т. е. 1/1 = 1/lei + 1 /1ер. Результаты, представленные на

Ф иг. 26. Разность между температурно-зависимой частью удельного сопро­ тивления пленки и температурно-зависимой частью удельного сопротивления массивного образца как функция от температуры [188].

фиг. 26, качественно согласуются с этой моделью. Подставляя значение дебаевской температуры для серебра 0 = 226 К, най­ дем, что величина Г/0 становится сравнимой с d/l в интервале

температур от 10 до 40 К. Как видно из фиг. 8, теория Фукса предсказывает также размерно-зависимое возрастание темпера­ турно-зависимой части удельного сопротивления, но отклонения от правила Маттиссена, следующие из теории Фукса, оказы­ ваются меньше наблюдаемых. На фиг. 8 представлена также температурная зависимость в теории Азбеля— Гуржи [79]. Однако наблюдаемые отклонения от правила Маттиссена не столь велики, как это следует из модели Азбеля — Гуржи.

Кривые на фиг. 26 указывают на размерно-зависимое воз­ растание температурно-зависимой части удельного сопротивле­ ния при низких температурах, приблизительно пропорциональ­ ное Т2. Это хорошо согласуется с расчетами Ван Зитвельда и

Басса [82], которые используют модель Блатта и Сапа и пред­ сказывают зависимость вида [см. формулу (37)]. Экспери­ ментальные результаты, по-видимому, согласуются с теорией Хусстада и Лоте (см. разд. 11,6,6).

Чопра исследовал температурную зависимость сопротивле­ ния серебряных пленок, полученных вакуумным напылением [189]. Его результаты демонстрируют большие отклонения от

Ф и г. 27. Разность удельных сопротивлений тонкой алюминиевой фольги и массивного образца в зависимости от температуры [139].

Толщина фольги, мм: / — 0,017; 2 — 0,022:3 — 0,0385; 4 — 0,117. Пунктирная кривая соответст­ вует теории Фукса для образца толщиной 0,022 мм.

правила Маттиссена, согласующиеся с предсказаниями Азбеля и Гуржи. Эти большие отклонения, однако, не наблюдались в последующих исследованиях Таннера и Ларсона [188] (серебря­ ные пленки), Ван Иттербека и др. [192] (серебряные и золотые пленки) и Джекобса и др. [190] (золотые пленки).

Холвех и Джеппесен [139] измеряли температурную зависи­ мость сопротивления алюминиевых фолы в области от 1,6 до 45 К,- Фольги толщиной 0,017—0,95 мм получали холодной про­ каткой. На фиг. 27 показана разность удельных сопротивлений фольги и массивного образца как функция от температуры. Эта разность представляет собой добавочное сопротивление, обус­ ловленное рассеянием на поверхности. Согласно правилу Маттис­ сена, эта разность не должна зависеть от температуры; на прак­ тике, однако, она сильно зависит от температуры и в наиболее тонких образцах увеличивается вдвое при повышении темпе­ ратуры от 4 до 30 К. На фиг. 27 показана также разность удельных сопротивлений для образца толщиной 0,022 мм, вы­

численная по теории Фукса; как видно, экспериментально полу­ ченное отклонение от правила Маттиссена больше предсказан­ ного теорией Фукса.

Интересно также отметить что экспериментальные значения отклонений от правила Маттиссена при температуре выше 40 К меньше предсказанных теорией Фукса, что находится в качест­ венном согласии с расчетом Хусстада и Лоте, учитывающим рассеяние на малые углы [81]. Как видно из фиг. 9, кривая

удельных сопротивлений больше, чем следует из теории Фукса, она имеет качественно такой же вид, как в теории Фукса, и намного меньше той, которую предсказывает теория Азбеля — Гуржи. Поэтому Холвех и Джеппесен полагают, что отклонения от правила Маттиссена имеют ту же природу, что и в разбав­ ленных сплавах [193]. Отклонения такого типа молено ожидать, когда отношение длины свободного пробега, обусловленной фо- нои-электронным рассеянием, к длине пробега, обусловленной рассеянием, не зависящим от температуры, меняется вдоль по­

верхности Ферми.

Сходство между поверхностным и примесным рассеянием, проявляющееся в отклонениях от правила Маттиссена, на­ блюдали Рейх и Форсволл [179]. Они обнаружили, что темпе­ ратурная зависимость удельного сопротивления тонких оловян­ ных проволок систематически изменяется при уменьшении тол­ щины таким же образом, как и при увеличении концентрации примесей. Температурная зависимость сопротивления алюми­ ниевых пленок изучалась фон Бассевицем и Митчеллом [141] и Ван Зитвельдом и Бассом [82]. В указанных работах исполь­ зовались соответственно монокристаллические алюминиевые пленки и холоднокатаные алюминиевые фольги; наблюдавшиеся отклонения от правила Маттиссена при низких температурах оказались больше, чем это следует из теории Фукса, но меньше предсказанных теорией Азбеля — Гуржи. Ван Зитвельд и Басс обнаружили качественное согласие экспериментальных резуль­ татов с теорией Блатта и Саца, распространенной на случай фольг, а также с теорией Азбеля и Гуржи, модифицированной с учетом процессов переброса.

Наблюдаемые отклонения от правила Маттиссена отли­ чаются от тех, которые обусловлены наличием примесей. Таким образом, экспериментальные данные для пленок и фольг, повидимому, свидетельствуют о том, что причиной низкотемператур­ ных отклонений от теории Фукса является эффект Олсена (см. разд. 11,6,6). Нельзя, однако, исключить и других возможных механизмов, вызывающих отклонения от правила Маттиссена.

б. Тонкие проволоки. Точную формулу Дингла для удельного сопротивления тонкой проволоки можно с успехом аппрокси­ мировать формулой Нордгейма, представляющей полное удель­ ное сопротивление проволоки как сумму члена ро, зависящего

от температуры, но не зависящего от размеров, и члена р0lid,

не зависящего от температуры, но зависящего от размеров. Согласие с теорией Дингла обычно принимается эквивалентным выполнению правила Маттиссена. В таком случае отклонения от правила Маттиссена будут проявляться в виде температур­ ной зависимости величины р0/ или в виде размерной зависимо­ сти температурно-зависимой части удельного сопротивления. Как отмечалось в разд. 111,3, р0/ во многих случаях воз­ растает с температурой, кроме того, температурно-зависимая часть удельного сопротивления часто оказывается зависящей от размеров, причем этот эффект тем сильнее, чем тоньше прово­ лока. Подобные отклонения от правила Маттиссена наблюда­

правила Маттиссена в алюминиевых проволоках диаметром всего 14 мкм. Удельные сопротивления проволок измерялись как функция от температуры в области 1,3—60 К. Температурнозависимая часть удельного сопротивления возрастает при по­ вышении температуры и при уменьшении диаметра проволоки в согласии с более ранними данными Александрова для более толстых алюминиевых проволок. Для сравнения этих отклоне­

экспериментальные точки ложатся на прямые линии, а вели­ чина добавочного сопротивления согласуется с предсказаниями теории Блатта и Саца, если принять отношение вкладов в рас­ сеяние нормальных процессов и процессов переброса равным 10'3. Однако при температурах выше 16 К добавочное сопро­ тивление сильнее зависит от температуры, чем это следует из теории Блатта и Саца, и получить прямые линии не удается.

Размерные отклонения от правила Маттиссена в индиевых проволоках наблюдались Олсеном [75] и Блаттом и др. [172]. Результаты Олсена были проанализированы Блаттом и Сацем [76] и оказались в согласии с их теорией, если принять отно­ шение вкладов нормальных процессов и процессов переброса равным 0,04. Данные Блатта и др. при 0 и 4,2 К приведены на фиг. 22, где наклон кривых, равный р0/, при переходе от 0 к4,2 К возрастает от 13,5 до 15-10-12 Ом*см2. Эти отклонения от пра-

Ф иг. 28. Температурно-зависимая часть удельного сопротивления алюминие­ вых проволок как функция от г~^г(г — радиус проволоки) [82].

Прямые линии соответствуют теории Блатта — Саца.

вила Маттиссена имеют ту же величину, что и в опытах Олсена, и согласуются с теорией Блатта и Саца. Майеру и Шмидеру [169] также удалось согласовать с теорией Блатта и Саца свои результаты для рубидия. В интервале температур от 1,6 до 2,2 К хорошее согласие с теорией получается, если отношение вкла­ дов нормальных процессов и процессов переброса составляет 0,016; это значение согласуется также с результатом расчета Пфеннига [196] для массивных образцов рубидия. С теорией Блатта и Саца сравнивались также наблюдаемые размерные эффекты в проволоках из галлия [182—184] и алюминия [168], но при этом хорошее согласие достигается только в том случае, когда пренебрегают процессами переброса. Размерные откло­ нения от правила Маттиссена наблюдались также в платине, где сопротивление при низких температурах определяется не электрон-фононным, а электрон-электронным рассеянием [195].

Результаты также согласуются с теорией Блатта и Сада, если применять последнюю только для интерпретации той части со­ противления, которая обусловлена электрон-фононным рассе­ янием.

Спектральный анализ проволок не обнаружил систематиче­ ской корреляции между концентрацией примесей и диаметром проволоки. Это означает, что отклонения от правила Маттнссена, по-видимому, не связаны с загрязнениями, попавшими в проволоку в процессе ее приготовления. На существование эффекта Олсена указывает также отсутствие заметных откло­ нений от правила Маттиссена в цинковых нитевидных кристал­ лах и лентах, где рассеяние на поверхности преимущественно зеркальное [100, 194].

Таким образом, результаты, полученные для тонких прово­ лок при низких температурах, указывают на эффект Олсена как причину размерных отклонений от правила Маттиссена. При­ ближенная теория Блатта и Саца в качественном отношении хорошо объясняет эти отклонения от правила Маттиссена, но не позволяет сколько-нибудь надежно определять относитель­ ный вклад нормальных процессов электрон-фононного рассея­ ния и процессов переброса.

5. ОБСУЖДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Выше были изложены результаты экспериментального изуче­ ния классических размерных эффектов в тонких пленках и про­ волоках. Полезно обсудить наиболее важные приложения этих результатов: 1) для определения характера рассеяния электро­ нов на поверхностях образца, 2) для определения эффективной концентрации свободных электронов в поливалентных металлах.

а. Зеркальное отражение. Существование частично зеркаль­ ного отражения в тонких пленках, полученных вакуумным на­ пылением, твердо установлено, но условия, необходимые для зеркального отражения, пока еще не вполне ясны. Имеющиеся экспериментальные данные указывают на то, что в поликристаллических пленках щелочных и благородных металлов отра­ жение от поверхности обычно диффузное [110— 114, 118, 126— 129], тогда как в поликристаллических пленках золота, нанесен­ ных на аморфные подложки, в частности на подложки из окиси висмута, рассеяние является зеркальным [120— 124].

Большинство результатов, однако, было получено при ком­ натной температуре, когда отношение длины свободного пробега электрона к толщине пленки мало (большие значения k) и когда экспериментальное определение параметра р на основе

теории Фукса особенно затруднительно. Что касается монокристаллических пленок благородных металлов, то по имеющимся